Theorem hlrelat2 34689

Description: A consequence of relative atomicity. (chrelat2i 29224 analog.) (Contributed by NM, 5-Feb-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlrelat2.b	|- B = ( Base ` K )
hlrelat2.l	|- .<_ = ( le ` K )
hlrelat2.a	|- A = ( Atoms ` K )

Assertion

Ref	Expression
hlrelat2	|- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( -. X .<_ Y <-> E. p e. A ( p .<_ X /\ -. p .<_ Y ) ) )

Distinct variable groups:   A, p   B, p   K, p   .<_ , p   X, p   Y, p

Proof of Theorem hlrelat2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 34650	. . . 4 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
2		hlrelat2.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` K )
3		hlrelat2.l	. . . . 5 |- .<_ = ( le ` K )
4		eqid 2622	. . . . 5 |- ( lt ` K ) = ( lt ` K )
5		eqid 2622	. . . . 5 |- ( meet ` K ) = ( meet ` K )
6	2, 3, 4, 5	latnlemlt 17084	. . . 4 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( -. X .<_ Y <-> ( X ( meet ` K ) Y ) ( lt ` K ) X ) )
7	1, 6	syl3an1 1359	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( -. X .<_ Y <-> ( X ( meet ` K ) Y ) ( lt ` K ) X ) )
8		simp1 1061	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> K e. HL )
9	2, 5	latmcl 17052	. . . . . 6 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ( meet ` K ) Y ) e. B )
10	1, 9	syl3an1 1359	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ( meet ` K ) Y ) e. B )
11		simp2 1062	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
12		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( join ` K ) = ( join ` K )
13		hlrelat2.a	. . . . . . 7 |- A = ( Atoms ` K )
14	2, 3, 4, 12, 13	hlrelat 34688	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X ( meet ` K ) Y ) e. B /\ X e. B ) /\ ( X ( meet ` K ) Y ) ( lt ` K ) X ) -> E. p e. A ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( lt ` K ) ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) /\ ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) .<_ X ) )
15	14	ex 450	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ ( X ( meet ` K ) Y ) e. B /\ X e. B ) -> ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( lt ` K ) X -> E. p e. A ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( lt ` K ) ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) /\ ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) .<_ X ) ) )
16	8, 10, 11, 15	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( lt ` K ) X -> E. p e. A ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( lt ` K ) ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) /\ ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) .<_ X ) ) )
17		simpl1 1064	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> K e. HL )
18	17, 1	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> K e. Lat )
19	10	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( X ( meet ` K ) Y ) e. B )
20	2, 13	atbase 34576	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. A -> p e. B )
21	20	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> p e. B )
22		simpl2 1065	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> X e. B )
23	2, 3, 12	latjle12 17062	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. Lat /\ ( ( X ( meet ` K ) Y ) e. B /\ p e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( ( X ( meet ` K ) Y ) .<_ X /\ p .<_ X ) <-> ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) .<_ X ) )
24	18, 19, 21, 22, 23	syl13anc 1328	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( ( ( X ( meet ` K ) Y ) .<_ X /\ p .<_ X ) <-> ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) .<_ X ) )
25		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X ( meet ` K ) Y ) .<_ X /\ p .<_ X ) -> p .<_ X )
26	24, 25	syl6bir 244	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) .<_ X -> p .<_ X ) )
27	26	adantld 483	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( lt ` K ) ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) /\ ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) .<_ X ) -> p .<_ X ) )
28		simpl3 1066	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> Y e. B )
29	2, 3, 5	latlem12 17078	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. Lat /\ ( p e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( p .<_ X /\ p .<_ Y ) <-> p .<_ ( X ( meet ` K ) Y ) ) )
30	18, 21, 22, 28, 29	syl13anc 1328	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( ( p .<_ X /\ p .<_ Y ) <-> p .<_ ( X ( meet ` K ) Y ) ) )
31	30	notbid 308	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( -. ( p .<_ X /\ p .<_ Y ) <-> -. p .<_ ( X ( meet ` K ) Y ) ) )
32	2, 3, 4, 12	latnle 17085	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. Lat /\ ( X ( meet ` K ) Y ) e. B /\ p e. B ) -> ( -. p .<_ ( X ( meet ` K ) Y ) <-> ( X ( meet ` K ) Y ) ( lt ` K ) ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) ) )
33	18, 19, 21, 32	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( -. p .<_ ( X ( meet ` K ) Y ) <-> ( X ( meet ` K ) Y ) ( lt ` K ) ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) ) )
34	31, 33	bitrd 268	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( -. ( p .<_ X /\ p .<_ Y ) <-> ( X ( meet ` K ) Y ) ( lt ` K ) ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) ) )
35	34, 24	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( ( -. ( p .<_ X /\ p .<_ Y ) /\ ( ( X ( meet ` K ) Y ) .<_ X /\ p .<_ X ) ) <-> ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( lt ` K ) ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) /\ ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) .<_ X ) ) )
36		pm3.21 464	. . . . . . . . . 10 |- ( p .<_ Y -> ( p .<_ X -> ( p .<_ X /\ p .<_ Y ) ) )
37		orcom 402	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( p .<_ X /\ p .<_ Y ) \/ -. p .<_ X ) <-> ( -. p .<_ X \/ ( p .<_ X /\ p .<_ Y ) ) )
38		pm4.55 515	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( -. ( p .<_ X /\ p .<_ Y ) /\ p .<_ X ) <-> ( ( p .<_ X /\ p .<_ Y ) \/ -. p .<_ X ) )
39		imor 428	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p .<_ X -> ( p .<_ X /\ p .<_ Y ) ) <-> ( -. p .<_ X \/ ( p .<_ X /\ p .<_ Y ) ) )
40	37, 38, 39	3bitr4ri 293	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p .<_ X -> ( p .<_ X /\ p .<_ Y ) ) <-> -. ( -. ( p .<_ X /\ p .<_ Y ) /\ p .<_ X ) )
41	36, 40	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( p .<_ Y -> -. ( -. ( p .<_ X /\ p .<_ Y ) /\ p .<_ X ) )
42	41	con2i 134	. . . . . . . 8 |- ( ( -. ( p .<_ X /\ p .<_ Y ) /\ p .<_ X ) -> -. p .<_ Y )
43	42	adantrl 752	. . . . . . 7 |- ( ( -. ( p .<_ X /\ p .<_ Y ) /\ ( ( X ( meet ` K ) Y ) .<_ X /\ p .<_ X ) ) -> -. p .<_ Y )
44	35, 43	syl6bir 244	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( lt ` K ) ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) /\ ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) .<_ X ) -> -. p .<_ Y ) )
45	27, 44	jcad 555	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( lt ` K ) ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) /\ ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) .<_ X ) -> ( p .<_ X /\ -. p .<_ Y ) ) )
46	45	reximdva 3017	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( E. p e. A ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( lt ` K ) ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) /\ ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( join ` K ) p ) .<_ X ) -> E. p e. A ( p .<_ X /\ -. p .<_ Y ) ) )
47	16, 46	syld 47	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X ( meet ` K ) Y ) ( lt ` K ) X -> E. p e. A ( p .<_ X /\ -. p .<_ Y ) ) )
48	7, 47	sylbid 230	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( -. X .<_ Y -> E. p e. A ( p .<_ X /\ -. p .<_ Y ) ) )
49	2, 3	lattr 17056	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. Lat /\ ( p e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( p .<_ X /\ X .<_ Y ) -> p .<_ Y ) )
50	18, 21, 22, 28, 49	syl13anc 1328	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( ( p .<_ X /\ X .<_ Y ) -> p .<_ Y ) )
51	50	exp4b 632	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( p e. A -> ( p .<_ X -> ( X .<_ Y -> p .<_ Y ) ) ) )
52	51	com34 91	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( p e. A -> ( X .<_ Y -> ( p .<_ X -> p .<_ Y ) ) ) )
53	52	com23 86	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y -> ( p e. A -> ( p .<_ X -> p .<_ Y ) ) ) )
54	53	ralrimdv 2968	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y -> A. p e. A ( p .<_ X -> p .<_ Y ) ) )
55		iman 440	. . . . . 6 |- ( ( p .<_ X -> p .<_ Y ) <-> -. ( p .<_ X /\ -. p .<_ Y ) )
56	55	ralbii 2980	. . . . 5 |- ( A. p e. A ( p .<_ X -> p .<_ Y ) <-> A. p e. A -. ( p .<_ X /\ -. p .<_ Y ) )
57		ralnex 2992	. . . . 5 |- ( A. p e. A -. ( p .<_ X /\ -. p .<_ Y ) <-> -. E. p e. A ( p .<_ X /\ -. p .<_ Y ) )
58	56, 57	bitri 264	. . . 4 |- ( A. p e. A ( p .<_ X -> p .<_ Y ) <-> -. E. p e. A ( p .<_ X /\ -. p .<_ Y ) )
59	54, 58	syl6ib 241	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y -> -. E. p e. A ( p .<_ X /\ -. p .<_ Y ) ) )
60	59	con2d 129	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( E. p e. A ( p .<_ X /\ -. p .<_ Y ) -> -. X .<_ Y ) )
61	48, 60	impbid 202	1 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( -. X .<_ Y <-> E. p e. A ( p .<_ X /\ -. p .<_ Y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   lecple 15948   ltcplt 16941   joincjn 16944   meetcmee 16945   Latclat 17045   Atomscatm 34550   HLchlt 34637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638

This theorem is referenced by:  lhpj1  35308