Theorem dvalveclem 36314

Description: Lemma for dvalvec 36315. (Contributed by NM, 11-Oct-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvalvec.h	|- H = ( LHyp ` K )
dvalvec.v	|- U = ( ( DVecA ` K ) ` W )
dvalveclem.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
dvalveclem.a	|- .+ = ( +g ` U )
dvalveclem.e	|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
dvalveclem.d	|- D = (Scalar ` U )
dvalveclem.b	|- B = ( Base ` K )
dvalveclem.p	|- .+^ = ( +g ` D )
dvalveclem.m	|- .X. = ( .r ` D )
dvalveclem.s	|- .x. = ( .s ` U )

Assertion

Ref	Expression
dvalveclem	|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> U e. LVec )

Proof of Theorem dvalveclem

Dummy variables t f a b s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvalvec.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
2		dvalveclem.t	. . . . 5 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
3		dvalvec.v	. . . . 5 |- U = ( ( DVecA ` K ) ` W )
4		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` U ) = ( Base ` U )
5	1, 2, 3, 4	dvavbase 36301	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( Base ` U ) = T )
6	5	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> T = ( Base ` U ) )
7		dvalveclem.a	. . . 4 |- .+ = ( +g ` U )
8	7	a1i 11	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> .+ = ( +g ` U ) )
9		dvalveclem.d	. . . 4 |- D = (Scalar ` U )
10	9	a1i 11	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> D = (Scalar ` U ) )
11		dvalveclem.s	. . . 4 |- .x. = ( .s ` U )
12	11	a1i 11	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> .x. = ( .s ` U ) )
13		dvalveclem.e	. . . . 5 |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
14		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` D ) = ( Base ` D )
15	1, 13, 3, 9, 14	dvabase 36295	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( Base ` D ) = E )
16	15	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> E = ( Base ` D ) )
17		dvalveclem.p	. . . 4 |- .+^ = ( +g ` D )
18	17	a1i 11	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> .+^ = ( +g ` D ) )
19		dvalveclem.m	. . . 4 |- .X. = ( .r ` D )
20	19	a1i 11	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> .X. = ( .r ` D ) )
21	1, 2, 13	tendoidcl 36057	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( _I |` T ) e. E )
22	21, 16	eleqtrd 2703	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( _I |` T ) e. ( Base ` D ) )
23		dvalveclem.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` K )
24		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( f e. T |-> ( _I |` B ) ) = ( f e. T |-> ( _I |` B ) )
25	23, 1, 2, 13, 24	tendo1ne0 36116	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( _I |` T ) =/= ( f e. T |-> ( _I |` B ) ) )
26		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( ( EDRing ` K ) ` W ) = ( ( EDRing ` K ) ` W )
27	1, 26, 3, 9	dvasca 36294	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> D = ( ( EDRing ` K ) ` W ) )
28	27	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( 0g ` D ) = ( 0g ` ( ( EDRing ` K ) ` W ) ) )
29		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` ( ( EDRing ` K ) ` W ) ) = ( 0g ` ( ( EDRing ` K ) ` W ) )
30	23, 1, 2, 26, 24, 29	erng0g 36282	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( 0g ` ( ( EDRing ` K ) ` W ) ) = ( f e. T |-> ( _I |` B ) ) )
31	28, 30	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( 0g ` D ) = ( f e. T |-> ( _I |` B ) ) )
32	25, 31	neeqtrrd 2868	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( _I |` T ) =/= ( 0g ` D ) )
33	21, 21	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( ( _I |` T ) e. E /\ ( _I |` T ) e. E ) )
34	1, 2, 13, 3, 9, 19	dvamulr 36300	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( _I |` T ) e. E /\ ( _I |` T ) e. E ) ) -> ( ( _I |` T ) .X. ( _I |` T ) ) = ( ( _I |` T ) o. ( _I |` T ) ) )
35	33, 34	mpdan 702	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( ( _I |` T ) .X. ( _I |` T ) ) = ( ( _I |` T ) o. ( _I |` T ) ) )
36		f1oi 6174	. . . . . . . 8 |- ( _I |` T ) : T -1-1-onto-> T
37		f1of 6137	. . . . . . . 8 |- ( ( _I |` T ) : T -1-1-onto-> T -> ( _I |` T ) : T --> T )
38		fcoi2 6079	. . . . . . . 8 |- ( ( _I |` T ) : T --> T -> ( ( _I |` T ) o. ( _I |` T ) ) = ( _I |` T ) )
39	36, 37, 38	mp2b 10	. . . . . . 7 |- ( ( _I |` T ) o. ( _I |` T ) ) = ( _I |` T )
40	35, 39	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( ( _I |` T ) .X. ( _I |` T ) ) = ( _I |` T ) )
41	22, 32, 40	3jca 1242	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( ( _I |` T ) e. ( Base ` D ) /\ ( _I |` T ) =/= ( 0g ` D ) /\ ( ( _I |` T ) .X. ( _I |` T ) ) = ( _I |` T ) ) )
42	1, 26	erngdv 36281	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( ( EDRing ` K ) ` W ) e. DivRing )
43	27, 42	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> D e. DivRing )
44		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 0g ` D ) = ( 0g ` D )
45		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 1r ` D ) = ( 1r ` D )
46	14, 19, 44, 45	drngid2 18763	. . . . . 6 |- ( D e. DivRing -> ( ( ( _I |` T ) e. ( Base ` D ) /\ ( _I |` T ) =/= ( 0g ` D ) /\ ( ( _I |` T ) .X. ( _I |` T ) ) = ( _I |` T ) ) <-> ( 1r ` D ) = ( _I |` T ) ) )
47	43, 46	syl 17	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( ( ( _I |` T ) e. ( Base ` D ) /\ ( _I |` T ) =/= ( 0g ` D ) /\ ( ( _I |` T ) .X. ( _I |` T ) ) = ( _I |` T ) ) <-> ( 1r ` D ) = ( _I |` T ) ) )
48	41, 47	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( 1r ` D ) = ( _I |` T ) )
49	48	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( _I |` T ) = ( 1r ` D ) )
50		drngring 18754	. . . 4 |- ( D e. DivRing -> D e. Ring )
51	43, 50	syl 17	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> D e. Ring )
52	1, 3	dvaabl 36313	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> U e. Abel )
53		ablgrp 18198	. . . 4 |- ( U e. Abel -> U e. Grp )
54	52, 53	syl 17	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> U e. Grp )
55	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 36305	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. T ) ) -> ( s .x. t ) = ( s ` t ) )
56	55	3impb 1260	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E /\ t e. T ) -> ( s .x. t ) = ( s ` t ) )
57	1, 2, 13	tendocl 36055	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E /\ t e. T ) -> ( s ` t ) e. T )
58	56, 57	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E /\ t e. T ) -> ( s .x. t ) e. T )
59	1, 2, 13	tendospdi1 36309	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. T /\ f e. T ) ) -> ( s ` ( t o. f ) ) = ( ( s ` t ) o. ( s ` f ) ) )
60		simpr1 1067	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. T /\ f e. T ) ) -> s e. E )
61	1, 2	ltrnco 36007	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ t e. T /\ f e. T ) -> ( t o. f ) e. T )
62	61	3adant3r1 1274	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. T /\ f e. T ) ) -> ( t o. f ) e. T )
63	60, 62	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. T /\ f e. T ) ) -> ( s e. E /\ ( t o. f ) e. T ) )
64	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 36305	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ ( t o. f ) e. T ) ) -> ( s .x. ( t o. f ) ) = ( s ` ( t o. f ) ) )
65	63, 64	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. T /\ f e. T ) ) -> ( s .x. ( t o. f ) ) = ( s ` ( t o. f ) ) )
66	57	3adant3r3 1276	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. T /\ f e. T ) ) -> ( s ` t ) e. T )
67	1, 2, 13	tendocl 36055	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E /\ f e. T ) -> ( s ` f ) e. T )
68	67	3adant3r2 1275	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. T /\ f e. T ) ) -> ( s ` f ) e. T )
69	66, 68	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. T /\ f e. T ) ) -> ( ( s ` t ) e. T /\ ( s ` f ) e. T ) )
70	1, 2, 3, 7	dvavadd 36303	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( s ` t ) e. T /\ ( s ` f ) e. T ) ) -> ( ( s ` t ) .+ ( s ` f ) ) = ( ( s ` t ) o. ( s ` f ) ) )
71	69, 70	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. T /\ f e. T ) ) -> ( ( s ` t ) .+ ( s ` f ) ) = ( ( s ` t ) o. ( s ` f ) ) )
72	59, 65, 71	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. T /\ f e. T ) ) -> ( s .x. ( t o. f ) ) = ( ( s ` t ) .+ ( s ` f ) ) )
73	1, 2, 3, 7	dvavadd 36303	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( t e. T /\ f e. T ) ) -> ( t .+ f ) = ( t o. f ) )
74	73	3adantr1 1220	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. T /\ f e. T ) ) -> ( t .+ f ) = ( t o. f ) )
75	74	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. T /\ f e. T ) ) -> ( s .x. ( t .+ f ) ) = ( s .x. ( t o. f ) ) )
76	55	3adantr3 1222	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. T /\ f e. T ) ) -> ( s .x. t ) = ( s ` t ) )
77	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 36305	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ f e. T ) ) -> ( s .x. f ) = ( s ` f ) )
78	77	3adantr2 1221	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. T /\ f e. T ) ) -> ( s .x. f ) = ( s ` f ) )
79	76, 78	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. T /\ f e. T ) ) -> ( ( s .x. t ) .+ ( s .x. f ) ) = ( ( s ` t ) .+ ( s ` f ) ) )
80	72, 75, 79	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. T /\ f e. T ) ) -> ( s .x. ( t .+ f ) ) = ( ( s .x. t ) .+ ( s .x. f ) ) )
81	1, 2, 13, 3, 9, 17	dvaplusgv 36298	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ f e. T ) ) -> ( ( s .+^ t ) ` f ) = ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) )
82	1, 2, 13, 3, 9, 17	dvafplusg 36296	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> .+^ = ( a e. E , b e. E |-> ( f e. T |-> ( ( a ` f ) o. ( b ` f ) ) ) ) )
83	82	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E /\ t e. E ) -> .+^ = ( a e. E , b e. E |-> ( f e. T |-> ( ( a ` f ) o. ( b ` f ) ) ) ) )
84	83	oveqd 6667	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E /\ t e. E ) -> ( s .+^ t ) = ( s ( a e. E , b e. E |-> ( f e. T |-> ( ( a ` f ) o. ( b ` f ) ) ) ) t ) )
85		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( a e. E , b e. E |-> ( f e. T |-> ( ( a ` f ) o. ( b ` f ) ) ) ) = ( a e. E , b e. E |-> ( f e. T |-> ( ( a ` f ) o. ( b ` f ) ) ) )
86	1, 2, 13, 85	tendoplcl 36069	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E /\ t e. E ) -> ( s ( a e. E , b e. E |-> ( f e. T |-> ( ( a ` f ) o. ( b ` f ) ) ) ) t ) e. E )
87	84, 86	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E /\ t e. E ) -> ( s .+^ t ) e. E )
88	87	3adant3r3 1276	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ f e. T ) ) -> ( s .+^ t ) e. E )
89		simpr3 1069	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ f e. T ) ) -> f e. T )
90	88, 89	jca 554	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ f e. T ) ) -> ( ( s .+^ t ) e. E /\ f e. T ) )
91	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 36305	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( s .+^ t ) e. E /\ f e. T ) ) -> ( ( s .+^ t ) .x. f ) = ( ( s .+^ t ) ` f ) )
92	90, 91	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ f e. T ) ) -> ( ( s .+^ t ) .x. f ) = ( ( s .+^ t ) ` f ) )
93	77	3adantr2 1221	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ f e. T ) ) -> ( s .x. f ) = ( s ` f ) )
94	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 36305	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( t e. E /\ f e. T ) ) -> ( t .x. f ) = ( t ` f ) )
95	94	3adantr1 1220	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ f e. T ) ) -> ( t .x. f ) = ( t ` f ) )
96	93, 95	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ f e. T ) ) -> ( ( s .x. f ) .+ ( t .x. f ) ) = ( ( s ` f ) .+ ( t ` f ) ) )
97	67	3adant3r2 1275	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ f e. T ) ) -> ( s ` f ) e. T )
98	1, 2, 13	tendospcl 36307	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ t e. E /\ f e. T ) -> ( t ` f ) e. T )
99	98	3adant3r1 1274	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ f e. T ) ) -> ( t ` f ) e. T )
100	97, 99	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ f e. T ) ) -> ( ( s ` f ) e. T /\ ( t ` f ) e. T ) )
101	1, 2, 3, 7	dvavadd 36303	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( s ` f ) e. T /\ ( t ` f ) e. T ) ) -> ( ( s ` f ) .+ ( t ` f ) ) = ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) )
102	100, 101	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ f e. T ) ) -> ( ( s ` f ) .+ ( t ` f ) ) = ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) )
103	96, 102	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ f e. T ) ) -> ( ( s .x. f ) .+ ( t .x. f ) ) = ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) )
104	81, 92, 103	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ f e. T ) ) -> ( ( s .+^ t ) .x. f ) = ( ( s .x. f ) .+ ( t .x. f ) ) )
105	1, 2, 13	tendospass 36308	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ f e. T ) ) -> ( ( s o. t ) ` f ) = ( s ` ( t ` f ) ) )
106	1, 13	tendococl 36060	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. E /\ t e. E ) -> ( s o. t ) e. E )
107	106	3adant3r3 1276	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ f e. T ) ) -> ( s o. t ) e. E )
108	107, 89	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ f e. T ) ) -> ( ( s o. t ) e. E /\ f e. T ) )
109	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 36305	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( s o. t ) e. E /\ f e. T ) ) -> ( ( s o. t ) .x. f ) = ( ( s o. t ) ` f ) )
110	108, 109	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ f e. T ) ) -> ( ( s o. t ) .x. f ) = ( ( s o. t ) ` f ) )
111		simpr1 1067	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ f e. T ) ) -> s e. E )
112	111, 99	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ f e. T ) ) -> ( s e. E /\ ( t ` f ) e. T ) )
113	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 36305	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ ( t ` f ) e. T ) ) -> ( s .x. ( t ` f ) ) = ( s ` ( t ` f ) ) )
114	112, 113	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ f e. T ) ) -> ( s .x. ( t ` f ) ) = ( s ` ( t ` f ) ) )
115	105, 110, 114	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ f e. T ) ) -> ( ( s o. t ) .x. f ) = ( s .x. ( t ` f ) ) )
116	1, 2, 13, 3, 9, 19	dvamulr 36300	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E ) ) -> ( s .X. t ) = ( s o. t ) )
117	116	3adantr3 1222	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ f e. T ) ) -> ( s .X. t ) = ( s o. t ) )
118	117	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ f e. T ) ) -> ( ( s .X. t ) .x. f ) = ( ( s o. t ) .x. f ) )
119	95	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ f e. T ) ) -> ( s .x. ( t .x. f ) ) = ( s .x. ( t ` f ) ) )
120	115, 118, 119	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( s e. E /\ t e. E /\ f e. T ) ) -> ( ( s .X. t ) .x. f ) = ( s .x. ( t .x. f ) ) )
121	21	anim1i 592	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. T ) -> ( ( _I |` T ) e. E /\ s e. T ) )
122	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 36305	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( _I |` T ) e. E /\ s e. T ) ) -> ( ( _I |` T ) .x. s ) = ( ( _I |` T ) ` s ) )
123	121, 122	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. T ) -> ( ( _I |` T ) .x. s ) = ( ( _I |` T ) ` s ) )
124		fvresi 6439	. . . . 5 |- ( s e. T -> ( ( _I |` T ) ` s ) = s )
125	124	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. T ) -> ( ( _I |` T ) ` s ) = s )
126	123, 125	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ s e. T ) -> ( ( _I |` T ) .x. s ) = s )
127	6, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 49, 51, 54, 58, 80, 104, 120, 126	islmodd 18869	. 2 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> U e. LMod )
128	9	islvec 19104	. 2 |- ( U e. LVec <-> ( U e. LMod /\ D e. DivRing ) )
129	127, 43, 128	sylanbrc 698	1 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> U e. LVec )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   |` cres 5116   o. ccom 5118   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   Abelcabl 18194   1rcur 18501   Ringcrg 18547   DivRingcdr 18747   LModclmod 18863   LVecclvec 19102   HLchlt 34637   LHypclh 35270   LTrncltrn 35387   TEndoctendo 36040   EDRingcedring 36041   DVecAcdveca 36290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-undef 7399  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-0g 16102  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lvec 19103  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446  df-tgrp 36031  df-tendo 36043  df-edring 36045  df-dveca 36291

This theorem is referenced by:  dvalvec  36315