Theorem indf1ofs 30088

Description: The bijection between finite subsets and the indicator functions with finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
indf1ofs	|- ( O e. V -> ( (𝟭 ` O ) |` Fin ) : ( ~P O i^i Fin ) -1-1-onto-> { f e. ( { 0 , 1 } ^m O ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } )

Distinct variable group:   f, O

Allowed substitution hint:   V( f)

Proof of Theorem indf1ofs

Dummy variables a g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indf1o 30086	. . . 4 |- ( O e. V -> (𝟭 ` O ) : ~P O -1-1-onto-> ( { 0 , 1 } ^m O ) )
2		f1of1 6136	. . . 4 |- ( (𝟭 ` O ) : ~P O -1-1-onto-> ( { 0 , 1 } ^m O ) -> (𝟭 ` O ) : ~P O -1-1-> ( { 0 , 1 } ^m O ) )
3	1, 2	syl 17	. . 3 |- ( O e. V -> (𝟭 ` O ) : ~P O -1-1-> ( { 0 , 1 } ^m O ) )
4		inss1 3833	. . 3 |- ( ~P O i^i Fin ) C_ ~P O
5		f1ores 6151	. . 3 |- ( ( (𝟭 ` O ) : ~P O -1-1-> ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( ~P O i^i Fin ) C_ ~P O ) -> ( (𝟭 ` O ) |` ( ~P O i^i Fin ) ) : ( ~P O i^i Fin ) -1-1-onto-> ( (𝟭 ` O ) " ( ~P O i^i Fin ) ) )
6	3, 4, 5	sylancl 694	. 2 |- ( O e. V -> ( (𝟭 ` O ) |` ( ~P O i^i Fin ) ) : ( ~P O i^i Fin ) -1-1-onto-> ( (𝟭 ` O ) " ( ~P O i^i Fin ) ) )
7		resres 5409	. . . 4 |- ( ( (𝟭 ` O ) |` ~P O ) |` Fin ) = ( (𝟭 ` O ) |` ( ~P O i^i Fin ) )
8		f1ofn 6138	. . . . . 6 |- ( (𝟭 ` O ) : ~P O -1-1-onto-> ( { 0 , 1 } ^m O ) -> (𝟭 ` O ) Fn ~P O )
9		fnresdm 6000	. . . . . 6 |- ( (𝟭 ` O ) Fn ~P O -> ( (𝟭 ` O ) |` ~P O ) = (𝟭 ` O ) )
10	1, 8, 9	3syl 18	. . . . 5 |- ( O e. V -> ( (𝟭 ` O ) |` ~P O ) = (𝟭 ` O ) )
11	10	reseq1d 5395	. . . 4 |- ( O e. V -> ( ( (𝟭 ` O ) |` ~P O ) |` Fin ) = ( (𝟭 ` O ) |` Fin ) )
12	7, 11	syl5eqr 2670	. . 3 |- ( O e. V -> ( (𝟭 ` O ) |` ( ~P O i^i Fin ) ) = ( (𝟭 ` O ) |` Fin ) )
13		eqidd 2623	. . 3 |- ( O e. V -> ( ~P O i^i Fin ) = ( ~P O i^i Fin ) )
14		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> O e. V )
15		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> a e. ( ~P O i^i Fin ) )
16	4, 15	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> a e. ~P O )
17	16	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> a C_ O )
18		indf 30077	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( O e. V /\ a C_ O ) -> ( (𝟭 ` O ) ` a ) : O --> { 0 , 1 } )
19	17, 18	syldan 487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> ( (𝟭 ` O ) ` a ) : O --> { 0 , 1 } )
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> ( (𝟭 ` O ) ` a ) : O --> { 0 , 1 } )
21		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g )
22	21	feq1d 6030	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> ( ( (𝟭 ` O ) ` a ) : O --> { 0 , 1 } <-> g : O --> { 0 , 1 } ) )
23	20, 22	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> g : O --> { 0 , 1 } )
24		prex 4909	. . . . . . . . . . . 12 |- { 0 , 1 } e. _V
25		elmapg 7870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { 0 , 1 } e. _V /\ O e. V ) -> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) <-> g : O --> { 0 , 1 } ) )
26	24, 25	mpan 706	. . . . . . . . . . 11 |- ( O e. V -> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) <-> g : O --> { 0 , 1 } ) )
27	26	biimpar 502	. . . . . . . . . 10 |- ( ( O e. V /\ g : O --> { 0 , 1 } ) -> g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) )
28	14, 23, 27	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) )
29	21	cnveqd 5298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> `' ( (𝟭 ` O ) ` a ) = `' g )
30	29	imaeq1d 5465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> ( `' ( (𝟭 ` O ) ` a ) " { 1 } ) = ( `' g " { 1 } ) )
31		indpi1 30082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( O e. V /\ a C_ O ) -> ( `' ( (𝟭 ` O ) ` a ) " { 1 } ) = a )
32	17, 31	syldan 487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> ( `' ( (𝟭 ` O ) ` a ) " { 1 } ) = a )
33		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ~P O i^i Fin ) C_ Fin
34	33, 15	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> a e. Fin )
35	32, 34	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> ( `' ( (𝟭 ` O ) ` a ) " { 1 } ) e. Fin )
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> ( `' ( (𝟭 ` O ) ` a ) " { 1 } ) e. Fin )
37	30, 36	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> ( `' g " { 1 } ) e. Fin )
38	28, 37	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) )
39	38	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> ( ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g -> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) )
40	39	rexlimdva 3031	. . . . . 6 |- ( O e. V -> ( E. a e. ( ~P O i^i Fin ) ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g -> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) )
41		cnvimass 5485	. . . . . . . . . 10 |- ( `' g " { 1 } ) C_ dom g
42	26	biimpa 501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( O e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) ) -> g : O --> { 0 , 1 } )
43		fdm 6051	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g : O --> { 0 , 1 } -> dom g = O )
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( O e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) ) -> dom g = O )
45	44	adantrr 753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( O e. V /\ ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) -> dom g = O )
46	41, 45	syl5sseq 3653	. . . . . . . . 9 |- ( ( O e. V /\ ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) -> ( `' g " { 1 } ) C_ O )
47		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( O e. V /\ ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) -> ( `' g " { 1 } ) e. Fin )
48		elfpw 8268	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' g " { 1 } ) e. ( ~P O i^i Fin ) <-> ( ( `' g " { 1 } ) C_ O /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) )
49	46, 47, 48	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 |- ( ( O e. V /\ ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) -> ( `' g " { 1 } ) e. ( ~P O i^i Fin ) )
50		indpreima 30087	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( O e. V /\ g : O --> { 0 , 1 } ) -> g = ( (𝟭 ` O ) ` ( `' g " { 1 } ) ) )
51	50	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( O e. V /\ g : O --> { 0 , 1 } ) -> ( (𝟭 ` O ) ` ( `' g " { 1 } ) ) = g )
52	42, 51	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( O e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) ) -> ( (𝟭 ` O ) ` ( `' g " { 1 } ) ) = g )
53	52	adantrr 753	. . . . . . . 8 |- ( ( O e. V /\ ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) -> ( (𝟭 ` O ) ` ( `' g " { 1 } ) ) = g )
54		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( `' g " { 1 } ) -> ( (𝟭 ` O ) ` a ) = ( (𝟭 ` O ) ` ( `' g " { 1 } ) ) )
55	54	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( `' g " { 1 } ) -> ( ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g <-> ( (𝟭 ` O ) ` ( `' g " { 1 } ) ) = g ) )
56	55	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( ( `' g " { 1 } ) e. ( ~P O i^i Fin ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` ( `' g " { 1 } ) ) = g ) -> E. a e. ( ~P O i^i Fin ) ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g )
57	49, 53, 56	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( O e. V /\ ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) -> E. a e. ( ~P O i^i Fin ) ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g )
58	57	ex 450	. . . . . 6 |- ( O e. V -> ( ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) -> E. a e. ( ~P O i^i Fin ) ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) )
59	40, 58	impbid 202	. . . . 5 |- ( O e. V -> ( E. a e. ( ~P O i^i Fin ) ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g <-> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) )
60	1, 8	syl 17	. . . . . 6 |- ( O e. V -> (𝟭 ` O ) Fn ~P O )
61		fvelimab 6253	. . . . . 6 |- ( ( (𝟭 ` O ) Fn ~P O /\ ( ~P O i^i Fin ) C_ ~P O ) -> ( g e. ( (𝟭 ` O ) " ( ~P O i^i Fin ) ) <-> E. a e. ( ~P O i^i Fin ) ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) )
62	60, 4, 61	sylancl 694	. . . . 5 |- ( O e. V -> ( g e. ( (𝟭 ` O ) " ( ~P O i^i Fin ) ) <-> E. a e. ( ~P O i^i Fin ) ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) )
63		cnveq 5296	. . . . . . . . 9 |- ( f = g -> `' f = `' g )
64	63	imaeq1d 5465	. . . . . . . 8 |- ( f = g -> ( `' f " { 1 } ) = ( `' g " { 1 } ) )
65	64	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( f = g -> ( ( `' f " { 1 } ) e. Fin <-> ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) )
66	65	elrab 3363	. . . . . 6 |- ( g e. { f e. ( { 0 , 1 } ^m O ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } <-> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) )
67	66	a1i 11	. . . . 5 |- ( O e. V -> ( g e. { f e. ( { 0 , 1 } ^m O ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } <-> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) )
68	59, 62, 67	3bitr4d 300	. . . 4 |- ( O e. V -> ( g e. ( (𝟭 ` O ) " ( ~P O i^i Fin ) ) <-> g e. { f e. ( { 0 , 1 } ^m O ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } ) )
69	68	eqrdv 2620	. . 3 |- ( O e. V -> ( (𝟭 ` O ) " ( ~P O i^i Fin ) ) = { f e. ( { 0 , 1 } ^m O ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } )
70	12, 13, 69	f1oeq123d 6133	. 2 |- ( O e. V -> ( ( (𝟭 ` O ) |` ( ~P O i^i Fin ) ) : ( ~P O i^i Fin ) -1-1-onto-> ( (𝟭 ` O ) " ( ~P O i^i Fin ) ) <-> ( (𝟭 ` O ) |` Fin ) : ( ~P O i^i Fin ) -1-1-onto-> { f e. ( { 0 , 1 } ^m O ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } ) )
71	6, 70	mpbid 222	1 |- ( O e. V -> ( (𝟭 ` O ) |` Fin ) : ( ~P O i^i Fin ) -1-1-onto-> { f e. ( { 0 , 1 } ^m O ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   {cpr 4179   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   |` cres 5116   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   0cc0 9936   1c1 9937  𝟭cind 30072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-ind 30073

This theorem is referenced by:  eulerpartgbij  30434