Theorem fzn 12357

Description: A finite set of sequential integers is empty if the bounds are reversed. (Contributed by NM, 22-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzn	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M <-> ( M ... N ) = (/) ) )

Proof of Theorem fzn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzn0 12355	. . . 4 |- ( ( M ... N ) =/= (/) <-> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluz 11701	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ N ) )
3	1, 2	syl5bb 272	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M ... N ) =/= (/) <-> M <_ N ) )
4		zre 11381	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
5		zre 11381	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
6		lenlt 10116	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M <_ N <-> -. N < M ) )
7	4, 5, 6	syl2an 494	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> -. N < M ) )
8	3, 7	bitr2d 269	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. N < M <-> ( M ... N ) =/= (/) ) )
9	8	necon4bbid 2835	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M <-> ( M ... N ) = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  fz1n  12359  fz10  12362  fzsuc2  12398  fzm1  12420  fzon  12489  hashfzp1  13218  isumsplit  14572  arisum2  14593  risefall0lem  14757  prmreclem4  15623  prmreclem5  15624  vdwap0  15680  abelthlem6  24190  ppi1  24890  cht1  24891  ppiublem2  24928  lgsdir2lem3  25052  wlkv0  26547  chtvalz  30707  fz0n  31616  poimirlem10  33419  poimirlem23  33432  poimirlem28  33437  fdc  33541  mettrifi  33553  fzisoeu  39514  fzdifsuc2  39525