Theorem onsuct0 32440

Description: A successor ordinal number is a T₀ space. (Contributed by Chen-Pang He, 8-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onsuct0	|- ( A e. On -> suc A e. Kol2 )

Proof of Theorem onsuct0

Dummy variables o x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 5733	. . 3 |- ( A e. On -> Ord A )
2		df-ral 2917	. . . . . 6 |- ( A. o e. suc A ( x e. o <-> y e. o ) <-> A. o ( o e. suc A -> ( x e. o <-> y e. o ) ) )
3		ordelon 5747	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Ord A /\ x e. A ) -> x e. On )
4		ordelon 5747	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Ord A /\ y e. A ) -> y e. On )
5	3, 4	anim12dan 882	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Ord A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x e. On /\ y e. On ) )
6		ordsuc 7014	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Ord A <-> Ord suc A )
7		ordelon 5747	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Ord suc A /\ o e. suc A ) -> o e. On )
8	7	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Ord suc A -> ( o e. suc A -> o e. On ) )
9	6, 8	sylbi 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord A -> ( o e. suc A -> o e. On ) )
10	9	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Ord A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( o e. suc A -> o e. On ) )
11		notbi 309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. o <-> y e. o ) <-> ( -. x e. o <-> -. y e. o ) )
12		ontri1 5757	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( o e. On /\ x e. On ) -> ( o C_ x <-> -. x e. o ) )
13		onsssuc 5813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( o e. On /\ x e. On ) -> ( o C_ x <-> o e. suc x ) )
14	12, 13	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( o e. On /\ x e. On ) -> ( -. x e. o <-> o e. suc x ) )
15	14	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( o e. On /\ ( x e. On /\ y e. On ) ) -> ( -. x e. o <-> o e. suc x ) )
16		ontri1 5757	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( o e. On /\ y e. On ) -> ( o C_ y <-> -. y e. o ) )
17		onsssuc 5813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( o e. On /\ y e. On ) -> ( o C_ y <-> o e. suc y ) )
18	16, 17	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( o e. On /\ y e. On ) -> ( -. y e. o <-> o e. suc y ) )
19	18	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( o e. On /\ ( x e. On /\ y e. On ) ) -> ( -. y e. o <-> o e. suc y ) )
20	15, 19	bibi12d 335	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( o e. On /\ ( x e. On /\ y e. On ) ) -> ( ( -. x e. o <-> -. y e. o ) <-> ( o e. suc x <-> o e. suc y ) ) )
21	20	ancoms 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. On /\ y e. On ) /\ o e. On ) -> ( ( -. x e. o <-> -. y e. o ) <-> ( o e. suc x <-> o e. suc y ) ) )
22	11, 21	syl5bb 272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. On /\ y e. On ) /\ o e. On ) -> ( ( x e. o <-> y e. o ) <-> ( o e. suc x <-> o e. suc y ) ) )
23	22	biimpd 219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. On /\ y e. On ) /\ o e. On ) -> ( ( x e. o <-> y e. o ) -> ( o e. suc x <-> o e. suc y ) ) )
24	5, 10, 23	syl6an 568	. . . . . . . . 9 |- ( ( Ord A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( o e. suc A -> ( ( x e. o <-> y e. o ) -> ( o e. suc x <-> o e. suc y ) ) ) )
25	24	a2d 29	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( o e. suc A -> ( x e. o <-> y e. o ) ) -> ( o e. suc A -> ( o e. suc x <-> o e. suc y ) ) ) )
26		ordelss 5739	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Ord A /\ x e. A ) -> x C_ A )
27		ordelord 5745	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Ord A /\ x e. A ) -> Ord x )
28		ordsucsssuc 7023	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Ord x /\ Ord A ) -> ( x C_ A <-> suc x C_ suc A ) )
29	28	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Ord A /\ Ord x ) -> ( x C_ A <-> suc x C_ suc A ) )
30	27, 29	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Ord A /\ x e. A ) -> ( x C_ A <-> suc x C_ suc A ) )
31	26, 30	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Ord A /\ x e. A ) -> suc x C_ suc A )
32	31	ssneld 3605	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Ord A /\ x e. A ) -> ( -. o e. suc A -> -. o e. suc x ) )
33	32	adantrr 753	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Ord A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( -. o e. suc A -> -. o e. suc x ) )
34		ordelss 5739	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Ord A /\ y e. A ) -> y C_ A )
35		ordelord 5745	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Ord A /\ y e. A ) -> Ord y )
36		ordsucsssuc 7023	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Ord y /\ Ord A ) -> ( y C_ A <-> suc y C_ suc A ) )
37	36	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Ord A /\ Ord y ) -> ( y C_ A <-> suc y C_ suc A ) )
38	35, 37	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Ord A /\ y e. A ) -> ( y C_ A <-> suc y C_ suc A ) )
39	34, 38	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Ord A /\ y e. A ) -> suc y C_ suc A )
40	39	ssneld 3605	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Ord A /\ y e. A ) -> ( -. o e. suc A -> -. o e. suc y ) )
41	40	adantrl 752	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Ord A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( -. o e. suc A -> -. o e. suc y ) )
42	33, 41	jcad 555	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Ord A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( -. o e. suc A -> ( -. o e. suc x /\ -. o e. suc y ) ) )
43		pm5.21 903	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. o e. suc x /\ -. o e. suc y ) -> ( o e. suc x <-> o e. suc y ) )
44	42, 43	syl6 35	. . . . . . . . 9 |- ( ( Ord A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( -. o e. suc A -> ( o e. suc x <-> o e. suc y ) ) )
45		idd 24	. . . . . . . . 9 |- ( ( Ord A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( o e. suc x <-> o e. suc y ) -> ( o e. suc x <-> o e. suc y ) ) )
46	44, 45	jad 174	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( o e. suc A -> ( o e. suc x <-> o e. suc y ) ) -> ( o e. suc x <-> o e. suc y ) ) )
47	25, 46	syld 47	. . . . . . 7 |- ( ( Ord A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( o e. suc A -> ( x e. o <-> y e. o ) ) -> ( o e. suc x <-> o e. suc y ) ) )
48	47	alimdv 1845	. . . . . 6 |- ( ( Ord A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( A. o ( o e. suc A -> ( x e. o <-> y e. o ) ) -> A. o ( o e. suc x <-> o e. suc y ) ) )
49	2, 48	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( ( Ord A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( A. o e. suc A ( x e. o <-> y e. o ) -> A. o ( o e. suc x <-> o e. suc y ) ) )
50		dfcleq 2616	. . . . . . 7 |- ( suc x = suc y <-> A. o ( o e. suc x <-> o e. suc y ) )
51		suc11 5831	. . . . . . 7 |- ( ( x e. On /\ y e. On ) -> ( suc x = suc y <-> x = y ) )
52	50, 51	syl5bbr 274	. . . . . 6 |- ( ( x e. On /\ y e. On ) -> ( A. o ( o e. suc x <-> o e. suc y ) <-> x = y ) )
53	5, 52	syl 17	. . . . 5 |- ( ( Ord A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( A. o ( o e. suc x <-> o e. suc y ) <-> x = y ) )
54	49, 53	sylibd 229	. . . 4 |- ( ( Ord A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( A. o e. suc A ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) )
55	54	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( Ord A -> A. x e. A A. y e. A ( A. o e. suc A ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) )
56	1, 55	syl 17	. 2 |- ( A e. On -> A. x e. A A. y e. A ( A. o e. suc A ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) )
57		onsuctopon 32433	. . 3 |- ( A e. On -> suc A e. (TopOn ` A ) )
58		ist0-2 21148	. . 3 |- ( suc A e. (TopOn ` A ) -> ( suc A e. Kol2 <-> A. x e. A A. y e. A ( A. o e. suc A ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) ) )
59	57, 58	syl 17	. 2 |- ( A e. On -> ( suc A e. Kol2 <-> A. x e. A A. y e. A ( A. o e. suc A ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) ) )
60	56, 59	mpbird 247	1 |- ( A e. On -> suc A e. Kol2 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   Ord word 5722   Oncon0 5723   suc csuc 5725   ` cfv 5888  TopOnctopon 20715   Kol2ct0 21110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-t0 21117

This theorem is referenced by:  ordtopt0  32441