Theorem pwssplit4 37659

Description: Splitting for structure powers 4: maps isomorphically onto the other half. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwssplit4.e	|- E = ( R ^s ( A u. B ) )
pwssplit4.g	|- G = ( Base ` E )
pwssplit4.z	|- .0. = ( 0g ` R )
pwssplit4.k	|- K = { y e. G | ( y |` A ) = ( A X. { .0. } ) }
pwssplit4.f	|- F = ( x e. K |-> ( x |` B ) )
pwssplit4.c	|- C = ( R ^s A )
pwssplit4.d	|- D = ( R ^s B )
pwssplit4.l	|- L = ( E ↾s K )

Assertion

Ref	Expression
pwssplit4	|- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> F e. ( L LMIso D ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, C, y   x, D, y   x, E, y   x, G, y   x, K   x, L   x, R, y   x, V, y   x, .0. , y

Allowed substitution hints:   F( x, y)   K( y)   L( y)

Proof of Theorem pwssplit4

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwssplit4.f	. . . 4 |- F = ( x e. K |-> ( x |` B ) )
2		pwssplit4.k	. . . . . 6 |- K = { y e. G | ( y |` A ) = ( A X. { .0. } ) }
3		ssrab2 3687	. . . . . 6 |- { y e. G | ( y |` A ) = ( A X. { .0. } ) } C_ G
4	2, 3	eqsstri 3635	. . . . 5 |- K C_ G
5		resmpt 5449	. . . . 5 |- ( K C_ G -> ( ( x e. G |-> ( x |` B ) ) |` K ) = ( x e. K |-> ( x |` B ) ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( x e. G |-> ( x |` B ) ) |` K ) = ( x e. K |-> ( x |` B ) )
7	1, 6	eqtr4i 2647	. . 3 |- F = ( ( x e. G |-> ( x |` B ) ) |` K )
8		ssun2 3777	. . . . . 6 |- B C_ ( A u. B )
9	8	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> B C_ ( A u. B ) )
10		pwssplit4.e	. . . . . 6 |- E = ( R ^s ( A u. B ) )
11		pwssplit4.d	. . . . . 6 |- D = ( R ^s B )
12		pwssplit4.g	. . . . . 6 |- G = ( Base ` E )
13		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` D ) = ( Base ` D )
14		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( x e. G |-> ( x |` B ) ) = ( x e. G |-> ( x |` B ) )
15	10, 11, 12, 13, 14	pwssplit3 19061	. . . . 5 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ B C_ ( A u. B ) ) -> ( x e. G |-> ( x |` B ) ) e. ( E LMHom D ) )
16	9, 15	syld3an3 1371	. . . 4 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( x e. G |-> ( x |` B ) ) e. ( E LMHom D ) )
17		simp1 1061	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> R e. LMod )
18		lmodgrp 18870	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. LMod -> R e. Grp )
19		grpmnd 17429	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Grp -> R e. Mnd )
20	17, 18, 19	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> R e. Mnd )
21		ssun1 3776	. . . . . . . . . . 11 |- A C_ ( A u. B )
22		ssexg 4804	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ ( A u. B ) /\ ( A u. B ) e. V ) -> A e. _V )
23	21, 22	mpan 706	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A u. B ) e. V -> A e. _V )
24	23	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> A e. _V )
25		pwssplit4.c	. . . . . . . . . 10 |- C = ( R ^s A )
26		pwssplit4.z	. . . . . . . . . 10 |- .0. = ( 0g ` R )
27	25, 26	pws0g 17326	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Mnd /\ A e. _V ) -> ( A X. { .0. } ) = ( 0g ` C ) )
28	20, 24, 27	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A X. { .0. } ) = ( 0g ` C ) )
29	28	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( ( y |` A ) = ( A X. { .0. } ) <-> ( y |` A ) = ( 0g ` C ) ) )
30	29	rabbidv 3189	. . . . . 6 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> { y e. G | ( y |` A ) = ( A X. { .0. } ) } = { y e. G | ( y |` A ) = ( 0g ` C ) } )
31	2, 30	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> K = { y e. G | ( y |` A ) = ( 0g ` C ) } )
32	21	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> A C_ ( A u. B ) )
33		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Base ` C ) = ( Base ` C )
34		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( y e. G |-> ( y |` A ) ) = ( y e. G |-> ( y |` A ) )
35	10, 25, 12, 33, 34	pwssplit3 19061	. . . . . . 7 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ A C_ ( A u. B ) ) -> ( y e. G |-> ( y |` A ) ) e. ( E LMHom C ) )
36	32, 35	syld3an3 1371	. . . . . 6 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( y e. G |-> ( y |` A ) ) e. ( E LMHom C ) )
37		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` C ) e. _V
38	34	mptiniseg 5629	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0g ` C ) e. _V -> ( `' ( y e. G |-> ( y |` A ) ) " { ( 0g ` C ) } ) = { y e. G | ( y |` A ) = ( 0g ` C ) } )
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( `' ( y e. G |-> ( y |` A ) ) " { ( 0g ` C ) } ) = { y e. G | ( y |` A ) = ( 0g ` C ) }
40	39	eqcomi 2631	. . . . . . 7 |- { y e. G | ( y |` A ) = ( 0g ` C ) } = ( `' ( y e. G |-> ( y |` A ) ) " { ( 0g ` C ) } )
41		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 0g ` C ) = ( 0g ` C )
42		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( LSubSp ` E ) = ( LSubSp ` E )
43	40, 41, 42	lmhmkerlss 19051	. . . . . 6 |- ( ( y e. G |-> ( y |` A ) ) e. ( E LMHom C ) -> { y e. G | ( y |` A ) = ( 0g ` C ) } e. ( LSubSp ` E ) )
44	36, 43	syl 17	. . . . 5 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> { y e. G | ( y |` A ) = ( 0g ` C ) } e. ( LSubSp ` E ) )
45	31, 44	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> K e. ( LSubSp ` E ) )
46		pwssplit4.l	. . . . 5 |- L = ( E ↾s K )
47	42, 46	reslmhm 19052	. . . 4 |- ( ( ( x e. G |-> ( x |` B ) ) e. ( E LMHom D ) /\ K e. ( LSubSp ` E ) ) -> ( ( x e. G |-> ( x |` B ) ) |` K ) e. ( L LMHom D ) )
48	16, 45, 47	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( ( x e. G |-> ( x |` B ) ) |` K ) e. ( L LMHom D ) )
49	7, 48	syl5eqel 2705	. 2 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> F e. ( L LMHom D ) )
50	1	fvtresfn 6284	. . . . . . 7 |- ( a e. K -> ( F ` a ) = ( a |` B ) )
51		ssexg 4804	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B C_ ( A u. B ) /\ ( A u. B ) e. V ) -> B e. _V )
52	8, 51	mpan 706	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A u. B ) e. V -> B e. _V )
53	52	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> B e. _V )
54	11, 26	pws0g 17326	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Mnd /\ B e. _V ) -> ( B X. { .0. } ) = ( 0g ` D ) )
55	20, 53, 54	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( B X. { .0. } ) = ( 0g ` D ) )
56	55	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( 0g ` D ) = ( B X. { .0. } ) )
57	50, 56	eqeqan12rd 2640	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ a e. K ) -> ( ( F ` a ) = ( 0g ` D ) <-> ( a |` B ) = ( B X. { .0. } ) ) )
58		reseq1 5390	. . . . . . . . . 10 |- ( y = a -> ( y |` A ) = ( a |` A ) )
59	58	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( y = a -> ( ( y |` A ) = ( A X. { .0. } ) <-> ( a |` A ) = ( A X. { .0. } ) ) )
60	59, 2	elrab2 3366	. . . . . . . 8 |- ( a e. K <-> ( a e. G /\ ( a |` A ) = ( A X. { .0. } ) ) )
61		uneq12 3762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a |` A ) = ( A X. { .0. } ) /\ ( a |` B ) = ( B X. { .0. } ) ) -> ( ( a |` A ) u. ( a |` B ) ) = ( ( A X. { .0. } ) u. ( B X. { .0. } ) ) )
62		resundi 5410	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a |` ( A u. B ) ) = ( ( a |` A ) u. ( a |` B ) )
63		xpundir 5172	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A u. B ) X. { .0. } ) = ( ( A X. { .0. } ) u. ( B X. { .0. } ) )
64	61, 62, 63	3eqtr4g 2681	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a |` A ) = ( A X. { .0. } ) /\ ( a |` B ) = ( B X. { .0. } ) ) -> ( a |` ( A u. B ) ) = ( ( A u. B ) X. { .0. } ) )
65	64	adantll 750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. G /\ ( a |` A ) = ( A X. { .0. } ) ) /\ ( a |` B ) = ( B X. { .0. } ) ) -> ( a |` ( A u. B ) ) = ( ( A u. B ) X. { .0. } ) )
66	65	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( a e. G /\ ( a |` A ) = ( A X. { .0. } ) ) /\ ( a |` B ) = ( B X. { .0. } ) ) ) -> ( a |` ( A u. B ) ) = ( ( A u. B ) X. { .0. } ) )
67		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
68		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( a e. G /\ ( a |` A ) = ( A X. { .0. } ) ) /\ ( a |` B ) = ( B X. { .0. } ) ) ) -> R e. LMod )
69		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A u. B ) e. V )
70	69	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( a e. G /\ ( a |` A ) = ( A X. { .0. } ) ) /\ ( a |` B ) = ( B X. { .0. } ) ) ) -> ( A u. B ) e. V )
71		simprll 802	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( a e. G /\ ( a |` A ) = ( A X. { .0. } ) ) /\ ( a |` B ) = ( B X. { .0. } ) ) ) -> a e. G )
72	10, 67, 12, 68, 70, 71	pwselbas 16149	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( a e. G /\ ( a |` A ) = ( A X. { .0. } ) ) /\ ( a |` B ) = ( B X. { .0. } ) ) ) -> a : ( A u. B ) --> ( Base ` R ) )
73		ffn 6045	. . . . . . . . . . 11 |- ( a : ( A u. B ) --> ( Base ` R ) -> a Fn ( A u. B ) )
74		fnresdm 6000	. . . . . . . . . . 11 |- ( a Fn ( A u. B ) -> ( a |` ( A u. B ) ) = a )
75	72, 73, 74	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( a e. G /\ ( a |` A ) = ( A X. { .0. } ) ) /\ ( a |` B ) = ( B X. { .0. } ) ) ) -> ( a |` ( A u. B ) ) = a )
76	10, 26	pws0g 17326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Mnd /\ ( A u. B ) e. V ) -> ( ( A u. B ) X. { .0. } ) = ( 0g ` E ) )
77	20, 69, 76	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( ( A u. B ) X. { .0. } ) = ( 0g ` E ) )
78	10	pwslmod 18970	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V ) -> E e. LMod )
79	78	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> E e. LMod )
80	42	lsssubg 18957	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( E e. LMod /\ K e. ( LSubSp ` E ) ) -> K e. (SubGrp ` E ) )
81	79, 45, 80	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> K e. (SubGrp ` E ) )
82		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0g ` E ) = ( 0g ` E )
83	46, 82	subg0 17600	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. (SubGrp ` E ) -> ( 0g ` E ) = ( 0g ` L ) )
84	81, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( 0g ` E ) = ( 0g ` L ) )
85	77, 84	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( ( A u. B ) X. { .0. } ) = ( 0g ` L ) )
86	85	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( a e. G /\ ( a |` A ) = ( A X. { .0. } ) ) /\ ( a |` B ) = ( B X. { .0. } ) ) ) -> ( ( A u. B ) X. { .0. } ) = ( 0g ` L ) )
87	66, 75, 86	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( a e. G /\ ( a |` A ) = ( A X. { .0. } ) ) /\ ( a |` B ) = ( B X. { .0. } ) ) ) -> a = ( 0g ` L ) )
88	87	exp32 631	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( ( a e. G /\ ( a |` A ) = ( A X. { .0. } ) ) -> ( ( a |` B ) = ( B X. { .0. } ) -> a = ( 0g ` L ) ) ) )
89	60, 88	syl5bi 232	. . . . . . 7 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( a e. K -> ( ( a |` B ) = ( B X. { .0. } ) -> a = ( 0g ` L ) ) ) )
90	89	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ a e. K ) -> ( ( a |` B ) = ( B X. { .0. } ) -> a = ( 0g ` L ) ) )
91	57, 90	sylbid 230	. . . . 5 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ a e. K ) -> ( ( F ` a ) = ( 0g ` D ) -> a = ( 0g ` L ) ) )
92	91	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> A. a e. K ( ( F ` a ) = ( 0g ` D ) -> a = ( 0g ` L ) ) )
93		lmghm 19031	. . . . 5 |- ( F e. ( L LMHom D ) -> F e. ( L GrpHom D ) )
94	46, 12	ressbas2 15931	. . . . . . 7 |- ( K C_ G -> K = ( Base ` L ) )
95	4, 94	ax-mp 5	. . . . . 6 |- K = ( Base ` L )
96		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( 0g ` L ) = ( 0g ` L )
97		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( 0g ` D ) = ( 0g ` D )
98	95, 13, 96, 97	ghmf1 17689	. . . . 5 |- ( F e. ( L GrpHom D ) -> ( F : K -1-1-> ( Base ` D ) <-> A. a e. K ( ( F ` a ) = ( 0g ` D ) -> a = ( 0g ` L ) ) ) )
99	49, 93, 98	3syl 18	. . . 4 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( F : K -1-1-> ( Base ` D ) <-> A. a e. K ( ( F ` a ) = ( 0g ` D ) -> a = ( 0g ` L ) ) ) )
100	92, 99	mpbird 247	. . 3 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> F : K -1-1-> ( Base ` D ) )
101		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` L ) = ( Base ` L )
102	101, 13	lmhmf 19034	. . . . 5 |- ( F e. ( L LMHom D ) -> F : ( Base ` L ) --> ( Base ` D ) )
103		frn 6053	. . . . 5 |- ( F : ( Base ` L ) --> ( Base ` D ) -> ran F C_ ( Base ` D ) )
104	49, 102, 103	3syl 18	. . . 4 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ran F C_ ( Base ` D ) )
105	11, 67, 13	pwselbasb 16148	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. LMod /\ B e. _V ) -> ( a e. ( Base ` D ) <-> a : B --> ( Base ` R ) ) )
106	17, 53, 105	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( a e. ( Base ` D ) <-> a : B --> ( Base ` R ) ) )
107	106	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ a e. ( Base ` D ) ) -> a : B --> ( Base ` R ) )
108		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 0g ` R ) e. _V
109	26, 108	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- .0. e. _V
110	109	fconst 6091	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A X. { .0. } ) : A --> { .0. }
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ a e. ( Base ` D ) ) -> ( A X. { .0. } ) : A --> { .0. } )
112	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ a e. ( Base ` D ) ) -> R e. Mnd )
113	67, 26	mndidcl 17308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( R e. Mnd -> .0. e. ( Base ` R ) )
114	112, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ a e. ( Base ` D ) ) -> .0. e. ( Base ` R ) )
115	114	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ a e. ( Base ` D ) ) -> { .0. } C_ ( Base ` R ) )
116	111, 115	fssd 6057	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ a e. ( Base ` D ) ) -> ( A X. { .0. } ) : A --> ( Base ` R ) )
117		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B i^i A ) = ( A i^i B )
118		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A i^i B ) = (/) )
119	117, 118	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( B i^i A ) = (/) )
120	119	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ a e. ( Base ` D ) ) -> ( B i^i A ) = (/) )
121		fun 6066	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a : B --> ( Base ` R ) /\ ( A X. { .0. } ) : A --> ( Base ` R ) ) /\ ( B i^i A ) = (/) ) -> ( a u. ( A X. { .0. } ) ) : ( B u. A ) --> ( ( Base ` R ) u. ( Base ` R ) ) )
122	107, 116, 120, 121	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ a e. ( Base ` D ) ) -> ( a u. ( A X. { .0. } ) ) : ( B u. A ) --> ( ( Base ` R ) u. ( Base ` R ) ) )
123		uncom 3757	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B u. A ) = ( A u. B )
124		unidm 3756	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Base ` R ) u. ( Base ` R ) ) = ( Base ` R )
125	123, 124	feq23i 6039	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a u. ( A X. { .0. } ) ) : ( B u. A ) --> ( ( Base ` R ) u. ( Base ` R ) ) <-> ( a u. ( A X. { .0. } ) ) : ( A u. B ) --> ( Base ` R ) )
126	122, 125	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ a e. ( Base ` D ) ) -> ( a u. ( A X. { .0. } ) ) : ( A u. B ) --> ( Base ` R ) )
127	10, 67, 12	pwselbasb 16148	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V ) -> ( ( a u. ( A X. { .0. } ) ) e. G <-> ( a u. ( A X. { .0. } ) ) : ( A u. B ) --> ( Base ` R ) ) )
128	127	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( ( a u. ( A X. { .0. } ) ) e. G <-> ( a u. ( A X. { .0. } ) ) : ( A u. B ) --> ( Base ` R ) ) )
129	128	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ a e. ( Base ` D ) ) -> ( ( a u. ( A X. { .0. } ) ) e. G <-> ( a u. ( A X. { .0. } ) ) : ( A u. B ) --> ( Base ` R ) ) )
130	126, 129	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ a e. ( Base ` D ) ) -> ( a u. ( A X. { .0. } ) ) e. G )
131		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ a e. ( Base ` D ) ) -> ( A i^i B ) = (/) )
132	117, 131	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ a e. ( Base ` D ) ) -> ( B i^i A ) = (/) )
133		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a : B --> ( Base ` R ) -> a Fn B )
134		fnresdisj 6001	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a Fn B -> ( ( B i^i A ) = (/) <-> ( a |` A ) = (/) ) )
135	107, 133, 134	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ a e. ( Base ` D ) ) -> ( ( B i^i A ) = (/) <-> ( a |` A ) = (/) ) )
136	132, 135	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ a e. ( Base ` D ) ) -> ( a |` A ) = (/) )
137		fnconstg 6093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( .0. e. _V -> ( A X. { .0. } ) Fn A )
138		fnresdm 6000	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A X. { .0. } ) Fn A -> ( ( A X. { .0. } ) |` A ) = ( A X. { .0. } ) )
139	109, 137, 138	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A X. { .0. } ) |` A ) = ( A X. { .0. } )
140	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ a e. ( Base ` D ) ) -> ( ( A X. { .0. } ) |` A ) = ( A X. { .0. } ) )
141	136, 140	uneq12d 3768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ a e. ( Base ` D ) ) -> ( ( a |` A ) u. ( ( A X. { .0. } ) |` A ) ) = ( (/) u. ( A X. { .0. } ) ) )
142		resundir 5411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a u. ( A X. { .0. } ) ) |` A ) = ( ( a |` A ) u. ( ( A X. { .0. } ) |` A ) )
143		uncom 3757	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) u. ( A X. { .0. } ) ) = ( ( A X. { .0. } ) u. (/) )
144		un0 3967	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A X. { .0. } ) u. (/) ) = ( A X. { .0. } )
145	143, 144	eqtr2i 2645	. . . . . . . . . . 11 |- ( A X. { .0. } ) = ( (/) u. ( A X. { .0. } ) )
146	141, 142, 145	3eqtr4g 2681	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ a e. ( Base ` D ) ) -> ( ( a u. ( A X. { .0. } ) ) |` A ) = ( A X. { .0. } ) )
147		reseq1 5390	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( a u. ( A X. { .0. } ) ) -> ( y |` A ) = ( ( a u. ( A X. { .0. } ) ) |` A ) )
148	147	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( a u. ( A X. { .0. } ) ) -> ( ( y |` A ) = ( A X. { .0. } ) <-> ( ( a u. ( A X. { .0. } ) ) |` A ) = ( A X. { .0. } ) ) )
149	148, 2	elrab2 3366	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a u. ( A X. { .0. } ) ) e. K <-> ( ( a u. ( A X. { .0. } ) ) e. G /\ ( ( a u. ( A X. { .0. } ) ) |` A ) = ( A X. { .0. } ) ) )
150	130, 146, 149	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ a e. ( Base ` D ) ) -> ( a u. ( A X. { .0. } ) ) e. K )
151		resexg 5442	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a u. ( A X. { .0. } ) ) e. K -> ( ( a u. ( A X. { .0. } ) ) |` B ) e. _V )
152	150, 151	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ a e. ( Base ` D ) ) -> ( ( a u. ( A X. { .0. } ) ) |` B ) e. _V )
153		reseq1 5390	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( a u. ( A X. { .0. } ) ) -> ( x |` B ) = ( ( a u. ( A X. { .0. } ) ) |` B ) )
154	153, 1	fvmptg 6280	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a u. ( A X. { .0. } ) ) e. K /\ ( ( a u. ( A X. { .0. } ) ) |` B ) e. _V ) -> ( F ` ( a u. ( A X. { .0. } ) ) ) = ( ( a u. ( A X. { .0. } ) ) |` B ) )
155	150, 152, 154	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ a e. ( Base ` D ) ) -> ( F ` ( a u. ( A X. { .0. } ) ) ) = ( ( a u. ( A X. { .0. } ) ) |` B ) )
156		resundir 5411	. . . . . . . . 9 |- ( ( a u. ( A X. { .0. } ) ) |` B ) = ( ( a |` B ) u. ( ( A X. { .0. } ) |` B ) )
157		fnresdm 6000	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a Fn B -> ( a |` B ) = a )
158	107, 133, 157	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ a e. ( Base ` D ) ) -> ( a |` B ) = a )
159		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A X. { .0. } ) : A --> { .0. } -> ( A X. { .0. } ) Fn A )
160		fnresdisj 6001	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A X. { .0. } ) Fn A -> ( ( A i^i B ) = (/) <-> ( ( A X. { .0. } ) |` B ) = (/) ) )
161	110, 159, 160	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A i^i B ) = (/) <-> ( ( A X. { .0. } ) |` B ) = (/) )
162	161	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( ( A X. { .0. } ) |` B ) = (/) )
163	162	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( ( A X. { .0. } ) |` B ) = (/) )
164	163	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ a e. ( Base ` D ) ) -> ( ( A X. { .0. } ) |` B ) = (/) )
165	158, 164	uneq12d 3768	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ a e. ( Base ` D ) ) -> ( ( a |` B ) u. ( ( A X. { .0. } ) |` B ) ) = ( a u. (/) ) )
166		un0 3967	. . . . . . . . . 10 |- ( a u. (/) ) = a
167	165, 166	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ a e. ( Base ` D ) ) -> ( ( a |` B ) u. ( ( A X. { .0. } ) |` B ) ) = a )
168	156, 167	syl5eq 2668	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ a e. ( Base ` D ) ) -> ( ( a u. ( A X. { .0. } ) ) |` B ) = a )
169	155, 168	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ a e. ( Base ` D ) ) -> ( F ` ( a u. ( A X. { .0. } ) ) ) = a )
170	95, 13	lmhmf 19034	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( L LMHom D ) -> F : K --> ( Base ` D ) )
171		ffn 6045	. . . . . . . . . 10 |- ( F : K --> ( Base ` D ) -> F Fn K )
172	49, 170, 171	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> F Fn K )
173	172	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ a e. ( Base ` D ) ) -> F Fn K )
174		fnfvelrn 6356	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn K /\ ( a u. ( A X. { .0. } ) ) e. K ) -> ( F ` ( a u. ( A X. { .0. } ) ) ) e. ran F )
175	173, 150, 174	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ a e. ( Base ` D ) ) -> ( F ` ( a u. ( A X. { .0. } ) ) ) e. ran F )
176	169, 175	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ a e. ( Base ` D ) ) -> a e. ran F )
177	176	ex 450	. . . . 5 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( a e. ( Base ` D ) -> a e. ran F ) )
178	177	ssrdv 3609	. . . 4 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( Base ` D ) C_ ran F )
179	104, 178	eqssd 3620	. . 3 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ran F = ( Base ` D ) )
180		dff1o5 6146	. . 3 |- ( F : K -1-1-onto-> ( Base ` D ) <-> ( F : K -1-1-> ( Base ` D ) /\ ran F = ( Base ` D ) ) )
181	100, 179, 180	sylanbrc 698	. 2 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> F : K -1-1-onto-> ( Base ` D ) )
182	95, 13	islmim 19062	. 2 |- ( F e. ( L LMIso D ) <-> ( F e. ( L LMHom D ) /\ F : K -1-1-onto-> ( Base ` D ) ) )
183	49, 181, 182	sylanbrc 698	1 |- ( ( R e. LMod /\ ( A u. B ) e. V /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> F e. ( L LMIso D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   0gc0g 16100   ^_s cpws 16107   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422  SubGrpcsubg 17588   GrpHom cghm 17657   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   LMHom clmhm 19019   LMIso clmim 19020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lmhm 19022  df-lmim 19023

This theorem is referenced by:  pwslnmlem2  37663