Theorem fzn0 12355

Description: Properties of a finite interval of integers which is nonempty. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzn0	|- ( ( M ... N ) =/= (/) <-> N e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem fzn0

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 3931	. . 3 |- ( ( M ... N ) =/= (/) <-> E. x x e. ( M ... N ) )
2		elfzuz2 12346	. . . 4 |- ( x e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
3	2	exlimiv 1858	. . 3 |- ( E. x x e. ( M ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
4	1, 3	sylbi 207	. 2 |- ( ( M ... N ) =/= (/) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5		eluzfz1 12348	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
6		ne0i 3921	. . 3 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( M ... N ) =/= (/) )
7	5, 6	syl 17	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... N ) =/= (/) )
8	4, 7	impbii 199	1 |- ( ( M ... N ) =/= (/) <-> N e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   (/)c0 3915   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  fzn  12357  fzfi  12771  fseqsupcl  12776  fsumrev2  14514  gsumval3  18308  pmatcollpw3fi  20590  iscmet3  23091  dchrisum0flblem1  25197  pntrsumbnd2  25256  wlkn0  26516  fzdifsuc2  39525  stoweidlem26  40243