Theorem islvec 19104

Description: The predicate "is a left vector space". (Contributed by NM, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
islvec.1	|- F = (Scalar ` W )

Assertion

Ref	Expression
islvec	|- ( W e. LVec <-> ( W e. LMod /\ F e. DivRing ) )

Proof of Theorem islvec

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . 4 |- ( f = W -> (Scalar ` f ) = (Scalar ` W ) )
2		islvec.1	. . . 4 |- F = (Scalar ` W )
3	1, 2	syl6eqr 2674	. . 3 |- ( f = W -> (Scalar ` f ) = F )
4	3	eleq1d 2686	. 2 |- ( f = W -> ( (Scalar ` f ) e. DivRing <-> F e. DivRing ) )
5		df-lvec 19103	. 2 |- LVec = { f e. LMod | (Scalar ` f ) e. DivRing }
6	4, 5	elrab2 3366	1 |- ( W e. LVec <-> ( W e. LMod /\ F e. DivRing ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  Scalarcsca 15944   DivRingcdr 18747   LModclmod 18863   LVecclvec 19102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-lvec 19103

This theorem is referenced by:  lvecdrng  19105  lveclmod  19106  lsslvec  19107  lvecprop2d  19166  lvecpropd  19167  rlmlvec  19206  frlmphl  20120  tvclvec  22002  isnvc2  22503  iscvs  22927  cnstrcvs  22941  zclmncvs  22948  lindsdom  33403  lindsenlbs  33404  lduallvec  34441  dvalveclem  36314  dvhlveclem  36397  lmod1zrnlvec  42283  aacllem  42547