Theorem isarchi 29736

Description: Express the predicate " W is Archimedean ". (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
isarchi.b	|- B = ( Base ` W )
isarchi.0	|- .0. = ( 0g ` W )
isarchi.i	|- .< = (<<< ` W )

Assertion

Ref	Expression
isarchi	|- ( W e. V -> ( W e. Archi <-> A. x e. B A. y e. B -. x .< y ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, W, y

Allowed substitution hints:   .< ( x, y)   V( x, y)   .0. ( x, y)

Proof of Theorem isarchi

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . 4 |- ( w = W -> (<<< ` w ) = (<<< ` W ) )
2	1	eqeq1d 2624	. . 3 |- ( w = W -> ( (<<< ` w ) = (/) <-> (<<< ` W ) = (/) ) )
3		df-archi 29733	. . 3 |- Archi = { w | (<<< ` w ) = (/) }
4	2, 3	elab2g 3353	. 2 |- ( W e. V -> ( W e. Archi <-> (<<< ` W ) = (/) ) )
5		isarchi.b	. . . 4 |- B = ( Base ` W )
6	5	inftmrel 29734	. . 3 |- ( W e. V -> (<<< ` W ) C_ ( B X. B ) )
7		ss0b 3973	. . . . 5 |- ( (<<< ` W ) C_ (/) <-> (<<< ` W ) = (/) )
8		ssrel2 5210	. . . . 5 |- ( (<<< ` W ) C_ ( B X. B ) -> ( (<<< ` W ) C_ (/) <-> A. x e. B A. y e. B ( <. x , y >. e. (<<< ` W ) -> <. x , y >. e. (/) ) ) )
9	7, 8	syl5bbr 274	. . . 4 |- ( (<<< ` W ) C_ ( B X. B ) -> ( (<<< ` W ) = (/) <-> A. x e. B A. y e. B ( <. x , y >. e. (<<< ` W ) -> <. x , y >. e. (/) ) ) )
10		noel 3919	. . . . . . . 8 |- -. <. x , y >. e. (/)
11	10	nbn 362	. . . . . . 7 |- ( -. <. x , y >. e. (<<< ` W ) <-> ( <. x , y >. e. (<<< ` W ) <-> <. x , y >. e. (/) ) )
12		isarchi.i	. . . . . . . . 9 |- .< = (<<< ` W )
13	12	breqi 4659	. . . . . . . 8 |- ( x .< y <-> x (<<< ` W ) y )
14		df-br 4654	. . . . . . . 8 |- ( x (<<< ` W ) y <-> <. x , y >. e. (<<< ` W ) )
15	13, 14	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( x .< y <-> <. x , y >. e. (<<< ` W ) )
16	11, 15	xchnxbir 323	. . . . . 6 |- ( -. x .< y <-> ( <. x , y >. e. (<<< ` W ) <-> <. x , y >. e. (/) ) )
17	10	pm2.21i 116	. . . . . . 7 |- ( <. x , y >. e. (/) -> <. x , y >. e. (<<< ` W ) )
18		dfbi2 660	. . . . . . 7 |- ( ( <. x , y >. e. (<<< ` W ) <-> <. x , y >. e. (/) ) <-> ( ( <. x , y >. e. (<<< ` W ) -> <. x , y >. e. (/) ) /\ ( <. x , y >. e. (/) -> <. x , y >. e. (<<< ` W ) ) ) )
19	17, 18	mpbiran2 954	. . . . . 6 |- ( ( <. x , y >. e. (<<< ` W ) <-> <. x , y >. e. (/) ) <-> ( <. x , y >. e. (<<< ` W ) -> <. x , y >. e. (/) ) )
20	16, 19	bitri 264	. . . . 5 |- ( -. x .< y <-> ( <. x , y >. e. (<<< ` W ) -> <. x , y >. e. (/) ) )
21	20	2ralbii 2981	. . . 4 |- ( A. x e. B A. y e. B -. x .< y <-> A. x e. B A. y e. B ( <. x , y >. e. (<<< ` W ) -> <. x , y >. e. (/) ) )
22	9, 21	syl6bbr 278	. . 3 |- ( (<<< ` W ) C_ ( B X. B ) -> ( (<<< ` W ) = (/) <-> A. x e. B A. y e. B -. x .< y ) )
23	6, 22	syl 17	. 2 |- ( W e. V -> ( (<<< ` W ) = (/) <-> A. x e. B A. y e. B -. x .< y ) )
24	4, 23	bitrd 268	1 |- ( W e. V -> ( W e. Archi <-> A. x e. B A. y e. B -. x .< y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   (/)c0 3915   <.cop 4183   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   ` cfv 5888   Basecbs 15857   0gc0g 16100  <<<cinftm 29730  Archicarchi 29731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-inftm 29732  df-archi 29733

This theorem is referenced by:  xrnarchi  29738  isarchi2  29739