Theorem fzfi 12771

Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzfi	|- ( M ... N ) e. Fin

Proof of Theorem fzfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fin 8188	. . 3 |- (/) e. Fin
2		eleq1 2689	. . 3 |- ( ( M ... N ) = (/) -> ( ( M ... N ) e. Fin <-> (/) e. Fin ) )
3	1, 2	mpbiri 248	. 2 |- ( ( M ... N ) = (/) -> ( M ... N ) e. Fin )
4		fzn0 12355	. . 3 |- ( ( M ... N ) =/= (/) <-> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5		onfin2 8152	. . . . . 6 |- om = ( On i^i Fin )
6		inss2 3834	. . . . . 6 |- ( On i^i Fin ) C_ Fin
7	5, 6	eqsstri 3635	. . . . 5 |- om C_ Fin
8		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om )
9	8	hashgf1o 12770	. . . . . 6 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) : om -1-1-onto-> NN0
10		peano2uz 11741	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
11		uznn0sub 11719	. . . . . . 7 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( N + 1 ) - M ) e. NN0 )
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( N + 1 ) - M ) e. NN0 )
13		f1ocnvdm 6540	. . . . . 6 |- ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) : om -1-1-onto-> NN0 /\ ( ( N + 1 ) - M ) e. NN0 ) -> ( `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( ( N + 1 ) - M ) ) e. om )
14	9, 12, 13	sylancr 695	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( ( N + 1 ) - M ) ) e. om )
15	7, 14	sseldi 3601	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( ( N + 1 ) - M ) ) e. Fin )
16	8	fzen2 12768	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... N ) ~~ ( `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( ( N + 1 ) - M ) ) )
17		enfii 8177	. . . 4 |- ( ( ( `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( ( N + 1 ) - M ) ) e. Fin /\ ( M ... N ) ~~ ( `' ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( ( N + 1 ) - M ) ) ) -> ( M ... N ) e. Fin )
18	15, 16, 17	syl2anc 693	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... N ) e. Fin )
19	4, 18	sylbi 207	. 2 |- ( ( M ... N ) =/= (/) -> ( M ... N ) e. Fin )
20	3, 19	pm2.61ine 2877	1 |- ( M ... N ) e. Fin

Syntax hints:   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   |` cres 5116   Oncon0 5723   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   reccrdg 7505   ~~ cen 7952   Fincfn 7955   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  fzfid  12772  fzofi  12773  fsequb  12774  fsequb2  12775  fseqsupcl  12776  ssnn0fi  12784  seqf1o  12842  isfinite4  13153  hashdom  13168  fzsdom2  13215  fnfz0hashnn0  13232  seqcoll2  13249  caubnd  14098  limsupgre  14212  fz1f1o  14441  summolem3  14445  summolem2  14447  zsum  14449  prodmolem3  14663  prodmolem2  14665  zprod  14667  risefallfac  14755  bpolylem  14779  phicl2  15473  phibnd  15476  hashdvds  15480  phiprmpw  15481  eulerth  15488  phisum  15495  pcfac  15603  prmreclem2  15621  prmreclem3  15622  prmreclem4  15623  prmreclem5  15624  prmrec  15626  1arith  15631  vdwlem6  15690  vdwlem10  15694  vdwlem12  15696  prmdvdsprmo  15746  prmgaplcmlem1  15755  prmgaplcm  15764  isstruct2  15867  gsumval3lem1  18306  gsumval3lem2  18307  gsumval3  18308  coe1mul2  19639  ovoliunlem2  23271  uniioombllem6  23356  itg0  23546  itgz  23547  coemullem  24006  aannenlem1  24083  aannenlem2  24084  birthdaylem1  24678  birthdaylem2  24679  wilthlem2  24795  wilthlem3  24796  ftalem5  24803  ppifi  24832  prmdvdsfi  24833  chtdif  24884  ppidif  24889  chp1  24893  ppiltx  24903  prmorcht  24904  mumul  24907  sqff1o  24908  ppiub  24929  pclogsum  24940  logexprlim  24950  gausslemma2dlem1  25091  gausslemma2dlem5  25096  gausslemma2dlem6  25097  lgseisenlem2  25101  axlowdimlem16  25837  konigsberglem5  27118  pmtrto1cl  29849  psgnfzto1stlem  29850  fzto1st  29853  psgnfzto1st  29855  smatcl  29868  1smat1  29870  esumpcvgval  30140  esumcvg  30148  carsggect  30380  carsgclctunlem2  30381  oddpwdc  30416  eulerpartlemb  30430  ballotlem1  30548  ballotlem2  30550  ballotlemfelz  30552  ballotlemfp1  30553  ballotlemfc0  30554  ballotlemfcc  30555  ballotlemfmpn  30556  ballotlemiex  30563  ballotlemsup  30566  ballotlemfg  30587  ballotlemfrc  30588  ballotlemfrceq  30590  ballotth  30599  plymulx0  30624  fsum2dsub  30685  reprfi2  30701  breprexpnat  30712  hgt750lemb  30734  hgt750leme  30736  subfacf  31157  subfacp1lem1  31161  subfacp1lem3  31164  subfacp1lem5  31166  subfacp1lem6  31167  erdszelem2  31174  erdszelem10  31182  cvmliftlem15  31280  bcprod  31624  ptrecube  33409  poimirlem25  33434  poimirlem26  33435  poimirlem27  33436  poimirlem28  33437  poimirlem29  33438  poimirlem30  33439  poimirlem31  33440  poimirlem32  33441  mblfinlem2  33447  volsupnfl  33454  itg2addnclem2  33462  nnubfi  33546  nninfnub  33547  cntotbnd  33595  eldioph2lem1  37323  eldioph2lem2  37324  eldioph2  37325  pellexlem5  37397  pellex  37399  jm2.22  37562  jm2.23  37563  hbt  37700  rp-isfinite6  37864  fzisoeu  39514  sumnnodd  39862  stoweidlem37  40254  stoweidlem44  40261  stoweidlem59  40276  fourierdlem37  40361  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  etransclem16  40467  etransclem24  40475  etransclem25  40476  etransclem33  40484  etransclem35  40486  etransclem44  40495  etransclem45  40496  sge0reuz  40664  hoidmvlelem2  40810  aacllem  42547