Theorem lvecdrng 19105

Description: The set of scalars of a left vector space is a division ring. (Contributed by NM, 17-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
islvec.1	|- F = (Scalar ` W )

Assertion

Ref	Expression
lvecdrng	|- ( W e. LVec -> F e. DivRing )

Proof of Theorem lvecdrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islvec.1	. . 3 |- F = (Scalar ` W )
2	1	islvec 19104	. 2 |- ( W e. LVec <-> ( W e. LMod /\ F e. DivRing ) )
3	2	simprbi 480	1 |- ( W e. LVec -> F e. DivRing )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  Scalarcsca 15944   DivRingcdr 18747   LModclmod 18863   LVecclvec 19102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-lvec 19103

This theorem is referenced by:  lsslvec  19107  lvecvs0or  19108  lssvs0or  19110  lvecinv  19113  lspsnvs  19114  lspsneq  19122  lspfixed  19128  lspexch  19129  lspsolv  19143  islbs2  19154  islbs3  19155  obsne0  20069  islinds4  20174  nvctvc  22504  lssnvc  22506  cvsunit  22931  cvsdivcl  22933  cphsubrg  22980  cphreccl  22981  cphqss  22988  tchclm  23031  ipcau2  23033  tchcph  23036  hlprlem  23163  ishl2  23166  lfl1  34357  lkrsc  34384  eqlkr3  34388  lkrlsp  34389  lkrshp  34392  lduallvec  34441  dochkr1  36767  dochkr1OLDN  36768  lcfl7lem  36788  lclkrlem2m  36808  lclkrlem2o  36810  lclkrlem2p  36811  lcfrlem1  36831  lcfrlem2  36832  lcfrlem3  36833  lcfrlem29  36860  lcfrlem31  36862  lcfrlem33  36864  mapdpglem17N  36977  mapdpglem18  36978  mapdpglem19  36979  mapdpglem21  36981  mapdpglem22  36982  hdmapip1  37208  hgmapvvlem1  37215  hgmapvvlem2  37216  hgmapvvlem3  37217  lincreslvec3  42271  isldepslvec2  42274