Theorem idfucl 16541

Description: The identity functor is a functor. Example 3.20(1) of [Adamek] p. 30. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
idfucl.i	|- I = (idfunc ` C )

Assertion

Ref	Expression
idfucl	|- ( C e. Cat -> I e. ( C Func C ) )

Proof of Theorem idfucl

Dummy variables f g x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idfucl.i	. . . 4 |- I = (idfunc ` C )
2		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` C ) = ( Base ` C )
3		id 22	. . . 4 |- ( C e. Cat -> C e. Cat )
4		eqid 2622	. . . 4 |- ( Hom ` C ) = ( Hom ` C )
5	1, 2, 3, 4	idfuval 16536	. . 3 |- ( C e. Cat -> I = <. ( _I |` ( Base ` C ) ) , ( z e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) |-> ( _I |` ( ( Hom ` C ) ` z ) ) ) >. )
6	5	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( C e. Cat -> ( 2nd ` I ) = ( 2nd ` <. ( _I |` ( Base ` C ) ) , ( z e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) |-> ( _I |` ( ( Hom ` C ) ` z ) ) ) >. ) )
7		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( Base ` C ) e. _V
8		resiexg 7102	. . . . . . 7 |- ( ( Base ` C ) e. _V -> ( _I |` ( Base ` C ) ) e. _V )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( _I |` ( Base ` C ) ) e. _V
10	7, 7	xpex 6962	. . . . . . 7 |- ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) e. _V
11	10	mptex 6486	. . . . . 6 |- ( z e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) |-> ( _I |` ( ( Hom ` C ) ` z ) ) ) e. _V
12	9, 11	op2nd 7177	. . . . 5 |- ( 2nd ` <. ( _I |` ( Base ` C ) ) , ( z e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) |-> ( _I |` ( ( Hom ` C ) ` z ) ) ) >. ) = ( z e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) |-> ( _I |` ( ( Hom ` C ) ` z ) ) )
13	6, 12	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( C e. Cat -> ( 2nd ` I ) = ( z e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) |-> ( _I |` ( ( Hom ` C ) ` z ) ) ) )
14	13	opeq2d 4409	. . 3 |- ( C e. Cat -> <. ( _I |` ( Base ` C ) ) , ( 2nd ` I ) >. = <. ( _I |` ( Base ` C ) ) , ( z e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) |-> ( _I |` ( ( Hom ` C ) ` z ) ) ) >. )
15	5, 14	eqtr4d 2659	. 2 |- ( C e. Cat -> I = <. ( _I |` ( Base ` C ) ) , ( 2nd ` I ) >. )
16		f1oi 6174	. . . . 5 |- ( _I |` ( Base ` C ) ) : ( Base ` C ) -1-1-onto-> ( Base ` C )
17		f1of 6137	. . . . 5 |- ( ( _I |` ( Base ` C ) ) : ( Base ` C ) -1-1-onto-> ( Base ` C ) -> ( _I |` ( Base ` C ) ) : ( Base ` C ) --> ( Base ` C ) )
18	16, 17	mp1i 13	. . . 4 |- ( C e. Cat -> ( _I |` ( Base ` C ) ) : ( Base ` C ) --> ( Base ` C ) )
19		f1oi 6174	. . . . . . . . . 10 |- ( _I |` ( ( Hom ` C ) ` z ) ) : ( ( Hom ` C ) ` z ) -1-1-onto-> ( ( Hom ` C ) ` z )
20		f1of 6137	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _I |` ( ( Hom ` C ) ` z ) ) : ( ( Hom ` C ) ` z ) -1-1-onto-> ( ( Hom ` C ) ` z ) -> ( _I |` ( ( Hom ` C ) ` z ) ) : ( ( Hom ` C ) ` z ) --> ( ( Hom ` C ) ` z ) )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( _I |` ( ( Hom ` C ) ` z ) ) : ( ( Hom ` C ) ` z ) --> ( ( Hom ` C ) ` z )
22		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Hom ` C ) ` z ) e. _V
23	22, 22	elmap 7886	. . . . . . . . 9 |- ( ( _I |` ( ( Hom ` C ) ` z ) ) e. ( ( ( Hom ` C ) ` z ) ^m ( ( Hom ` C ) ` z ) ) <-> ( _I |` ( ( Hom ` C ) ` z ) ) : ( ( Hom ` C ) ` z ) --> ( ( Hom ` C ) ` z ) )
24	21, 23	mpbir 221	. . . . . . . 8 |- ( _I |` ( ( Hom ` C ) ` z ) ) e. ( ( ( Hom ` C ) ` z ) ^m ( ( Hom ` C ) ` z ) )
25		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) -> ( 1st ` z ) e. ( Base ` C ) )
26	25	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. Cat /\ z e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) ) -> ( 1st ` z ) e. ( Base ` C ) )
27		fvresi 6439	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1st ` z ) e. ( Base ` C ) -> ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` ( 1st ` z ) ) = ( 1st ` z ) )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. Cat /\ z e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) ) -> ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` ( 1st ` z ) ) = ( 1st ` z ) )
29		xp2nd 7199	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) -> ( 2nd ` z ) e. ( Base ` C ) )
30	29	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. Cat /\ z e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) ) -> ( 2nd ` z ) e. ( Base ` C ) )
31		fvresi 6439	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2nd ` z ) e. ( Base ` C ) -> ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` ( 2nd ` z ) ) = ( 2nd ` z ) )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. Cat /\ z e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) ) -> ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` ( 2nd ` z ) ) = ( 2nd ` z ) )
33	28, 32	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. Cat /\ z e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) ) -> ( ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` C ) ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` ( 2nd ` z ) ) ) = ( ( 1st ` z ) ( Hom ` C ) ( 2nd ` z ) ) )
34		df-ov 6653	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1st ` z ) ( Hom ` C ) ( 2nd ` z ) ) = ( ( Hom ` C ) ` <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. )
35	33, 34	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. Cat /\ z e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) ) -> ( ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` C ) ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` ( 2nd ` z ) ) ) = ( ( Hom ` C ) ` <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. ) )
36		1st2nd2 7205	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) -> z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. )
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. Cat /\ z e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) ) -> z = <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. )
38	37	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. Cat /\ z e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) ) -> ( ( Hom ` C ) ` z ) = ( ( Hom ` C ) ` <. ( 1st ` z ) , ( 2nd ` z ) >. ) )
39	35, 38	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. Cat /\ z e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) ) -> ( ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` C ) ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` ( 2nd ` z ) ) ) = ( ( Hom ` C ) ` z ) )
40	39	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. Cat /\ z e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) ) -> ( ( ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` C ) ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( ( Hom ` C ) ` z ) ) = ( ( ( Hom ` C ) ` z ) ^m ( ( Hom ` C ) ` z ) ) )
41	24, 40	syl5eleqr 2708	. . . . . . 7 |- ( ( C e. Cat /\ z e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) ) -> ( _I |` ( ( Hom ` C ) ` z ) ) e. ( ( ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` C ) ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( ( Hom ` C ) ` z ) ) )
42	41	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( C e. Cat -> A. z e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) ( _I |` ( ( Hom ` C ) ` z ) ) e. ( ( ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` C ) ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( ( Hom ` C ) ` z ) ) )
43		mptelixpg 7945	. . . . . . 7 |- ( ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) e. _V -> ( ( z e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) |-> ( _I |` ( ( Hom ` C ) ` z ) ) ) e. X_ z e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) ( ( ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` C ) ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( ( Hom ` C ) ` z ) ) <-> A. z e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) ( _I |` ( ( Hom ` C ) ` z ) ) e. ( ( ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` C ) ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( ( Hom ` C ) ` z ) ) ) )
44	10, 43	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( z e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) |-> ( _I |` ( ( Hom ` C ) ` z ) ) ) e. X_ z e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) ( ( ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` C ) ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( ( Hom ` C ) ` z ) ) <-> A. z e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) ( _I |` ( ( Hom ` C ) ` z ) ) e. ( ( ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` C ) ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( ( Hom ` C ) ` z ) ) )
45	42, 44	sylibr 224	. . . . 5 |- ( C e. Cat -> ( z e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) |-> ( _I |` ( ( Hom ` C ) ` z ) ) ) e. X_ z e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) ( ( ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` C ) ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( ( Hom ` C ) ` z ) ) )
46	13, 45	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( C e. Cat -> ( 2nd ` I ) e. X_ z e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) ( ( ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` C ) ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( ( Hom ` C ) ` z ) ) )
47		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( Id ` C ) = ( Id ` C )
48		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) -> C e. Cat )
49		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) -> x e. ( Base ` C ) )
50	2, 4, 47, 48, 49	catidcl 16343	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( ( Id ` C ) ` x ) e. ( x ( Hom ` C ) x ) )
51		fvresi 6439	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Id ` C ) ` x ) e. ( x ( Hom ` C ) x ) -> ( ( _I |` ( x ( Hom ` C ) x ) ) ` ( ( Id ` C ) ` x ) ) = ( ( Id ` C ) ` x ) )
52	50, 51	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( ( _I |` ( x ( Hom ` C ) x ) ) ` ( ( Id ` C ) ` x ) ) = ( ( Id ` C ) ` x ) )
53	1, 2, 48, 4, 49, 49	idfu2nd 16537	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( x ( 2nd ` I ) x ) = ( _I |` ( x ( Hom ` C ) x ) ) )
54	53	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( ( x ( 2nd ` I ) x ) ` ( ( Id ` C ) ` x ) ) = ( ( _I |` ( x ( Hom ` C ) x ) ) ` ( ( Id ` C ) ` x ) ) )
55		fvresi 6439	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( Base ` C ) -> ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` x ) = x )
56	55	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` x ) = x )
57	56	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( ( Id ` C ) ` ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` x ) ) = ( ( Id ` C ) ` x ) )
58	52, 54, 57	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 |- ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( ( x ( 2nd ` I ) x ) ` ( ( Id ` C ) ` x ) ) = ( ( Id ` C ) ` ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` x ) ) )
59		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- (comp ` C ) = (comp ` C )
60	48	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> C e. Cat )
61	49	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> x e. ( Base ` C ) )
62		simplrl 800	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> y e. ( Base ` C ) )
63		simplrr 801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> z e. ( Base ` C ) )
64		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> f e. ( x ( Hom ` C ) y ) )
65		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> g e. ( y ( Hom ` C ) z ) )
66	2, 4, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65	catcocl 16346	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( Hom ` C ) z ) )
67		fvresi 6439	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( Hom ` C ) z ) -> ( ( _I |` ( x ( Hom ` C ) z ) ) ` ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) = ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) )
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( ( _I |` ( x ( Hom ` C ) z ) ) ` ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) = ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) )
69	1, 2, 60, 4, 61, 63	idfu2nd 16537	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( x ( 2nd ` I ) z ) = ( _I |` ( x ( Hom ` C ) z ) ) )
70	69	fveq1d 6193	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( ( x ( 2nd ` I ) z ) ` ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) = ( ( _I |` ( x ( Hom ` C ) z ) ) ` ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) )
71	61, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` x ) = x )
72		fvresi 6439	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( Base ` C ) -> ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` y ) = y )
73	62, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` y ) = y )
74	71, 73	opeq12d 4410	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> <. ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` x ) , ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` y ) >. = <. x , y >. )
75		fvresi 6439	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( Base ` C ) -> ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` z ) = z )
76	63, 75	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` z ) = z )
77	74, 76	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( <. ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` x ) , ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` y ) >. (comp ` C ) ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` z ) ) = ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) )
78	1, 2, 60, 4, 62, 63, 65	idfu2 16538	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( ( y ( 2nd ` I ) z ) ` g ) = g )
79	1, 2, 60, 4, 61, 62, 64	idfu2 16538	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( ( x ( 2nd ` I ) y ) ` f ) = f )
80	77, 78, 79	oveq123d 6671	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( ( ( y ( 2nd ` I ) z ) ` g ) ( <. ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` x ) , ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` y ) >. (comp ` C ) ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` z ) ) ( ( x ( 2nd ` I ) y ) ` f ) ) = ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) )
81	68, 70, 80	3eqtr4d 2666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( ( x ( 2nd ` I ) z ) ` ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) = ( ( ( y ( 2nd ` I ) z ) ` g ) ( <. ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` x ) , ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` y ) >. (comp ` C ) ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` z ) ) ( ( x ( 2nd ` I ) y ) ` f ) ) )
82	81	ralrimivva 2971	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ ( y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) ) -> A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) A. g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ( ( x ( 2nd ` I ) z ) ` ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) = ( ( ( y ( 2nd ` I ) z ) ` g ) ( <. ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` x ) , ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` y ) >. (comp ` C ) ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` z ) ) ( ( x ( 2nd ` I ) y ) ` f ) ) )
83	82	ralrimivva 2971	. . . . . 6 |- ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) -> A. y e. ( Base ` C ) A. z e. ( Base ` C ) A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) A. g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ( ( x ( 2nd ` I ) z ) ` ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) = ( ( ( y ( 2nd ` I ) z ) ` g ) ( <. ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` x ) , ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` y ) >. (comp ` C ) ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` z ) ) ( ( x ( 2nd ` I ) y ) ` f ) ) )
84	58, 83	jca 554	. . . . 5 |- ( ( C e. Cat /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( ( ( x ( 2nd ` I ) x ) ` ( ( Id ` C ) ` x ) ) = ( ( Id ` C ) ` ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` x ) ) /\ A. y e. ( Base ` C ) A. z e. ( Base ` C ) A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) A. g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ( ( x ( 2nd ` I ) z ) ` ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) = ( ( ( y ( 2nd ` I ) z ) ` g ) ( <. ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` x ) , ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` y ) >. (comp ` C ) ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` z ) ) ( ( x ( 2nd ` I ) y ) ` f ) ) ) )
85	84	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( C e. Cat -> A. x e. ( Base ` C ) ( ( ( x ( 2nd ` I ) x ) ` ( ( Id ` C ) ` x ) ) = ( ( Id ` C ) ` ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` x ) ) /\ A. y e. ( Base ` C ) A. z e. ( Base ` C ) A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) A. g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ( ( x ( 2nd ` I ) z ) ` ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) = ( ( ( y ( 2nd ` I ) z ) ` g ) ( <. ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` x ) , ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` y ) >. (comp ` C ) ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` z ) ) ( ( x ( 2nd ` I ) y ) ` f ) ) ) )
86	2, 2, 4, 4, 47, 47, 59, 59, 3, 3	isfunc 16524	. . . 4 |- ( C e. Cat -> ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ( C Func C ) ( 2nd ` I ) <-> ( ( _I |` ( Base ` C ) ) : ( Base ` C ) --> ( Base ` C ) /\ ( 2nd ` I ) e. X_ z e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) ( ( ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` C ) ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( ( Hom ` C ) ` z ) ) /\ A. x e. ( Base ` C ) ( ( ( x ( 2nd ` I ) x ) ` ( ( Id ` C ) ` x ) ) = ( ( Id ` C ) ` ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` x ) ) /\ A. y e. ( Base ` C ) A. z e. ( Base ` C ) A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) A. g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ( ( x ( 2nd ` I ) z ) ` ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) = ( ( ( y ( 2nd ` I ) z ) ` g ) ( <. ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` x ) , ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` y ) >. (comp ` C ) ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ` z ) ) ( ( x ( 2nd ` I ) y ) ` f ) ) ) ) ) )
87	18, 46, 85, 86	mpbir3and 1245	. . 3 |- ( C e. Cat -> ( _I |` ( Base ` C ) ) ( C Func C ) ( 2nd ` I ) )
88		df-br 4654	. . 3 |- ( ( _I |` ( Base ` C ) ) ( C Func C ) ( 2nd ` I ) <-> <. ( _I |` ( Base ` C ) ) , ( 2nd ` I ) >. e. ( C Func C ) )
89	87, 88	sylib 208	. 2 |- ( C e. Cat -> <. ( _I |` ( Base ` C ) ) , ( 2nd ` I ) >. e. ( C Func C ) )
90	15, 89	eqeltrd 2701	1 |- ( C e. Cat -> I e. ( C Func C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   X. cxp 5112   |` cres 5116   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   ^m cmap 7857   X_cixp 7908   Basecbs 15857   Hom chom 15952  compcco 15953   Catccat 16325   Idccid 16326   Func cfunc 16514  id_funccidfu 16515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-ixp 7909  df-cat 16329  df-cid 16330  df-func 16518  df-idfu 16519

This theorem is referenced by:  cofulid  16550  cofurid  16551  idffth  16593  ressffth  16598  catccatid  16752  curf2ndf  16887