Theorem lmod1zrnlvec 42283

Description: There is a (left) module (a zero module) which is not a (left) vector space. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmod1zr.r	|- R = { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. }
lmod1zr.m	|- M = ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. (Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , { <. <. Z , I >. , I >. } >. } )

Assertion

Ref	Expression
lmod1zrnlvec	|- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> M e/ LVec )

Proof of Theorem lmod1zrnlvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmod1zr.r	. . . . . 6 |- R = { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. }
2		tpex 6957	. . . . . 6 |- { <. ( Base ` ndx ) , { Z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , { <. <. Z , Z >. , Z >. } >. } e. _V
3	1, 2	eqeltri 2697	. . . . 5 |- R e. _V
4		lmod1zr.m	. . . . . 6 |- M = ( { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. , <. (Scalar ` ndx ) , R >. } u. { <. ( .s ` ndx ) , { <. <. Z , I >. , I >. } >. } )
5	4	lmodsca 16020	. . . . 5 |- ( R e. _V -> R = (Scalar ` M ) )
6	3, 5	mp1i 13	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> R = (Scalar ` M ) )
7	1	rng1nnzr 19274	. . . . . . 7 |- ( Z e. W -> R e/ NzRing )
8		df-nel 2898	. . . . . . 7 |- ( R e/ NzRing <-> -. R e. NzRing )
9	7, 8	sylib 208	. . . . . 6 |- ( Z e. W -> -. R e. NzRing )
10		drngnzr 19262	. . . . . 6 |- ( R e. DivRing -> R e. NzRing )
11	9, 10	nsyl 135	. . . . 5 |- ( Z e. W -> -. R e. DivRing )
12	11	adantl 482	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> -. R e. DivRing )
13	6, 12	eqneltrrd 2721	. . 3 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> -. (Scalar ` M ) e. DivRing )
14	13	intnand 962	. 2 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> -. ( M e. LMod /\ (Scalar ` M ) e. DivRing ) )
15		df-nel 2898	. . 3 |- ( M e/ LVec <-> -. M e. LVec )
16		eqid 2622	. . . 4 |- (Scalar ` M ) = (Scalar ` M )
17	16	islvec 19104	. . 3 |- ( M e. LVec <-> ( M e. LMod /\ (Scalar ` M ) e. DivRing ) )
18	15, 17	xchbinx 324	. 2 |- ( M e/ LVec <-> -. ( M e. LMod /\ (Scalar ` M ) e. DivRing ) )
19	14, 18	sylibr 224	1 |- ( ( I e. V /\ Z e. W ) -> M e/ LVec )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   e/ wnel 2897   _Vcvv 3200   u. cun 3572   {csn 4177   {ctp 4181   <.cop 4183   ` cfv 5888   ndxcnx 15854   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   DivRingcdr 18747   LModclmod 18863   LVecclvec 19102  NzRingcnzr 19257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-drng 18749  df-lvec 19103  df-nzr 19258

This theorem is referenced by:  lvecpsslmod  42296