Theorem lattr 17056

Description: A lattice ordering is transitive. (sstr 3611 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latref.b	|- B = ( Base ` K )
latref.l	|- .<_ = ( le ` K )

Assertion

Ref	Expression
lattr	|- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ Z ) -> X .<_ Z ) )

Proof of Theorem lattr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latpos 17050	. 2 |- ( K e. Lat -> K e. Poset )
2		latref.b	. . 3 |- B = ( Base ` K )
3		latref.l	. . 3 |- .<_ = ( le ` K )
4	2, 3	postr 16953	. 2 |- ( ( K e. Poset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ Z ) -> X .<_ Z ) )
5	1, 4	sylan 488	1 |- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ Z ) -> X .<_ Z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   Posetcpo 16940   Latclat 17045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fv 5896  df-poset 16946  df-lat 17046

This theorem is referenced by:  lattrd  17058  latjlej1  17065  latjlej12  17067  latnlej2  17071  latmlem1  17081  latmlem12  17083  clatleglb  17126  lecmtN  34543  hlrelat2  34689  ps-2  34764  dalem3  34950  dalem17  34966  dalem21  34980  dalem25  34984  linepsubN  35038  pmapsub  35054  cdlemblem  35079  pmapjoin  35138  lhpmcvr4N  35312  4atexlemnclw  35356  cdlemd3  35487  cdleme3g  35521  cdleme3h  35522  cdleme7d  35533  cdleme21c  35615  cdleme32b  35730  cdleme35fnpq  35737  cdleme35f  35742  cdleme48bw  35790  cdlemf1  35849  cdlemg2fv2  35888  cdlemg7fvbwN  35895  cdlemg4  35905  cdlemg6c  35908  cdlemg27a  35980  cdlemg33b0  35989  cdlemg33a  35994  cdlemk3  36121  dia2dimlem1  36353  dihord6b  36549  dihord5apre  36551  dihglbcpreN  36589