Theorem zclmncvs 22948

Description: The ring of integers as left module over itself is a subcomplex module, but not a subcomplex vector space. The vector operation is +, and the scalar product is x.. (Contributed by AV, 22-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
zclmncvs.z	|- Z = (ringLMod ` ℤring )

Assertion

Ref	Expression
zclmncvs	|- ( Z e. CMod /\ Z e/ CVec )

Proof of Theorem zclmncvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringring 19821	. . . . 5 |- ℤring e. Ring
2		rlmlmod 19205	. . . . 5 |- (ℤring e. Ring -> (ringLMod ` ℤring ) e. LMod )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- (ringLMod ` ℤring ) e. LMod
4		rlmsca 19200	. . . . . 6 |- (ℤring e. Ring -> ℤring = (Scalar ` (ringLMod ` ℤring ) ) )
5	1, 4	ax-mp 5	. . . . 5 |- ℤring = (Scalar ` (ringLMod ` ℤring ) )
6		df-zring 19819	. . . . 5 |- ℤring = (ℂfld ↾s ZZ )
7	5, 6	eqtr3i 2646	. . . 4 |- (Scalar ` (ringLMod ` ℤring ) ) = (ℂfld ↾s ZZ )
8		zsubrg 19799	. . . 4 |- ZZ e. (SubRing ` ℂfld )
9		eqid 2622	. . . . 5 |- (Scalar ` (ringLMod ` ℤring ) ) = (Scalar ` (ringLMod ` ℤring ) )
10	9	isclmi 22877	. . . 4 |- ( ( (ringLMod ` ℤring ) e. LMod /\ (Scalar ` (ringLMod ` ℤring ) ) = (ℂfld ↾s ZZ ) /\ ZZ e. (SubRing ` ℂfld ) ) -> (ringLMod ` ℤring ) e. CMod )
11	3, 7, 8, 10	mp3an 1424	. . 3 |- (ringLMod ` ℤring ) e. CMod
12		zclmncvs.z	. . . 4 |- Z = (ringLMod ` ℤring )
13	12	eleq1i 2692	. . 3 |- ( Z e. CMod <-> (ringLMod ` ℤring ) e. CMod )
14	11, 13	mpbir 221	. 2 |- Z e. CMod
15		zringndrg 19838	. . . . . . . 8 |- ℤring e/ DivRing
16	15	neli 2899	. . . . . . 7 |- -. ℤring e. DivRing
17	4	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- (ℤring e. Ring -> (Scalar ` (ringLMod ` ℤring ) ) = ℤring )
18	1, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- (Scalar ` (ringLMod ` ℤring ) ) = ℤring
19	18	eleq1i 2692	. . . . . . 7 |- ( (Scalar ` (ringLMod ` ℤring ) ) e. DivRing <-> ℤring e. DivRing )
20	16, 19	mtbir 313	. . . . . 6 |- -. (Scalar ` (ringLMod ` ℤring ) ) e. DivRing
21	20	intnan 960	. . . . 5 |- -. ( (ringLMod ` ℤring ) e. LMod /\ (Scalar ` (ringLMod ` ℤring ) ) e. DivRing )
22	9	islvec 19104	. . . . 5 |- ( (ringLMod ` ℤring ) e. LVec <-> ( (ringLMod ` ℤring ) e. LMod /\ (Scalar ` (ringLMod ` ℤring ) ) e. DivRing ) )
23	21, 22	mtbir 313	. . . 4 |- -. (ringLMod ` ℤring ) e. LVec
24	23	olci 406	. . 3 |- ( -. (ringLMod ` ℤring ) e. CMod \/ -. (ringLMod ` ℤring ) e. LVec )
25		df-nel 2898	. . . 4 |- ( Z e/ CVec <-> -. Z e. CVec )
26		ianor 509	. . . . . 6 |- ( -. ( (ringLMod ` ℤring ) e. CMod /\ (ringLMod ` ℤring ) e. LVec ) <-> ( -. (ringLMod ` ℤring ) e. CMod \/ -. (ringLMod ` ℤring ) e. LVec ) )
27		elin 3796	. . . . . 6 |- ( (ringLMod ` ℤring ) e. (CMod i^i LVec ) <-> ( (ringLMod ` ℤring ) e. CMod /\ (ringLMod ` ℤring ) e. LVec ) )
28	26, 27	xchnxbir 323	. . . . 5 |- ( -. (ringLMod ` ℤring ) e. (CMod i^i LVec ) <-> ( -. (ringLMod ` ℤring ) e. CMod \/ -. (ringLMod ` ℤring ) e. LVec ) )
29		df-cvs 22924	. . . . . 6 |- CVec = (CMod i^i LVec )
30	12, 29	eleq12i 2694	. . . . 5 |- ( Z e. CVec <-> (ringLMod ` ℤring ) e. (CMod i^i LVec ) )
31	28, 30	xchnxbir 323	. . . 4 |- ( -. Z e. CVec <-> ( -. (ringLMod ` ℤring ) e. CMod \/ -. (ringLMod ` ℤring ) e. LVec ) )
32	25, 31	bitri 264	. . 3 |- ( Z e/ CVec <-> ( -. (ringLMod ` ℤring ) e. CMod \/ -. (ringLMod ` ℤring ) e. LVec ) )
33	24, 32	mpbir 221	. 2 |- Z e/ CVec
34	14, 33	pm3.2i 471	1 |- ( Z e. CMod /\ Z e/ CVec )

Syntax hints:   -. wn 3   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   e/ wnel 2897   i^i cin 3573   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ZZcz 11377   ↾_s cress 15858  Scalarcsca 15944   Ringcrg 18547   DivRingcdr 18747  SubRingcsubrg 18776   LModclmod 18863   LVecclvec 19102  ringLModcrglmod 19169  ℂ_fldccnfld 19746  ℤ_ringzring 19818  CModcclm 22862  CVecccvs 22923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-gz 15634  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lvec 19103  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-clm 22863  df-cvs 22924

This theorem is referenced by: (None)