dchrisum0flblem1 - Metamath Proof Explorer

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Theorem dchrisum0flblem1 25197

Description: Lemma for dchrisum0flb 25199. Base case, prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
rpvmasum.z	ℤ/nℤ
rpvmasum.l	RHom
rpvmasum.a
rpvmasum2.g	DChr
rpvmasum2.d
rpvmasum2.1
dchrisum0f.f
dchrisum0f.x
dchrisum0flb.r
dchrisum0flblem1.1
dchrisum0flblem1.2

**Assertion**
Ref	Expression
dchrisum0flblem1

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem dchrisum0flblem1 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 10055	. . . . 5 $/\$ $/\$
2		0red 10041	. . . . 5 $/\$ $/\$
3	1, 2	ifclda 4120	. . . 4 $/\$
4		1red 10055	. . . 4 $/\$
5		fzfid 12772	. . . . . 6
6		dchrisum0flb.r	. . . . . . . 8
7		rpvmasum.a	. . . . . . . . . . 11
8	7	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . 10
9		rpvmasum.z	. . . . . . . . . . 11 ℤ/nℤ
10		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11
11		rpvmasum.l	. . . . . . . . . . 11 RHom
12	9, 10, 11	znzrhfo 19896	. . . . . . . . . 10
13		fof 6115	. . . . . . . . . 10
14	8, 12, 13	3syl 18	. . . . . . . . 9
15		dchrisum0flblem1.1	. . . . . . . . . 10
16		prmz 15389	. . . . . . . . . 10
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . 9
18	14, 17	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8
19	6, 18	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7
20		elfznn0 12433	. . . . . . 7
21		reexpcl 12877	. . . . . . 7 $/\$
22	19, 20, 21	syl2an 494	. . . . . 6 $/\$
23	5, 22	fsumrecl 14465	. . . . 5
24	23	adantr 481	. . . 4 $/\$
25		breq1 4656	. . . . . 6
26		breq1 4656	. . . . . 6
27		1le1 10655	. . . . . 6
28		0le1 10551	. . . . . 6
29	25, 26, 27, 28	keephyp 4152	. . . . 5
30	29	a1i 11	. . . 4 $/\$
31		dchrisum0flblem1.2	. . . . . . . . . 10
32		nn0uz 11722	. . . . . . . . . 10
33	31, 32	syl6eleq 2711	. . . . . . . . 9
34		fzn0 12355	. . . . . . . . 9
35	33, 34	sylibr 224	. . . . . . . 8
36		hashnncl 13157	. . . . . . . . 9
37	5, 36	syl 17	. . . . . . . 8
38	35, 37	mpbird 247	. . . . . . 7
39	38	adantr 481	. . . . . 6 $/\$
40	39	nnge1d 11063	. . . . 5 $/\$
41		simpr 477	. . . . . . . . 9 $/\$
42	41	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 $/\$
43		elfzelz 12342	. . . . . . . . 9
44		1exp 12889	. . . . . . . . 9
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . 8
46	42, 45	sylan9eq 2676	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
47	46	sumeq2dv 14433	. . . . . 6 $/\$
48		fzfid 12772	. . . . . . 7 $/\$
49		ax-1cn 9994	. . . . . . 7
50		fsumconst 14522	. . . . . . 7 $/\$
51	48, 49, 50	sylancl 694	. . . . . 6 $/\$
52	39	nncnd 11036	. . . . . . 7 $/\$
53	52	mulid1d 10057	. . . . . 6 $/\$
54	47, 51, 53	3eqtrd 2660	. . . . 5 $/\$
55	40, 54	breqtrrd 4681	. . . 4 $/\$
56	3, 4, 24, 30, 55	letrd 10194	. . 3 $/\$
57		oveq1 6657	. . . . . . 7
58	57	breq1d 4663	. . . . . 6
59		oveq1 6657	. . . . . . 7
60	59	breq1d 4663	. . . . . 6
61		1re 10039	. . . . . . . . . 10
62	19	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
63		resubcl 10345	. . . . . . . . . 10 $/\$
64	61, 62, 63	sylancr 695	. . . . . . . . 9 $/\$
65	64	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
66	65	leidd 10594	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
67	64	recnd 10068	. . . . . . . . 9 $/\$
68	67	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
69	68	mulid2d 10058	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
70		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . . 13
71	31, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
72	71	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
73	72	0expd 13024	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
74		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
75	74	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
76	73, 75, 74	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
77		neg1cn 11124	. . . . . . . . . . . . 13
78	31	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
79		expp1 12867	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
80	77, 78, 79	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
81		prmnn 15388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
82	15, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
83	82, 31	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
84	83	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
85	84	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
86	85	sqsqrtd 14178	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
87	86	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
88	15	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
89		nnq 11801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
90	89	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
91		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
92	91	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
93		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
94	93	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
95		pcexp 15564	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
96	88, 90, 92, 94, 95	syl121anc 1331	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
97	78	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
98		pcid 15577	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
99	88, 97, 98	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
100	87, 96, 99	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
101	100	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
102	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
103		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
104	88, 103	pccld 15555	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
105		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
106	105	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
107	102, 104, 106	expmuld 13011	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
108		neg1sqe1 12959	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
109	108	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . 16
110	104	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
111		1exp 12889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
112	110, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
113	109, 112	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
114	101, 107, 113	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
115	114	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
116	77	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . . . 13
117	115, 116	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
118	80, 117	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
119	118	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
120	19	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15
121	120	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
122	121	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
123	122	negnegd 10383	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
124		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
125	124	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
126		rpvmasum2.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 DChr
127		rpvmasum2.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
128		dchrisum0f.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
129	128	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
130		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Unit Unit
131	126, 9, 127, 10, 130, 128, 18	dchrn0 24975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Unit
132	131	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ Unit
133	132	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ Unit
134	126, 127, 129, 9, 130, 133	dchrabs 24985	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
135		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
136	134, 135	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
137	136	necon3ad 2807	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
138	125, 137	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
139	62	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
140	139	absord 14154	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
141	140	ord 392	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
142	138, 141	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
143	142, 134	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
144	143	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
145	123, 144	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
146	145	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
147	119, 146, 145	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
148	76, 147	pm2.61dane 2881	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
149	148	oveq2d 6666	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
150	66, 69, 149	3brtr4d 4685	. . . . . 6 $/\$ $/\$
151	67	mul02d 10234	. . . . . . . 8 $/\$
152		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . 13
153	31, 152	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
154	19, 153	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . 11
155	154	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
156	155	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 $/\$
157	156	abscld 14175	. . . . . . . . . 10 $/\$
158		1red 10055	. . . . . . . . . 10 $/\$
159	155	leabsd 14153	. . . . . . . . . 10 $/\$
160	153	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
161	121, 160	absexpd 14191	. . . . . . . . . . 11 $/\$
162	121	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
163	121	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
164	126, 127, 9, 10, 128, 18	dchrabs2 24987	. . . . . . . . . . . . 13
165	164	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
166		exple1 12920	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
167	162, 163, 165, 160, 166	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . 11 $/\$
168	161, 167	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . 10 $/\$
169	155, 157, 158, 159, 168	letrd 10194	. . . . . . . . 9 $/\$
170		subge0 10541	. . . . . . . . . 10 $/\$
171	61, 155, 170	sylancr 695	. . . . . . . . 9 $/\$
172	169, 171	mpbird 247	. . . . . . . 8 $/\$
173	151, 172	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 $/\$
174	173	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ $/\$
175	58, 60, 150, 174	ifbothda 4123	. . . . 5 $/\$
176		0re 10040	. . . . . . . 8
177	61, 176	keepel 4155	. . . . . . 7
178	177	a1i 11	. . . . . 6 $/\$
179		resubcl 10345	. . . . . . 7 $/\$
180	61, 155, 179	sylancr 695	. . . . . 6 $/\$
181	124	necomd 2849	. . . . . . . 8 $/\$
182	62	leabsd 14153	. . . . . . . . . 10 $/\$
183	62, 162, 158, 182, 165	letrd 10194	. . . . . . . . 9 $/\$
184	62, 158, 183	leltned 10190	. . . . . . . 8 $/\$
185	181, 184	mpbird 247	. . . . . . 7 $/\$
186		posdif 10521	. . . . . . . 8 $/\$
187	62, 61, 186	sylancl 694	. . . . . . 7 $/\$
188	185, 187	mpbid 222	. . . . . 6 $/\$
189		lemuldiv 10903	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
190	178, 180, 64, 188, 189	syl112anc 1330	. . . . 5 $/\$
191	175, 190	mpbid 222	. . . 4 $/\$
192	31	nn0zd 11480	. . . . . . . 8
193		fzval3 12536	. . . . . . . 8 ..^
194	192, 193	syl 17	. . . . . . 7 ..^
195	194	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ ..^
196	195	sumeq1d 14431	. . . . 5 $/\$ ..^
197		0nn0 11307	. . . . . . 7
198	197	a1i 11	. . . . . 6 $/\$
199	153, 32	syl6eleq 2711	. . . . . . 7
200	199	adantr 481	. . . . . 6 $/\$
201	121, 124, 198, 200	geoserg 14598	. . . . 5 $/\$ ..^
202	121	exp0d 13002	. . . . . . 7 $/\$
203	202	oveq1d 6665	. . . . . 6 $/\$
204	203	oveq1d 6665	. . . . 5 $/\$
205	196, 201, 204	3eqtrd 2660	. . . 4 $/\$
206	191, 205	breqtrrd 4681	. . 3 $/\$
207	56, 206	pm2.61dane 2881	. 2
208		rpvmasum2.1	. . . . 5
209		dchrisum0f.f	. . . . 5
210	9, 11, 7, 126, 127, 208, 209	dchrisum0fval 25194	. . . 4
211	83, 210	syl 17	. . 3
212		fveq2 6191	. . . . 5
213	212	fveq2d 6195	. . . 4
214		eqid 2622	. . . . . 6
215	214	dvdsppwf1o 24912	. . . . 5 $/\$
216	15, 31, 215	syl2anc 693	. . . 4
217		oveq2 6658	. . . . . 6
218		ovex 6678	. . . . . 6
219	217, 214, 218	fvmpt3i 6287	. . . . 5
220	219	adantl 482	. . . 4 $/\$
221	6	adantr 481	. . . . . 6 $/\$
222		elrabi 3359	. . . . . . . 8
223	222	nnzd 11481	. . . . . . 7
224		ffvelrn 6357	. . . . . . 7 $/\$
225	14, 223, 224	syl2an 494	. . . . . 6 $/\$
226	221, 225	ffvelrnd 6360	. . . . 5 $/\$
227	226	recnd 10068	. . . 4 $/\$
228	213, 5, 216, 220, 227	fsumf1o 14454	. . 3
229		zsubrg 19799	. . . . . . . . . . 11 SubRingℂ_fld
230		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 mulGrpℂ_fld mulGrpℂ_fld
231	230	subrgsubm 18793	. . . . . . . . . . 11 SubRingℂ_fld SubMndmulGrpℂ_fld
232	229, 231	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 $/\$ SubMndmulGrpℂ_fld
233	20	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$
234	17	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
235		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ._gmulGrpℂ_fld ._gmulGrpℂ_fld
236		zringmpg 19840	. . . . . . . . . . . 12 mulGrpℂ_fld ↾_s mulGrpℤ_ring
237	236	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . 11 mulGrpℤ_ring mulGrpℂ_fld ↾_s
238		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ._gmulGrpℤ_ring ._gmulGrpℤ_ring
239	235, 237, 238	submmulg 17586	. . . . . . . . . 10 SubMndmulGrpℂ_fld $/\$ $/\$ ._gmulGrpℂ_fld ._gmulGrpℤ_ring
240	232, 233, 234, 239	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 $/\$ ._gmulGrpℂ_fld ._gmulGrpℤ_ring
241	82	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10
242		cnfldexp 19779	. . . . . . . . . 10 $/\$ ._gmulGrpℂ_fld
243	241, 20, 242	syl2an 494	. . . . . . . . 9 $/\$ ._gmulGrpℂ_fld
244	240, 243	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8 $/\$ ._gmulGrpℤ_ring
245	244	fveq2d 6195	. . . . . . 7 $/\$ ._gmulGrpℤ_ring
246	9	zncrng 19893	. . . . . . . . . . 11
247		crngring 18558	. . . . . . . . . . 11
248	8, 246, 247	3syl 18	. . . . . . . . . 10
249	11	zrhrhm 19860	. . . . . . . . . 10 ℤ_ring RingHom
250		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 mulGrpℤ_ring mulGrpℤ_ring
251		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 mulGrp mulGrp
252	250, 251	rhmmhm 18722	. . . . . . . . . 10 ℤ_ring RingHom mulGrpℤ_ring MndHom mulGrp
253	248, 249, 252	3syl 18	. . . . . . . . 9 mulGrpℤ_ring MndHom mulGrp
254	253	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ mulGrpℤ_ring MndHom mulGrp
255		zringbas 19824	. . . . . . . . . 10 ℤ_ring
256	250, 255	mgpbas 18495	. . . . . . . . 9 mulGrpℤ_ring
257		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ._gmulGrp ._gmulGrp
258	256, 238, 257	mhmmulg 17583	. . . . . . . 8 mulGrpℤ_ring MndHom mulGrp $/\$ $/\$ ._gmulGrpℤ_ring ._gmulGrp
259	254, 233, 234, 258	syl3anc 1326	. . . . . . 7 $/\$ ._gmulGrpℤ_ring ._gmulGrp
260	245, 259	eqtr3d 2658	. . . . . 6 $/\$ ._gmulGrp
261	260	fveq2d 6195	. . . . 5 $/\$ ._gmulGrp
262	126, 9, 127	dchrmhm 24966	. . . . . . . 8 mulGrp MndHom mulGrpℂ_fld
263	262, 128	sseldi 3601	. . . . . . 7 mulGrp MndHom mulGrpℂ_fld
264	263	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ mulGrp MndHom mulGrpℂ_fld
265	18	adantr 481	. . . . . 6 $/\$
266	251, 10	mgpbas 18495	. . . . . . 7 mulGrp
267	266, 257, 235	mhmmulg 17583	. . . . . 6 mulGrp MndHom mulGrpℂ_fld $/\$ $/\$ ._gmulGrp ._gmulGrpℂ_fld
268	264, 233, 265, 267	syl3anc 1326	. . . . 5 $/\$ ._gmulGrp ._gmulGrpℂ_fld
269		cnfldexp 19779	. . . . . 6 $/\$ ._gmulGrpℂ_fld
270	120, 20, 269	syl2an 494	. . . . 5 $/\$ ._gmulGrpℂ_fld
271	261, 268, 270	3eqtrd 2660	. . . 4 $/\$
272	271	sumeq2dv 14433	. . 3
273	211, 228, 272	3eqtrd 2660	. 2
274	207, 273	breqtrrd 4681	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

crab 2916

c0 3915

cif 4086 class class class wbr 4653

cmpt 4729

wf 5884

wfo 5886

wf1o 5887

cfv 5888 (class class class)co 6650

cfn 7955

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cneg 10267

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cq 11788

cfz 12326 ..^cfzo 12465

cexp 12860

chash 13117

csqrt 13973

cabs 13974

csu 14416

cdvds 14983

cprime 15385

cpc 15541

cbs 15857 ↾_s cress 15858

c0g 16100 MndHom cmhm 17333 SubMndcsubmnd 17334 ._gcmg 17540 mulGrpcmgp 18489

crg 18547

ccrg 18548 Unitcui 18639 RingHom crh 18712 SubRingcsubrg 18776 ℂ_fldccnfld 19746 ℤ_ringzring 19818

RHomczrh 19848 ℤ/nℤczn 19851 DChrcdchr 24957

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-disj 4621 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-tpos 7352 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-omul 7565 df-er 7742 df-ec 7744 df-qs 7748 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-acn 8768 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-sin 14800 df-cos 14801 df-pi 14803 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386 df-pc 15542 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-qus 16169 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-mhm 17335 df-submnd 17336 df-grp 17425 df-minusg 17426 df-sbg 17427 df-mulg 17541 df-subg 17591 df-nsg 17592 df-eqg 17593 df-ghm 17658 df-cntz 17750 df-od 17948 df-cmn 18195 df-abl 18196 df-mgp 18490 df-ur 18502 df-ring 18549 df-cring 18550 df-oppr 18623 df-dvdsr 18641 df-unit 18642 df-invr 18672 df-dvr 18683 df-rnghom 18715 df-drng 18749 df-subrg 18778 df-lmod 18865 df-lss 18933 df-lsp 18972 df-sra 19172 df-rgmod 19173 df-lidl 19174 df-rsp 19175 df-2idl 19232 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-zring 19819 df-zrh 19852 df-zn 19855 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631 df-log 24303 df-cxp 24304 df-dchr 24958

This theorem is referenced by: dchrisum0flblem2 25198 dchrisum0flb 25199

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