Theorem isarchi2 29739

Description: Alternative way to express the predicate " W is Archimedean ", for Tosets. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
isarchi2.b	|- B = ( Base ` W )
isarchi2.0	|- .0. = ( 0g ` W )
isarchi2.x	|- .x. = (.g ` W )
isarchi2.l	|- .<_ = ( le ` W )
isarchi2.t	|- .< = ( lt ` W )

Assertion

Ref	Expression
isarchi2	|- ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) -> ( W e. Archi <-> A. x e. B A. y e. B ( .0. .< x -> E. n e. NN y .<_ ( n .x. x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, n, y, B   n, W, x, y

Allowed substitution hints:   .< ( x, y, n)   .x. ( x, y, n)   .<_ ( x, y, n)   .0. ( x, y, n)

Proof of Theorem isarchi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isarchi2.b	. . . 4 |- B = ( Base ` W )
2		isarchi2.0	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` W )
3		eqid 2622	. . . 4 |- (<<< ` W ) = (<<< ` W )
4	1, 2, 3	isarchi 29736	. . 3 |- ( W e. Toset -> ( W e. Archi <-> A. x e. B A. y e. B -. x (<<< ` W ) y ) )
5	4	adantr 481	. 2 |- ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) -> ( W e. Archi <-> A. x e. B A. y e. B -. x (<<< ` W ) y ) )
6		simpl1l 1112	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) /\ n e. NN ) -> W e. Toset )
7		simpl1r 1113	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) /\ n e. NN ) -> W e. Mnd )
8		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) /\ n e. NN ) -> n e. NN )
9	8	nnnn0d 11351	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) /\ n e. NN ) -> n e. NN0 )
10		simpl2 1065	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) /\ n e. NN ) -> x e. B )
11		isarchi2.x	. . . . . . . . . 10 |- .x. = (.g ` W )
12	1, 11	mulgnn0cl 17558	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Mnd /\ n e. NN0 /\ x e. B ) -> ( n .x. x ) e. B )
13	7, 9, 10, 12	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) /\ n e. NN ) -> ( n .x. x ) e. B )
14		simpl3 1066	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) /\ n e. NN ) -> y e. B )
15		isarchi2.l	. . . . . . . . . 10 |- .<_ = ( le ` W )
16		isarchi2.t	. . . . . . . . . 10 |- .< = ( lt ` W )
17	1, 15, 16	tltnle 29662	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Toset /\ ( n .x. x ) e. B /\ y e. B ) -> ( ( n .x. x ) .< y <-> -. y .<_ ( n .x. x ) ) )
18	17	con2bid 344	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Toset /\ ( n .x. x ) e. B /\ y e. B ) -> ( y .<_ ( n .x. x ) <-> -. ( n .x. x ) .< y ) )
19	6, 13, 14, 18	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) /\ n e. NN ) -> ( y .<_ ( n .x. x ) <-> -. ( n .x. x ) .< y ) )
20	19	rexbidva 3049	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( E. n e. NN y .<_ ( n .x. x ) <-> E. n e. NN -. ( n .x. x ) .< y ) )
21	20	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( ( .0. .< x -> E. n e. NN y .<_ ( n .x. x ) ) <-> ( .0. .< x -> E. n e. NN -. ( n .x. x ) .< y ) ) )
22	1, 2, 11, 16	isinftm 29735	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Toset /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x (<<< ` W ) y <-> ( .0. .< x /\ A. n e. NN ( n .x. x ) .< y ) ) )
23	22	notbid 308	. . . . . . 7 |- ( ( W e. Toset /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( -. x (<<< ` W ) y <-> -. ( .0. .< x /\ A. n e. NN ( n .x. x ) .< y ) ) )
24		rexnal 2995	. . . . . . . . 9 |- ( E. n e. NN -. ( n .x. x ) .< y <-> -. A. n e. NN ( n .x. x ) .< y )
25	24	imbi2i 326	. . . . . . . 8 |- ( ( .0. .< x -> E. n e. NN -. ( n .x. x ) .< y ) <-> ( .0. .< x -> -. A. n e. NN ( n .x. x ) .< y ) )
26		imnan 438	. . . . . . . 8 |- ( ( .0. .< x -> -. A. n e. NN ( n .x. x ) .< y ) <-> -. ( .0. .< x /\ A. n e. NN ( n .x. x ) .< y ) )
27	25, 26	bitr2i 265	. . . . . . 7 |- ( -. ( .0. .< x /\ A. n e. NN ( n .x. x ) .< y ) <-> ( .0. .< x -> E. n e. NN -. ( n .x. x ) .< y ) )
28	23, 27	syl6bb 276	. . . . . 6 |- ( ( W e. Toset /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( -. x (<<< ` W ) y <-> ( .0. .< x -> E. n e. NN -. ( n .x. x ) .< y ) ) )
29	28	3adant1r 1319	. . . . 5 |- ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( -. x (<<< ` W ) y <-> ( .0. .< x -> E. n e. NN -. ( n .x. x ) .< y ) ) )
30	21, 29	bitr4d 271	. . . 4 |- ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( ( .0. .< x -> E. n e. NN y .<_ ( n .x. x ) ) <-> -. x (<<< ` W ) y ) )
31	30	3expb 1266	. . 3 |- ( ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( .0. .< x -> E. n e. NN y .<_ ( n .x. x ) ) <-> -. x (<<< ` W ) y ) )
32	31	2ralbidva 2988	. 2 |- ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( .0. .< x -> E. n e. NN y .<_ ( n .x. x ) ) <-> A. x e. B A. y e. B -. x (<<< ` W ) y ) )
33	5, 32	bitr4d 271	1 |- ( ( W e. Toset /\ W e. Mnd ) -> ( W e. Archi <-> A. x e. B A. y e. B ( .0. .< x -> E. n e. NN y .<_ ( n .x. x ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   NNcn 11020   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   lecple 15948   0gc0g 16100   ltcplt 16941  Tosetctos 17033   Mndcmnd 17294  ._gcmg 17540  <<<cinftm 29730  Archicarchi 29731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-0g 16102  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-toset 17034  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mulg 17541  df-inftm 29732  df-archi 29733

This theorem is referenced by:  submarchi  29740  isarchi3  29741  archirng  29742