Theorem grpidcl 17450

Description: The identity element of a group belongs to the group. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpidcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpidcl.o	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpidcl	|- ( G e. Grp -> .0. e. B )

Proof of Theorem grpidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 17429	. 2 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
2		grpidcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		grpidcl.o	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
4	2, 3	mndidcl 17308	. 2 |- ( G e. Mnd -> .0. e. B )
5	1, 4	syl 17	1 |- ( G e. Grp -> .0. e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888   Basecbs 15857   0gc0g 16100   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425

This theorem is referenced by:  grpbn0  17451  grprcan  17455  grpid  17457  isgrpid2  17458  grprinv  17469  grpidinv  17475  grpinvid  17476  grpidrcan  17480  grpidlcan  17481  grpidssd  17491  grpinvval2  17498  grpsubid1  17500  imasgrp  17531  mulgcl  17559  mulgz  17568  subg0  17600  subg0cl  17602  issubg4  17613  0subg  17619  nmzsubg  17635  eqgid  17646  qusgrp  17649  qus0  17652  ghmid  17666  ghmpreima  17682  ghmf1  17689  gafo  17729  gaid  17732  gass  17734  gaorber  17741  gastacl  17742  lactghmga  17824  cayleylem2  17833  symgsssg  17887  symgfisg  17888  od1  17976  gexdvds  17999  sylow1lem2  18014  sylow3lem1  18042  lsmdisj2  18095  0frgp  18192  odadd1  18251  torsubg  18257  oddvdssubg  18258  0cyg  18294  prmcyg  18295  telgsums  18390  dprdfadd  18419  dprdz  18429  pgpfac1lem3a  18475  ring0cl  18569  ringlz  18587  ringrz  18588  kerf1hrm  18743  isdrng2  18757  srng0  18860  lmod0vcl  18892  islmhm2  19038  psr0cl  19394  mplsubglem  19434  evl1gsumd  19721  frgpcyg  19922  ip0l  19981  ocvlss  20016  grpvlinv  20201  matinvgcell  20241  mat0dim0  20273  mdetdiag  20405  mdetuni0  20427  chpdmatlem2  20644  chp0mat  20651  istgp2  21895  cldsubg  21914  tgpconncompeqg  21915  tgpconncomp  21916  snclseqg  21919  tgphaus  21920  tgpt1  21921  qustgphaus  21926  tgptsmscls  21953  nrmmetd  22379  nmfval2  22395  nmval2  22396  nmf2  22397  ngpds3  22412  nmge0  22421  nmeq0  22422  nminv  22425  nmmtri  22426  nmrtri  22428  nm0  22433  tngnm  22455  idnghm  22547  nmcn  22647  clmvz  22911  nmoleub2lem2  22916  nglmle  23100  mdeg0  23830  dchrinv  24986  dchr1re  24988  dchrpt  24992  dchrsum2  24993  dchrhash  24996  rpvmasumlem  25176  rpvmasum2  25201  dchrisum0re  25202  ogrpinvOLD  29715  ogrpinv0lt  29723  ogrpinvlt  29724  isarchi3  29741  archirng  29742  archirngz  29743  archiabllem1b  29746  orngsqr  29804  ornglmulle  29805  orngrmulle  29806  ornglmullt  29807  orngrmullt  29808  orngmullt  29809  ofldchr  29814  isarchiofld  29817  qqh0  30028  sconnpi1  31221  lfl0f  34356  lkrlss  34382  lshpkrlem1  34397  lkrin  34451  dvhgrp  36396  rnglz  41884  zrrnghm  41917  ascl0  42165  evl1at0  42179