Theorem ipblnfi 27711

Description: A function F generated by varying the first argument of an inner product (with its second argument a fixed vector A) is a bounded linear functional, i.e. a bounded linear operator from the vector space to CC. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipblnfi.1	|- X = ( BaseSet ` U )
ipblnfi.7	|- P = ( .iOLD ` U )
ipblnfi.9	|- U e. CPreHil OLD
ipblnfi.c	|- C = <. <. + , x. >. , abs >.
ipblnfi.l	|- B = ( U BLnOp C )
ipblnfi.f	|- F = ( x e. X |-> ( x P A ) )

Assertion

Ref	Expression
ipblnfi	|- ( A e. X -> F e. B )

Distinct variable groups:   x, A   x, U   x, X   x, P

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)   F( x)

Proof of Theorem ipblnfi

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipblnfi.9	. . . . . . 7 |- U e. CPreHil OLD
2	1	phnvi 27671	. . . . . 6 |- U e. NrmCVec
3		ipblnfi.1	. . . . . . 7 |- X = ( BaseSet ` U )
4		ipblnfi.7	. . . . . . 7 |- P = ( .iOLD ` U )
5	3, 4	dipcl 27567	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. X /\ A e. X ) -> ( x P A ) e. CC )
6	2, 5	mp3an1 1411	. . . . 5 |- ( ( x e. X /\ A e. X ) -> ( x P A ) e. CC )
7	6	ancoms 469	. . . 4 |- ( ( A e. X /\ x e. X ) -> ( x P A ) e. CC )
8		ipblnfi.f	. . . 4 |- F = ( x e. X |-> ( x P A ) )
9	7, 8	fmptd 6385	. . 3 |- ( A e. X -> F : X --> CC )
10		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( .sOLD ` U ) = ( .sOLD ` U )
11	3, 10	nvscl 27481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ y e. CC /\ z e. X ) -> ( y ( .sOLD ` U ) z ) e. X )
12	2, 11	mp3an1 1411	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. CC /\ z e. X ) -> ( y ( .sOLD ` U ) z ) e. X )
13	12	ad2ant2lr 784	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. X /\ y e. CC ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( y ( .sOLD ` U ) z ) e. X )
14		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. X /\ y e. CC ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> w e. X )
15		simpll 790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. X /\ y e. CC ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> A e. X )
16		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( +v ` U ) = ( +v ` U )
17	3, 16, 4	dipdir 27697	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. CPreHil OLD /\ ( ( y ( .sOLD ` U ) z ) e. X /\ w e. X /\ A e. X ) ) -> ( ( ( y ( .sOLD ` U ) z ) ( +v ` U ) w ) P A ) = ( ( ( y ( .sOLD ` U ) z ) P A ) + ( w P A ) ) )
18	1, 17	mpan 706	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y ( .sOLD ` U ) z ) e. X /\ w e. X /\ A e. X ) -> ( ( ( y ( .sOLD ` U ) z ) ( +v ` U ) w ) P A ) = ( ( ( y ( .sOLD ` U ) z ) P A ) + ( w P A ) ) )
19	13, 14, 15, 18	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. X /\ y e. CC ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( ( ( y ( .sOLD ` U ) z ) ( +v ` U ) w ) P A ) = ( ( ( y ( .sOLD ` U ) z ) P A ) + ( w P A ) ) )
20		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. X /\ y e. CC ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> y e. CC )
21		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. X /\ y e. CC ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> z e. X )
22	3, 16, 10, 4, 1	ipassi 27696	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. CC /\ z e. X /\ A e. X ) -> ( ( y ( .sOLD ` U ) z ) P A ) = ( y x. ( z P A ) ) )
23	20, 21, 15, 22	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. X /\ y e. CC ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( ( y ( .sOLD ` U ) z ) P A ) = ( y x. ( z P A ) ) )
24	23	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. X /\ y e. CC ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( ( ( y ( .sOLD ` U ) z ) P A ) + ( w P A ) ) = ( ( y x. ( z P A ) ) + ( w P A ) ) )
25	19, 24	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. X /\ y e. CC ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( ( ( y ( .sOLD ` U ) z ) ( +v ` U ) w ) P A ) = ( ( y x. ( z P A ) ) + ( w P A ) ) )
26	12	adantll 750	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. X /\ y e. CC ) /\ z e. X ) -> ( y ( .sOLD ` U ) z ) e. X )
27	3, 16	nvgcl 27475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( y ( .sOLD ` U ) z ) e. X /\ w e. X ) -> ( ( y ( .sOLD ` U ) z ) ( +v ` U ) w ) e. X )
28	2, 27	mp3an1 1411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y ( .sOLD ` U ) z ) e. X /\ w e. X ) -> ( ( y ( .sOLD ` U ) z ) ( +v ` U ) w ) e. X )
29	26, 28	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. X /\ y e. CC ) /\ z e. X ) /\ w e. X ) -> ( ( y ( .sOLD ` U ) z ) ( +v ` U ) w ) e. X )
30	29	anasss 679	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. X /\ y e. CC ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( ( y ( .sOLD ` U ) z ) ( +v ` U ) w ) e. X )
31		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( y ( .sOLD ` U ) z ) ( +v ` U ) w ) -> ( x P A ) = ( ( ( y ( .sOLD ` U ) z ) ( +v ` U ) w ) P A ) )
32		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y ( .sOLD ` U ) z ) ( +v ` U ) w ) P A ) e. _V
33	31, 8, 32	fvmpt 6282	. . . . . . 7 |- ( ( ( y ( .sOLD ` U ) z ) ( +v ` U ) w ) e. X -> ( F ` ( ( y ( .sOLD ` U ) z ) ( +v ` U ) w ) ) = ( ( ( y ( .sOLD ` U ) z ) ( +v ` U ) w ) P A ) )
34	30, 33	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. X /\ y e. CC ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( F ` ( ( y ( .sOLD ` U ) z ) ( +v ` U ) w ) ) = ( ( ( y ( .sOLD ` U ) z ) ( +v ` U ) w ) P A ) )
35		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( x P A ) = ( z P A ) )
36		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( z P A ) e. _V
37	35, 8, 36	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 |- ( z e. X -> ( F ` z ) = ( z P A ) )
38	37	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. X /\ y e. CC ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( F ` z ) = ( z P A ) )
39	38	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. X /\ y e. CC ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( y x. ( F ` z ) ) = ( y x. ( z P A ) ) )
40		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( x P A ) = ( w P A ) )
41		ovex 6678	. . . . . . . . 9 |- ( w P A ) e. _V
42	40, 8, 41	fvmpt 6282	. . . . . . . 8 |- ( w e. X -> ( F ` w ) = ( w P A ) )
43	42	ad2antll 765	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. X /\ y e. CC ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( F ` w ) = ( w P A ) )
44	39, 43	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. X /\ y e. CC ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( ( y x. ( F ` z ) ) + ( F ` w ) ) = ( ( y x. ( z P A ) ) + ( w P A ) ) )
45	25, 34, 44	3eqtr4d 2666	. . . . 5 |- ( ( ( A e. X /\ y e. CC ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( F ` ( ( y ( .sOLD ` U ) z ) ( +v ` U ) w ) ) = ( ( y x. ( F ` z ) ) + ( F ` w ) ) )
46	45	ralrimivva 2971	. . . 4 |- ( ( A e. X /\ y e. CC ) -> A. z e. X A. w e. X ( F ` ( ( y ( .sOLD ` U ) z ) ( +v ` U ) w ) ) = ( ( y x. ( F ` z ) ) + ( F ` w ) ) )
47	46	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( A e. X -> A. y e. CC A. z e. X A. w e. X ( F ` ( ( y ( .sOLD ` U ) z ) ( +v ` U ) w ) ) = ( ( y x. ( F ` z ) ) + ( F ` w ) ) )
48		ipblnfi.c	. . . . 5 |- C = <. <. + , x. >. , abs >.
49	48	cnnv 27532	. . . 4 |- C e. NrmCVec
50	48	cnnvba 27534	. . . . 5 |- CC = ( BaseSet ` C )
51	48	cnnvg 27533	. . . . 5 |- + = ( +v ` C )
52	48	cnnvs 27535	. . . . 5 |- x. = ( .sOLD ` C )
53		eqid 2622	. . . . 5 |- ( U LnOp C ) = ( U LnOp C )
54	3, 50, 16, 51, 10, 52, 53	islno 27608	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ C e. NrmCVec ) -> ( F e. ( U LnOp C ) <-> ( F : X --> CC /\ A. y e. CC A. z e. X A. w e. X ( F ` ( ( y ( .sOLD ` U ) z ) ( +v ` U ) w ) ) = ( ( y x. ( F ` z ) ) + ( F ` w ) ) ) ) )
55	2, 49, 54	mp2an 708	. . 3 |- ( F e. ( U LnOp C ) <-> ( F : X --> CC /\ A. y e. CC A. z e. X A. w e. X ( F ` ( ( y ( .sOLD ` U ) z ) ( +v ` U ) w ) ) = ( ( y x. ( F ` z ) ) + ( F ` w ) ) ) )
56	9, 47, 55	sylanbrc 698	. 2 |- ( A e. X -> F e. ( U LnOp C ) )
57		eqid 2622	. . . 4 |- ( normCV ` U ) = ( normCV ` U )
58	3, 57	nvcl 27516	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X ) -> ( ( normCV ` U ) ` A ) e. RR )
59	2, 58	mpan 706	. 2 |- ( A e. X -> ( ( normCV ` U ) ` A ) e. RR )
60	3, 57, 4, 1	sii 27709	. . . . 5 |- ( ( z e. X /\ A e. X ) -> ( abs ` ( z P A ) ) <_ ( ( ( normCV ` U ) ` z ) x. ( ( normCV ` U ) ` A ) ) )
61	60	ancoms 469	. . . 4 |- ( ( A e. X /\ z e. X ) -> ( abs ` ( z P A ) ) <_ ( ( ( normCV ` U ) ` z ) x. ( ( normCV ` U ) ` A ) ) )
62	37	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( A e. X /\ z e. X ) -> ( F ` z ) = ( z P A ) )
63	62	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( A e. X /\ z e. X ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) = ( abs ` ( z P A ) ) )
64	59	recnd 10068	. . . . 5 |- ( A e. X -> ( ( normCV ` U ) ` A ) e. CC )
65	3, 57	nvcl 27516	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ z e. X ) -> ( ( normCV ` U ) ` z ) e. RR )
66	2, 65	mpan 706	. . . . . 6 |- ( z e. X -> ( ( normCV ` U ) ` z ) e. RR )
67	66	recnd 10068	. . . . 5 |- ( z e. X -> ( ( normCV ` U ) ` z ) e. CC )
68		mulcom 10022	. . . . 5 |- ( ( ( ( normCV ` U ) ` A ) e. CC /\ ( ( normCV ` U ) ` z ) e. CC ) -> ( ( ( normCV ` U ) ` A ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) = ( ( ( normCV ` U ) ` z ) x. ( ( normCV ` U ) ` A ) ) )
69	64, 67, 68	syl2an 494	. . . 4 |- ( ( A e. X /\ z e. X ) -> ( ( ( normCV ` U ) ` A ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) = ( ( ( normCV ` U ) ` z ) x. ( ( normCV ` U ) ` A ) ) )
70	61, 63, 69	3brtr4d 4685	. . 3 |- ( ( A e. X /\ z e. X ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( ( ( normCV ` U ) ` A ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
71	70	ralrimiva 2966	. 2 |- ( A e. X -> A. z e. X ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( ( ( normCV ` U ) ` A ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
72	48	cnnvnm 27536	. . 3 |- abs = ( normCV ` C )
73		ipblnfi.l	. . 3 |- B = ( U BLnOp C )
74	3, 57, 72, 53, 73, 2, 49	blo3i 27657	. 2 |- ( ( F e. ( U LnOp C ) /\ ( ( normCV ` U ) ` A ) e. RR /\ A. z e. X ( abs ` ( F ` z ) ) <_ ( ( ( normCV ` U ) ` A ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) -> F e. B )
75	56, 59, 71, 74	syl3anc 1326	1 |- ( A e. X -> F e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   abscabs 13974   NrmCVeccnv 27439   +vcpv 27440   BaseSetcba 27441   .sOLDcns 27442   norm_CVcnmcv 27445   .iOLDcdip 27555   LnOp clno 27595   BLnOp cblo 27597   CPreHil OLDccphlo 27667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-t1 21118  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-dip 27556  df-lno 27599  df-nmoo 27600  df-blo 27601  df-0o 27602  df-ph 27668

This theorem is referenced by:  htthlem  27774