Theorem lindsenlbs 33404

Description: A maximal linearly independent set in a free module of finite dimension over a division ring is a basis. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lindsenlbs	|- ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ X ~~ I ) -> X e. (LBasis ` ( R freeLMod I ) ) )

Proof of Theorem lindsenlbs

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1066	. 2 |- ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ X ~~ I ) -> X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) )
2		drngring 18754	. . . . . . 7 |- ( R e. DivRing -> R e. Ring )
3		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( R freeLMod I ) = ( R freeLMod I )
4	3	frlmlmod 20093	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ I e. Fin ) -> ( R freeLMod I ) e. LMod )
5	2, 4	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin ) -> ( R freeLMod I ) e. LMod )
6		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` ( R freeLMod I ) ) = ( Base ` ( R freeLMod I ) )
7	6	linds1 20149	. . . . . 6 |- ( X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) -> X C_ ( Base ` ( R freeLMod I ) ) )
8		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) = ( LSpan ` ( R freeLMod I ) )
9	6, 8	lspssv 18983	. . . . . 6 |- ( ( ( R freeLMod I ) e. LMod /\ X C_ ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) -> ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) C_ ( Base ` ( R freeLMod I ) ) )
10	5, 7, 9	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin ) /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) -> ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) C_ ( Base ` ( R freeLMod I ) ) )
11	10	3impa 1259	. . . 4 |- ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) -> ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) C_ ( Base ` ( R freeLMod I ) ) )
12	11	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ X ~~ I ) -> ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) C_ ( Base ` ( R freeLMod I ) ) )
13		bren2 7986	. . . . . . 7 |- ( X ~~ I <-> ( X ~<_ I /\ -. X ~< I ) )
14	13	simprbi 480	. . . . . 6 |- ( X ~~ I -> -. X ~< I )
15		snfi 8038	. . . . . . . . . . . 12 |- { y } e. Fin
16		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) -> I e. Fin )
17		lindsdom 33403	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) -> X ~<_ I )
18		domfi 8181	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I e. Fin /\ X ~<_ I ) -> X e. Fin )
19	16, 17, 18	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) -> X e. Fin )
20		unfi 8227	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { y } e. Fin /\ X e. Fin ) -> ( { y } u. X ) e. Fin )
21	15, 19, 20	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) -> ( { y } u. X ) e. Fin )
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) -> ( { y } u. X ) e. Fin )
23		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. _V
24	23	snss 4316	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. X <-> { y } C_ X )
25	6, 8	lspssid 18985	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R freeLMod I ) e. LMod /\ X C_ ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) -> X C_ ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) )
26	5, 7, 25	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin ) /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) -> X C_ ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) )
27	26	3impa 1259	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) -> X C_ ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) )
28	27	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) -> ( y e. X -> y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) )
29	24, 28	syl5bir 233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) -> ( { y } C_ X -> y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) )
30	29	con3dimp 457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) -> -. { y } C_ X )
31		nsspssun 3857	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. { y } C_ X <-> X C. ( { y } u. X ) )
32	30, 31	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) -> X C. ( { y } u. X ) )
33		php3 8146	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( { y } u. X ) e. Fin /\ X C. ( { y } u. X ) ) -> X ~< ( { y } u. X ) )
34	22, 32, 33	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) -> X ~< ( { y } u. X ) )
35	34	adantrl 752	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) ) -> X ~< ( { y } u. X ) )
36		simpl1 1064	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) ) -> R e. DivRing )
37		simpl2 1065	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) ) -> I e. Fin )
38		snssi 4339	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) -> { y } C_ ( Base ` ( R freeLMod I ) ) )
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) -> { y } C_ ( Base ` ( R freeLMod I ) ) )
40	7	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) -> X C_ ( Base ` ( R freeLMod I ) ) )
41		unss 3787	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { y } C_ ( Base ` ( R freeLMod I ) ) /\ X C_ ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) <-> ( { y } u. X ) C_ ( Base ` ( R freeLMod I ) ) )
42	41	biimpi 206	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { y } C_ ( Base ` ( R freeLMod I ) ) /\ X C_ ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) -> ( { y } u. X ) C_ ( Base ` ( R freeLMod I ) ) )
43	39, 40, 42	syl2anr 495	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) ) -> ( { y } u. X ) C_ ( Base ` ( R freeLMod I ) ) )
44		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) -> -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) )
45	28	con3dimp 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) -> -. y e. X )
46		difsn 4328	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. y e. X -> ( X \ { y } ) = X )
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) -> ( X \ { y } ) = X )
48	47	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) -> ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( X \ { y } ) ) = ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) )
49	44, 48	neleqtrrd 2723	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) -> -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( X \ { y } ) ) )
50	49	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) -> -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( X \ { y } ) ) )
51		difsnid 4341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. X -> ( ( X \ { z } ) u. { z } ) = X )
52	51	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. X -> ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( X \ { z } ) u. { z } ) ) = ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) )
53	52	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. X -> ( y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( X \ { z } ) u. { z } ) ) <-> y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) )
54	53	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. X -> ( -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( X \ { z } ) u. { z } ) ) <-> -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) )
55	54	biimparc 504	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) /\ z e. X ) -> -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( X \ { z } ) u. { z } ) ) )
56	55	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) /\ z e. X ) -> -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( X \ { z } ) u. { z } ) ) )
57	3	frlmsca 20097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin ) -> R = (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) )
58		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin ) -> R e. DivRing )
59	57, 58	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin ) -> (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) e. DivRing )
60		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) = (Scalar ` ( R freeLMod I ) )
61	60	islvec 19104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( R freeLMod I ) e. LVec <-> ( ( R freeLMod I ) e. LMod /\ (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) e. DivRing ) )
62	5, 59, 61	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin ) -> ( R freeLMod I ) e. LVec )
63	62	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) -> ( R freeLMod I ) e. LVec )
64	63	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) /\ z e. X ) /\ z e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) ) -> ( R freeLMod I ) e. LVec )
65	7	ssdifssd 3748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) -> ( X \ { z } ) C_ ( Base ` ( R freeLMod I ) ) )
66	65	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) -> ( X \ { z } ) C_ ( Base ` ( R freeLMod I ) ) )
67	66	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) /\ z e. X ) /\ z e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) ) -> ( X \ { z } ) C_ ( Base ` ( R freeLMod I ) ) )
68		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) /\ z e. X ) /\ z e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) ) -> y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) )
69		difundir 3880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( { y } u. X ) \ { z } ) = ( ( { y } \ { z } ) u. ( X \ { z } ) )
70	69	equncomi 3759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( { y } u. X ) \ { z } ) = ( ( X \ { z } ) u. ( { y } \ { z } ) )
71		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( z e. { y } -> z = y )
72	71	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( z e. { y } -> ( z e. X <-> y e. X ) )
73	72	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( z e. { y } -> ( -. z e. X <-> -. y e. X ) )
74	45, 73	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) -> ( z e. { y } -> -. z e. X ) )
75	74	con2d 129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) -> ( z e. X -> -. z e. { y } ) )
76	75	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) /\ z e. X ) -> -. z e. { y } )
77		difsn 4328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( -. z e. { y } -> ( { y } \ { z } ) = { y } )
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) /\ z e. X ) -> ( { y } \ { z } ) = { y } )
79	78	uneq2d 3767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) /\ z e. X ) -> ( ( X \ { z } ) u. ( { y } \ { z } ) ) = ( ( X \ { z } ) u. { y } ) )
80	70, 79	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) /\ z e. X ) -> ( ( { y } u. X ) \ { z } ) = ( ( X \ { z } ) u. { y } ) )
81	80	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) /\ z e. X ) -> ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) = ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( X \ { z } ) u. { y } ) ) )
82	81	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) /\ z e. X ) -> ( z e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) <-> z e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( X \ { z } ) u. { y } ) ) ) )
83	82	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) /\ z e. X ) -> ( z e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) <-> z e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( X \ { z } ) u. { y } ) ) ) )
84	83	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) /\ z e. X ) /\ z e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) ) -> z e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( X \ { z } ) u. { y } ) ) )
85		drngnzr 19262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( R e. DivRing -> R e. NzRing )
86	85	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin ) -> R e. NzRing )
87	57, 86	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin ) -> (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) e. NzRing )
88	5, 87	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin ) -> ( ( R freeLMod I ) e. LMod /\ (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) e. NzRing ) )
89	88	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin ) /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) -> ( ( ( R freeLMod I ) e. LMod /\ (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) e. NzRing ) /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) )
90	89	3impa 1259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) -> ( ( ( R freeLMod I ) e. LMod /\ (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) e. NzRing ) /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) )
91	8, 60	lindsind2 20158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( R freeLMod I ) e. LMod /\ (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) e. NzRing ) /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) /\ z e. X ) -> -. z e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( X \ { z } ) ) )
92	91	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( R freeLMod I ) e. LMod /\ (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) e. NzRing ) /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ z e. X ) -> -. z e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( X \ { z } ) ) )
93	90, 92	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ z e. X ) -> -. z e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( X \ { z } ) ) )
94	93	ad5ant14 1302	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) /\ z e. X ) /\ z e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) ) -> -. z e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( X \ { z } ) ) )
95	84, 94	eldifd 3585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) /\ z e. X ) /\ z e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) ) -> z e. ( ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( X \ { z } ) u. { y } ) ) \ ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( X \ { z } ) ) ) )
96		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( LSubSp ` ( R freeLMod I ) ) = ( LSubSp ` ( R freeLMod I ) )
97	6, 96, 8	lspsolv 19143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R freeLMod I ) e. LVec /\ ( ( X \ { z } ) C_ ( Base ` ( R freeLMod I ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) /\ z e. ( ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( X \ { z } ) u. { y } ) ) \ ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( X \ { z } ) ) ) ) ) -> y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( X \ { z } ) u. { z } ) ) )
98	64, 67, 68, 95, 97	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) /\ z e. X ) /\ z e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) ) -> y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( X \ { z } ) u. { z } ) ) )
99	56, 98	mtand 691	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) /\ z e. X ) -> -. z e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) )
100	99	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) -> A. z e. X -. z e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) )
101		ralunb 3794	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. z e. ( { y } u. X ) -. z e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) <-> ( A. z e. { y } -. z e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) /\ A. z e. X -. z e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) ) )
102		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = y -> z = y )
103		sneq 4187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = y -> { z } = { y } )
104	103	difeq2d 3728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = y -> ( ( { y } u. X ) \ { z } ) = ( ( { y } u. X ) \ { y } ) )
105		uncom 3757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( { y } u. X ) = ( X u. { y } )
106	105	difeq1i 3724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( { y } u. X ) \ { y } ) = ( ( X u. { y } ) \ { y } )
107		difun2 4048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( X u. { y } ) \ { y } ) = ( X \ { y } )
108	106, 107	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( { y } u. X ) \ { y } ) = ( X \ { y } )
109	104, 108	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = y -> ( ( { y } u. X ) \ { z } ) = ( X \ { y } ) )
110	109	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = y -> ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) = ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( X \ { y } ) ) )
111	102, 110	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = y -> ( z e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) <-> y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( X \ { y } ) ) ) )
112	111	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = y -> ( -. z e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) <-> -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( X \ { y } ) ) ) )
113	23, 112	ralsn 4222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. z e. { y } -. z e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) <-> -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( X \ { y } ) ) )
114	113	anbi1i 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. z e. { y } -. z e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) /\ A. z e. X -. z e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) ) <-> ( -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( X \ { y } ) ) /\ A. z e. X -. z e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) ) )
115	101, 114	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. z e. ( { y } u. X ) -. z e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) <-> ( -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( X \ { y } ) ) /\ A. z e. X -. z e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) ) )
116	50, 100, 115	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) -> A. z e. ( { y } u. X ) -. z e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) )
117	116	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) -> ( -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) -> A. z e. ( { y } u. X ) -. z e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) ) )
118	63	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ z e. ( { y } u. X ) ) /\ x e. ( ( Base ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) } ) ) -> ( R freeLMod I ) e. LVec )
119		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ( ( Base ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) } ) <-> ( x e. ( Base ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ x =/= ( 0g ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) ) )
120	119	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( ( Base ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) } ) -> ( x e. ( Base ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ x =/= ( 0g ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) ) )
121	120	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ z e. ( { y } u. X ) ) /\ x e. ( ( Base ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) } ) ) -> ( x e. ( Base ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ x =/= ( 0g ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) ) )
122	38, 7, 42	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) -> ( { y } u. X ) C_ ( Base ` ( R freeLMod I ) ) )
123	122	3ad2antl3 1225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) -> ( { y } u. X ) C_ ( Base ` ( R freeLMod I ) ) )
124	123	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ z e. ( { y } u. X ) ) -> z e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) )
125	124	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ z e. ( { y } u. X ) ) /\ x e. ( ( Base ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) } ) ) -> z e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) )
126		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( .s ` ( R freeLMod I ) ) = ( .s ` ( R freeLMod I ) )
127		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Base ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) = ( Base ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) )
128		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 0g ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) = ( 0g ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) )
129	6, 60, 126, 127, 128, 8	lspsnvs 19114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( R freeLMod I ) e. LVec /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ x =/= ( 0g ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) ) /\ z e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) -> ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` { ( x ( .s ` ( R freeLMod I ) ) z ) } ) = ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` { z } ) )
130	118, 121, 125, 129	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ z e. ( { y } u. X ) ) /\ x e. ( ( Base ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) } ) ) -> ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` { ( x ( .s ` ( R freeLMod I ) ) z ) } ) = ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` { z } ) )
131	130	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ z e. ( { y } u. X ) ) /\ x e. ( ( Base ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) } ) ) -> ( ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` { ( x ( .s ` ( R freeLMod I ) ) z ) } ) C_ ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) <-> ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` { z } ) C_ ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) ) )
132	5	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) -> ( R freeLMod I ) e. LMod )
133	132	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ z e. ( { y } u. X ) ) /\ x e. ( ( Base ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) } ) ) -> ( R freeLMod I ) e. LMod )
134		df-3an 1039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) <-> ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin ) /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) )
135	122	ssdifssd 3748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) -> ( ( { y } u. X ) \ { z } ) C_ ( Base ` ( R freeLMod I ) ) )
136	6, 96, 8	lspcl 18976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( R freeLMod I ) e. LMod /\ ( ( { y } u. X ) \ { z } ) C_ ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) -> ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) e. ( LSubSp ` ( R freeLMod I ) ) )
137	5, 135, 136	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin ) /\ ( X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) ) -> ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) e. ( LSubSp ` ( R freeLMod I ) ) )
138	137	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin ) /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) -> ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) e. ( LSubSp ` ( R freeLMod I ) ) )
139	134, 138	sylanb 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) -> ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) e. ( LSubSp ` ( R freeLMod I ) ) )
140	139	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ z e. ( { y } u. X ) ) /\ x e. ( ( Base ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) } ) ) -> ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) e. ( LSubSp ` ( R freeLMod I ) ) )
141		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( ( Base ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) } ) -> x e. ( Base ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) )
142	141	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ z e. ( { y } u. X ) ) /\ x e. ( ( Base ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) } ) ) -> x e. ( Base ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) )
143	6, 60, 126, 127	lmodvscl 18880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( R freeLMod I ) e. LMod /\ x e. ( Base ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ z e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) -> ( x ( .s ` ( R freeLMod I ) ) z ) e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) )
144	133, 142, 125, 143	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ z e. ( { y } u. X ) ) /\ x e. ( ( Base ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) } ) ) -> ( x ( .s ` ( R freeLMod I ) ) z ) e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) )
145	6, 96, 8, 133, 140, 144	lspsnel5 18995	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ z e. ( { y } u. X ) ) /\ x e. ( ( Base ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) } ) ) -> ( ( x ( .s ` ( R freeLMod I ) ) z ) e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) <-> ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` { ( x ( .s ` ( R freeLMod I ) ) z ) } ) C_ ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) ) )
146	132	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ z e. ( { y } u. X ) ) -> ( R freeLMod I ) e. LMod )
147	139	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ z e. ( { y } u. X ) ) -> ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) e. ( LSubSp ` ( R freeLMod I ) ) )
148	6, 96, 8, 146, 147, 124	lspsnel5 18995	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ z e. ( { y } u. X ) ) -> ( z e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) <-> ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` { z } ) C_ ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) ) )
149	148	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ z e. ( { y } u. X ) ) /\ x e. ( ( Base ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) } ) ) -> ( z e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) <-> ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` { z } ) C_ ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) ) )
150	131, 145, 149	3bitr4rd 301	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ z e. ( { y } u. X ) ) /\ x e. ( ( Base ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) } ) ) -> ( z e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) <-> ( x ( .s ` ( R freeLMod I ) ) z ) e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) ) )
151	150	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ z e. ( { y } u. X ) ) /\ x e. ( ( Base ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) } ) ) -> ( -. z e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) <-> -. ( x ( .s ` ( R freeLMod I ) ) z ) e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) ) )
152	151	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ z e. ( { y } u. X ) ) /\ x e. ( ( Base ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) } ) ) -> ( -. z e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) -> -. ( x ( .s ` ( R freeLMod I ) ) z ) e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) ) )
153	152	ralrimdva 2969	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ z e. ( { y } u. X ) ) -> ( -. z e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) -> A. x e. ( ( Base ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) } ) -. ( x ( .s ` ( R freeLMod I ) ) z ) e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) ) )
154	153	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) -> ( A. z e. ( { y } u. X ) -. z e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) -> A. z e. ( { y } u. X ) A. x e. ( ( Base ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) } ) -. ( x ( .s ` ( R freeLMod I ) ) z ) e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) ) )
155	117, 154	syld 47	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) -> ( -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) -> A. z e. ( { y } u. X ) A. x e. ( ( Base ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) } ) -. ( x ( .s ` ( R freeLMod I ) ) z ) e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) ) )
156	155	impr 649	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) ) -> A. z e. ( { y } u. X ) A. x e. ( ( Base ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) } ) -. ( x ( .s ` ( R freeLMod I ) ) z ) e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) )
157		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( R freeLMod I ) e. _V
158	6, 126, 8, 60, 127, 128	islinds2 20152	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R freeLMod I ) e. _V -> ( ( { y } u. X ) e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) <-> ( ( { y } u. X ) C_ ( Base ` ( R freeLMod I ) ) /\ A. z e. ( { y } u. X ) A. x e. ( ( Base ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) } ) -. ( x ( .s ` ( R freeLMod I ) ) z ) e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) ) ) )
159	157, 158	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { y } u. X ) e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) <-> ( ( { y } u. X ) C_ ( Base ` ( R freeLMod I ) ) /\ A. z e. ( { y } u. X ) A. x e. ( ( Base ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` ( R freeLMod I ) ) ) } ) -. ( x ( .s ` ( R freeLMod I ) ) z ) e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` ( ( { y } u. X ) \ { z } ) ) ) )
160	43, 156, 159	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) ) -> ( { y } u. X ) e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) )
161		lindsdom 33403	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ ( { y } u. X ) e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) -> ( { y } u. X ) ~<_ I )
162	36, 37, 160, 161	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) ) -> ( { y } u. X ) ~<_ I )
163		sdomdomtr 8093	. . . . . . . 8 |- ( ( X ~< ( { y } u. X ) /\ ( { y } u. X ) ~<_ I ) -> X ~< I )
164	35, 162, 163	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) ) -> X ~< I )
165	164	stoic1a 1697	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ -. X ~< I ) -> -. ( y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) )
166	14, 165	sylan2 491	. . . . 5 |- ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ X ~~ I ) -> -. ( y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) )
167		iman 440	. . . . 5 |- ( ( y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) -> y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) <-> -. ( y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) /\ -. y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) )
168	166, 167	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ X ~~ I ) -> ( y e. ( Base ` ( R freeLMod I ) ) -> y e. ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) ) )
169	168	ssrdv 3609	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ X ~~ I ) -> ( Base ` ( R freeLMod I ) ) C_ ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) )
170	12, 169	eqssd 3620	. 2 |- ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ X ~~ I ) -> ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) = ( Base ` ( R freeLMod I ) ) )
171		eqid 2622	. . 3 |- (LBasis ` ( R freeLMod I ) ) = (LBasis ` ( R freeLMod I ) )
172	6, 171, 8	islbs4 20171	. 2 |- ( X e. (LBasis ` ( R freeLMod I ) ) <-> ( X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) /\ ( ( LSpan ` ( R freeLMod I ) ) ` X ) = ( Base ` ( R freeLMod I ) ) ) )
173	1, 170, 172	sylanbrc 698	1 |- ( ( ( R e. DivRing /\ I e. Fin /\ X e. (LIndS ` ( R freeLMod I ) ) ) /\ X ~~ I ) -> X e. (LBasis ` ( R freeLMod I ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   C. wpss 3575   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   ~< csdm 7954   Fincfn 7955   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   Ringcrg 18547   DivRingcdr 18747   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   LSpanclspn 18971  LBasisclbs 19074   LVecclvec 19102  NzRingcnzr 19257   freeLMod cfrlm 20090  LIndSclinds 20144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-mri 16248  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lmhm 19022  df-lbs 19075  df-lvec 19103  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-nzr 19258  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-uvc 20122  df-lindf 20145  df-linds 20146

This theorem is referenced by:  matunitlindflem2  33406