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Theorem fclsrest 21828
Description: The set of cluster points in a restricted topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
fclsrest |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( ( J ↾t Y ) fClus ( F ↾t Y ) ) = ( ( J fClus F ) i^i Y ) )
Proof of Theorem fclsrest
Dummy variables s t u x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1061 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> J e. (TopOn ` X ) )
2 filelss 21656 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> Y C_ X )
323adant1 1079 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> Y C_ X )
4 resttopon 20965 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( J ↾t Y ) e. (TopOn ` Y ) )
51, 3, 4syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( J ↾t Y ) e. (TopOn ` Y ) )
6 filfbas 21652 . . . . . . . 8 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( fBas ` X ) )
763ad2ant2 1083 . . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> F e. ( fBas ` X ) )
8 simp3 1063 . . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> Y e. F )
9 fbncp 21643 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ Y e. F ) -> -. ( X \ Y ) e. F )
107, 8, 9syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> -. ( X \ Y ) e. F )
11 simp2 1062 . . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> F e. ( Fil ` X ) )
12 trfil3 21692 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( ( F ↾t Y ) e. ( Fil ` Y ) <-> -. ( X \ Y ) e. F ) )
1311, 3, 12syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( ( F ↾t Y ) e. ( Fil ` Y ) <-> -. ( X \ Y ) e. F ) )
1410, 13mpbird 247 . . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( F ↾t Y ) e. ( Fil ` Y ) )
15 fclsopn 21818 . . . . 5 |- ( ( ( J ↾t Y ) e. (TopOn ` Y ) /\ ( F ↾t Y ) e. ( Fil ` Y ) ) -> ( x e. ( ( J ↾t Y ) fClus ( F ↾t Y ) ) <-> ( x e. Y /\ A. y e. ( J ↾t Y ) ( x e. y -> A. z e. ( F ↾t Y ) ( y i^i z ) =/= (/) ) ) ) )
165, 14, 15syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( x e. ( ( J ↾t Y ) fClus ( F ↾t Y ) ) <-> ( x e. Y /\ A. y e. ( J ↾t Y ) ( x e. y -> A. z e. ( F ↾t Y ) ( y i^i z ) =/= (/) ) ) ) )
17 in32 3825 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u i^i s ) i^i Y ) = ( ( u i^i Y ) i^i s )
18 ineq2 3808 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = t -> ( ( u i^i Y ) i^i s ) = ( ( u i^i Y ) i^i t ) )
1917, 18syl5eq 2668 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = t -> ( ( u i^i s ) i^i Y ) = ( ( u i^i Y ) i^i t ) )
2019neeq1d 2853 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s = t -> ( ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) <-> ( ( u i^i Y ) i^i t ) =/= (/) ) )
2120rspccv 3306 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. s e. F ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) -> ( t e. F -> ( ( u i^i Y ) i^i t ) =/= (/) ) )
22 inss1 3833 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( u i^i Y ) C_ u
23 ssrin 3838 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u i^i Y ) C_ u -> ( ( u i^i Y ) i^i t ) C_ ( u i^i t ) )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u i^i Y ) i^i t ) C_ ( u i^i t )
25 ssn0 3976 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( u i^i Y ) i^i t ) C_ ( u i^i t ) /\ ( ( u i^i Y ) i^i t ) =/= (/) ) -> ( u i^i t ) =/= (/) )
2624, 25mpan 706 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( u i^i Y ) i^i t ) =/= (/) -> ( u i^i t ) =/= (/) )
2721, 26syl6 35 . . . . . . . . . 10 |- ( A. s e. F ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) -> ( t e. F -> ( u i^i t ) =/= (/) ) )
2827ralrimiv 2965 . . . . . . . . 9 |- ( A. s e. F ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) -> A. t e. F ( u i^i t ) =/= (/) )
2911ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ u e. J ) /\ s e. F ) -> F e. ( Fil ` X ) )
30 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ u e. J ) /\ s e. F ) -> s e. F )
318ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ u e. J ) /\ s e. F ) -> Y e. F )
32 filin 21658 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ s e. F /\ Y e. F ) -> ( s i^i Y ) e. F )
3329, 30, 31, 32syl3anc 1326 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ u e. J ) /\ s e. F ) -> ( s i^i Y ) e. F )
34 ineq2 3808 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = ( s i^i Y ) -> ( u i^i t ) = ( u i^i ( s i^i Y ) ) )
35 inass 3823 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u i^i s ) i^i Y ) = ( u i^i ( s i^i Y ) )
3634, 35syl6eqr 2674 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = ( s i^i Y ) -> ( u i^i t ) = ( ( u i^i s ) i^i Y ) )
3736neeq1d 2853 . . . . . . . . . . . 12 |- ( t = ( s i^i Y ) -> ( ( u i^i t ) =/= (/) <-> ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) ) )
3837rspcv 3305 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( s i^i Y ) e. F -> ( A. t e. F ( u i^i t ) =/= (/) -> ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) ) )
3933, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ u e. J ) /\ s e. F ) -> ( A. t e. F ( u i^i t ) =/= (/) -> ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) ) )
4039ralrimdva 2969 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ u e. J ) -> ( A. t e. F ( u i^i t ) =/= (/) -> A. s e. F ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) ) )
4128, 40impbid2 216 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ u e. J ) -> ( A. s e. F ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) <-> A. t e. F ( u i^i t ) =/= (/) ) )
4241imbi2d 330 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ u e. J ) -> ( ( x e. u -> A. s e. F ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) ) <-> ( x e. u -> A. t e. F ( u i^i t ) =/= (/) ) ) )
4342ralbidva 2985 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) -> ( A. u e. J ( x e. u -> A. s e. F ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) ) <-> A. u e. J ( x e. u -> A. t e. F ( u i^i t ) =/= (/) ) ) )
44 vex 3203 . . . . . . . . 9 |- u e. _V
4544inex1 4799 . . . . . . . 8 |- ( u i^i Y ) e. _V
4645a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ u e. J ) -> ( u i^i Y ) e. _V )
47 elrest 16088 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ Y e. F ) -> ( y e. ( J ↾t Y ) <-> E. u e. J y = ( u i^i Y ) ) )
48473adant2 1080 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( y e. ( J ↾t Y ) <-> E. u e. J y = ( u i^i Y ) ) )
4948adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) -> ( y e. ( J ↾t Y ) <-> E. u e. J y = ( u i^i Y ) ) )
50 eleq2 2690 . . . . . . . . 9 |- ( y = ( u i^i Y ) -> ( x e. y <-> x e. ( u i^i Y ) ) )
51 elin 3796 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( u i^i Y ) <-> ( x e. u /\ x e. Y ) )
5251rbaib 947 . . . . . . . . . 10 |- ( x e. Y -> ( x e. ( u i^i Y ) <-> x e. u ) )
5352adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) -> ( x e. ( u i^i Y ) <-> x e. u ) )
5450, 53sylan9bbr 737 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ y = ( u i^i Y ) ) -> ( x e. y <-> x e. u ) )
55 vex 3203 . . . . . . . . . . . 12 |- s e. _V
5655inex1 4799 . . . . . . . . . . 11 |- ( s i^i Y ) e. _V
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ s e. F ) -> ( s i^i Y ) e. _V )
58 elrest 16088 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( z e. ( F ↾t Y ) <-> E. s e. F z = ( s i^i Y ) ) )
59583adant1 1079 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( z e. ( F ↾t Y ) <-> E. s e. F z = ( s i^i Y ) ) )
6059adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) -> ( z e. ( F ↾t Y ) <-> E. s e. F z = ( s i^i Y ) ) )
61 ineq2 3808 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( s i^i Y ) -> ( y i^i z ) = ( y i^i ( s i^i Y ) ) )
6261adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ z = ( s i^i Y ) ) -> ( y i^i z ) = ( y i^i ( s i^i Y ) ) )
6362neeq1d 2853 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ z = ( s i^i Y ) ) -> ( ( y i^i z ) =/= (/) <-> ( y i^i ( s i^i Y ) ) =/= (/) ) )
6457, 60, 63ralxfr2d 4882 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) -> ( A. z e. ( F ↾t Y ) ( y i^i z ) =/= (/) <-> A. s e. F ( y i^i ( s i^i Y ) ) =/= (/) ) )
65 ineq1 3807 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( u i^i Y ) -> ( y i^i ( s i^i Y ) ) = ( ( u i^i Y ) i^i ( s i^i Y ) ) )
66 inindir 3831 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u i^i s ) i^i Y ) = ( ( u i^i Y ) i^i ( s i^i Y ) )
6765, 66syl6eqr 2674 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( u i^i Y ) -> ( y i^i ( s i^i Y ) ) = ( ( u i^i s ) i^i Y ) )
6867neeq1d 2853 . . . . . . . . . 10 |- ( y = ( u i^i Y ) -> ( ( y i^i ( s i^i Y ) ) =/= (/) <-> ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) ) )
6968ralbidv 2986 . . . . . . . . 9 |- ( y = ( u i^i Y ) -> ( A. s e. F ( y i^i ( s i^i Y ) ) =/= (/) <-> A. s e. F ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) ) )
7064, 69sylan9bb 736 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ y = ( u i^i Y ) ) -> ( A. z e. ( F ↾t Y ) ( y i^i z ) =/= (/) <-> A. s e. F ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) ) )
7154, 70imbi12d 334 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) /\ y = ( u i^i Y ) ) -> ( ( x e. y -> A. z e. ( F ↾t Y ) ( y i^i z ) =/= (/) ) <-> ( x e. u -> A. s e. F ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) ) ) )
7246, 49, 71ralxfr2d 4882 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) -> ( A. y e. ( J ↾t Y ) ( x e. y -> A. z e. ( F ↾t Y ) ( y i^i z ) =/= (/) ) <-> A. u e. J ( x e. u -> A. s e. F ( ( u i^i s ) i^i Y ) =/= (/) ) ) )
731adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) -> J e. (TopOn ` X ) )
7411adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) -> F e. ( Fil ` X ) )
753sselda 3603 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) -> x e. X )
76 fclsopn 21818 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( x e. ( J fClus F ) <-> ( x e. X /\ A. u e. J ( x e. u -> A. t e. F ( u i^i t ) =/= (/) ) ) ) )
7776baibd 948 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ x e. X ) -> ( x e. ( J fClus F ) <-> A. u e. J ( x e. u -> A. t e. F ( u i^i t ) =/= (/) ) ) )
7873, 74, 75, 77syl21anc 1325 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) -> ( x e. ( J fClus F ) <-> A. u e. J ( x e. u -> A. t e. F ( u i^i t ) =/= (/) ) ) )
7943, 72, 783bitr4d 300 . . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) /\ x e. Y ) -> ( A. y e. ( J ↾t Y ) ( x e. y -> A. z e. ( F ↾t Y ) ( y i^i z ) =/= (/) ) <-> x e. ( J fClus F ) ) )
8079pm5.32da 673 . . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( ( x e. Y /\ A. y e. ( J ↾t Y ) ( x e. y -> A. z e. ( F ↾t Y ) ( y i^i z ) =/= (/) ) ) <-> ( x e. Y /\ x e. ( J fClus F ) ) ) )
8116, 80bitrd 268 . . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( x e. ( ( J ↾t Y ) fClus ( F ↾t Y ) ) <-> ( x e. Y /\ x e. ( J fClus F ) ) ) )
82 elin 3796 . . . 4 |- ( x e. ( ( J fClus F ) i^i Y ) <-> ( x e. ( J fClus F ) /\ x e. Y ) )
83 ancom 466 . . . 4 |- ( ( x e. ( J fClus F ) /\ x e. Y ) <-> ( x e. Y /\ x e. ( J fClus F ) ) )
8482, 83bitri 264 . . 3 |- ( x e. ( ( J fClus F ) i^i Y ) <-> ( x e. Y /\ x e. ( J fClus F ) ) )
8581, 84syl6bbr 278 . 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( x e. ( ( J ↾t Y ) fClus ( F ↾t Y ) ) <-> x e. ( ( J fClus F ) i^i Y ) ) )
8685eqrdv 2620 1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ Y e. F ) -> ( ( J ↾t Y ) fClus ( F ↾t Y ) ) = ( ( J fClus F ) i^i Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ↾t crest 16081   fBascfbas 19734  TopOnctopon 20715   Filcfil 21649   fClus cfcls 21740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-fil 21650  df-fcls 21745
This theorem is referenced by:  relcmpcmet  23115
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