Theorem wlkn0 26516

Description: The sequence of vertices of a walk cannot be empty, i.e. a walk always consists of at least one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Jul-2018.) (Revised by AV, 2-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wlkn0	|- ( F (Walks ` G ) P -> P =/= (/) )

Proof of Theorem wlkn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . 5 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
2	1	wlkp 26512	. . . 4 |- ( F (Walks ` G ) P -> P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> (Vtx ` G ) )
3		fdm 6051	. . . . 5 |- ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> (Vtx ` G ) -> dom P = ( 0 ... ( # ` F ) ) )
4	3	eqcomd 2628	. . . 4 |- ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> (Vtx ` G ) -> ( 0 ... ( # ` F ) ) = dom P )
5	2, 4	syl 17	. . 3 |- ( F (Walks ` G ) P -> ( 0 ... ( # ` F ) ) = dom P )
6		wlkcl 26511	. . . 4 |- ( F (Walks ` G ) P -> ( # ` F ) e. NN0 )
7		elnn0uz 11725	. . . . 5 |- ( ( # ` F ) e. NN0 <-> ( # ` F ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
8		fzn0 12355	. . . . 5 |- ( ( 0 ... ( # ` F ) ) =/= (/) <-> ( # ` F ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
9	7, 8	sylbb2 228	. . . 4 |- ( ( # ` F ) e. NN0 -> ( 0 ... ( # ` F ) ) =/= (/) )
10	6, 9	syl 17	. . 3 |- ( F (Walks ` G ) P -> ( 0 ... ( # ` F ) ) =/= (/) )
11	5, 10	eqnetrrd 2862	. 2 |- ( F (Walks ` G ) P -> dom P =/= (/) )
12		frel 6050	. . . 4 |- ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> (Vtx ` G ) -> Rel P )
13	2, 12	syl 17	. . 3 |- ( F (Walks ` G ) P -> Rel P )
14		reldm0 5343	. . . 4 |- ( Rel P -> ( P = (/) <-> dom P = (/) ) )
15	14	necon3bid 2838	. . 3 |- ( Rel P -> ( P =/= (/) <-> dom P =/= (/) ) )
16	13, 15	syl 17	. 2 |- ( F (Walks ` G ) P -> ( P =/= (/) <-> dom P =/= (/) ) )
17	11, 16	mpbird 247	1 |- ( F (Walks ` G ) P -> P =/= (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   Rel wrel 5119   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   #chash 13117  Vtxcvtx 25874  Walkscwlks 26492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1013  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-wlks 26495

This theorem is referenced by:  wlkvv  26522  g0wlk0  26548  wlkiswwlks1  26753  wlknewwlksn  26773