Theorem pnrmopn 21147

Description: An open set in a perfectly normal space is a countable union of closed sets. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pnrmopn	|- ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) -> E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) A = U. ran f )

Distinct variable groups:   A, f   f, J

Proof of Theorem pnrmopn

Dummy variables g x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnrmtop 21145	. . . 4 |- ( J e. PNrm -> J e. Top )
2		eqid 2622	. . . . 5 |- U. J = U. J
3	2	opncld 20837	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A e. J ) -> ( U. J \ A ) e. ( Clsd ` J ) )
4	1, 3	sylan 488	. . 3 |- ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) -> ( U. J \ A ) e. ( Clsd ` J ) )
5		pnrmcld 21146	. . 3 |- ( ( J e. PNrm /\ ( U. J \ A ) e. ( Clsd ` J ) ) -> E. g e. ( J ^m NN ) ( U. J \ A ) = |^| ran g )
6	4, 5	syldan 487	. 2 |- ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) -> E. g e. ( J ^m NN ) ( U. J \ A ) = |^| ran g )
7	1	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) /\ x e. NN ) -> J e. Top )
8		elmapi 7879	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. ( J ^m NN ) -> g : NN --> J )
9	8	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> g : NN --> J )
10	9	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) /\ x e. NN ) -> ( g ` x ) e. J )
11	2	opncld 20837	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ ( g ` x ) e. J ) -> ( U. J \ ( g ` x ) ) e. ( Clsd ` J ) )
12	7, 10, 11	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) /\ x e. NN ) -> ( U. J \ ( g ` x ) ) e. ( Clsd ` J ) )
13		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) = ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) )
14	12, 13	fmptd 6385	. . . . . 6 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) : NN --> ( Clsd ` J ) )
15		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( Clsd ` J ) e. _V
16		nnex 11026	. . . . . . 7 |- NN e. _V
17	15, 16	elmap 7886	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) <-> ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) : NN --> ( Clsd ` J ) )
18	14, 17	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) )
19		iundif2 4587	. . . . . . 7 |- U_ x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) = ( U. J \ |^|_ x e. NN ( g ` x ) )
20		ffn 6045	. . . . . . . . 9 |- ( g : NN --> J -> g Fn NN )
21		fniinfv 6257	. . . . . . . . 9 |- ( g Fn NN -> |^|_ x e. NN ( g ` x ) = |^| ran g )
22	9, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> |^|_ x e. NN ( g ` x ) = |^| ran g )
23	22	difeq2d 3728	. . . . . . 7 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> ( U. J \ |^|_ x e. NN ( g ` x ) ) = ( U. J \ |^| ran g ) )
24	19, 23	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> U_ x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) = ( U. J \ |^| ran g ) )
25		uniexg 6955	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. PNrm -> U. J e. _V )
26		difexg 4808	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. J e. _V -> ( U. J \ ( g ` x ) ) e. _V )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. PNrm -> ( U. J \ ( g ` x ) ) e. _V )
28	27	ralrimivw 2967	. . . . . . . . 9 |- ( J e. PNrm -> A. x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) e. _V )
29	28	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> A. x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) e. _V )
30		dfiun2g 4552	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) e. _V -> U_ x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) = U. { f | E. x e. NN f = ( U. J \ ( g ` x ) ) } )
31	29, 30	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> U_ x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) = U. { f | E. x e. NN f = ( U. J \ ( g ` x ) ) } )
32	13	rnmpt 5371	. . . . . . . 8 |- ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) = { f | E. x e. NN f = ( U. J \ ( g ` x ) ) }
33	32	unieqi 4445	. . . . . . 7 |- U. ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) = U. { f | E. x e. NN f = ( U. J \ ( g ` x ) ) }
34	31, 33	syl6eqr 2674	. . . . . 6 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> U_ x e. NN ( U. J \ ( g ` x ) ) = U. ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) )
35	24, 34	eqtr3d 2658	. . . . 5 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) )
36		rneq 5351	. . . . . . . 8 |- ( f = ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) -> ran f = ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) )
37	36	unieqd 4446	. . . . . . 7 |- ( f = ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) -> U. ran f = U. ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) )
38	37	eqeq2d 2632	. . . . . 6 |- ( f = ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) -> ( ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran f <-> ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) ) )
39	38	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) /\ ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran ( x e. NN |-> ( U. J \ ( g ` x ) ) ) ) -> E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran f )
40	18, 35, 39	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( J e. PNrm /\ g e. ( J ^m NN ) ) -> E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran f )
41	40	ad2ant2r 783	. . 3 |- ( ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) /\ ( g e. ( J ^m NN ) /\ ( U. J \ A ) = |^| ran g ) ) -> E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran f )
42		difeq2 3722	. . . . . . . 8 |- ( ( U. J \ A ) = |^| ran g -> ( U. J \ ( U. J \ A ) ) = ( U. J \ |^| ran g ) )
43	42	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ( U. J \ A ) = |^| ran g -> ( U. J \ |^| ran g ) = ( U. J \ ( U. J \ A ) ) )
44		elssuni 4467	. . . . . . . 8 |- ( A e. J -> A C_ U. J )
45		dfss4 3858	. . . . . . . 8 |- ( A C_ U. J <-> ( U. J \ ( U. J \ A ) ) = A )
46	44, 45	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( A e. J -> ( U. J \ ( U. J \ A ) ) = A )
47	43, 46	sylan9eqr 2678	. . . . . 6 |- ( ( A e. J /\ ( U. J \ A ) = |^| ran g ) -> ( U. J \ |^| ran g ) = A )
48	47	ad2ant2l 782	. . . . 5 |- ( ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) /\ ( g e. ( J ^m NN ) /\ ( U. J \ A ) = |^| ran g ) ) -> ( U. J \ |^| ran g ) = A )
49	48	eqeq1d 2624	. . . 4 |- ( ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) /\ ( g e. ( J ^m NN ) /\ ( U. J \ A ) = |^| ran g ) ) -> ( ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran f <-> A = U. ran f ) )
50	49	rexbidv 3052	. . 3 |- ( ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) /\ ( g e. ( J ^m NN ) /\ ( U. J \ A ) = |^| ran g ) ) -> ( E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) ( U. J \ |^| ran g ) = U. ran f <-> E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) A = U. ran f ) )
51	41, 50	mpbid 222	. 2 |- ( ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) /\ ( g e. ( J ^m NN ) /\ ( U. J \ A ) = |^| ran g ) ) -> E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) A = U. ran f )
52	6, 51	rexlimddv 3035	1 |- ( ( J e. PNrm /\ A e. J ) -> E. f e. ( ( Clsd ` J ) ^m NN ) A = U. ran f )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   U.cuni 4436   |^|cint 4475   U_ciun 4520   |^|_ciin 4521   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   NNcn 11020   Topctop 20698   Clsdccld 20820  PNrmcpnrm 21116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-map 7859  df-nn 11021  df-top 20699  df-cld 20823  df-nrm 21121  df-pnrm 21123

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