Theorem ssmapsn 39408

Description: A subset C of a set exponentiation to a singleton, is its projection D exponentiated to the singleton. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssmapsn.f	|- F/_ f D
ssmapsn.a	|- ( ph -> A e. V )
ssmapsn.c	|- ( ph -> C C_ ( B ^m { A } ) )
ssmapsn.d	|- D = U_ f e. C ran f

Assertion

Ref	Expression
ssmapsn	|- ( ph -> C = ( D ^m { A } ) )

Distinct variable groups:   A, f   C, f   ph, f

Allowed substitution hints:   B( f)   D( f)   V( f)

Proof of Theorem ssmapsn

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssmapsn.c	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C C_ ( B ^m { A } ) )
2	1	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. C ) -> f e. ( B ^m { A } ) )
3		elmapi 7879	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( B ^m { A } ) -> f : { A } --> B )
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. C ) -> f : { A } --> B )
5	4	ffnd 6046	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. C ) -> f Fn { A } )
6		ssmapsn.d	. . . . . . . . 9 |- D = U_ f e. C ran f
7	6	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D = U_ f e. C ran f )
8		ovexd 6680	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B ^m { A } ) e. _V )
9	8, 1	ssexd 4805	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. _V )
10		rnexg 7098	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. C -> ran f e. _V )
11	10	rgen 2922	. . . . . . . . . . 11 |- A. f e. C ran f e. _V
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. f e. C ran f e. _V )
13	9, 12	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C e. _V /\ A. f e. C ran f e. _V ) )
14		iunexg 7143	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. _V /\ A. f e. C ran f e. _V ) -> U_ f e. C ran f e. _V )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U_ f e. C ran f e. _V )
16	7, 15	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. _V )
17	16	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. C ) -> D e. _V )
18		ssiun2 4563	. . . . . . . . 9 |- ( f e. C -> ran f C_ U_ f e. C ran f )
19	18	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. C ) -> ran f C_ U_ f e. C ran f )
20		ssmapsn.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. V )
21		snidg 4206	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. V -> A e. { A } )
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. { A } )
23	22	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. C ) -> A e. { A } )
24		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . 9 |- ( ( f Fn { A } /\ A e. { A } ) -> ( f ` A ) e. ran f )
25	5, 23, 24	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. C ) -> ( f ` A ) e. ran f )
26	19, 25	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. C ) -> ( f ` A ) e. U_ f e. C ran f )
27	26, 6	syl6eleqr 2712	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. C ) -> ( f ` A ) e. D )
28	5, 17, 27	elmapsnd 39396	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. C ) -> f e. ( D ^m { A } ) )
29	28	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( f e. C -> f e. ( D ^m { A } ) ) )
30	16	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. ( D ^m { A } ) ) -> D e. _V )
31		snex 4908	. . . . . . . . . 10 |- { A } e. _V
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. ( D ^m { A } ) ) -> { A } e. _V )
33		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. ( D ^m { A } ) ) -> f e. ( D ^m { A } ) )
34	22	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. ( D ^m { A } ) ) -> A e. { A } )
35	30, 32, 33, 34	fvmap 39387	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. ( D ^m { A } ) ) -> ( f ` A ) e. D )
36	6	idi 2	. . . . . . . . 9 |- D = U_ f e. C ran f
37		rneq 5351	. . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> ran f = ran g )
38	37	cbviunv 4559	. . . . . . . . 9 |- U_ f e. C ran f = U_ g e. C ran g
39	36, 38	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- D = U_ g e. C ran g
40	35, 39	syl6eleq 2711	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. ( D ^m { A } ) ) -> ( f ` A ) e. U_ g e. C ran g )
41		eliun 4524	. . . . . . 7 |- ( ( f ` A ) e. U_ g e. C ran g <-> E. g e. C ( f ` A ) e. ran g )
42	40, 41	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. ( D ^m { A } ) ) -> E. g e. C ( f ` A ) e. ran g )
43		simp3 1063	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. ( D ^m { A } ) ) /\ g e. C /\ ( f ` A ) e. ran g ) -> ( f ` A ) e. ran g )
44		simp1l 1085	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. ( D ^m { A } ) ) /\ g e. C /\ ( f ` A ) e. ran g ) -> ph )
45	44, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. ( D ^m { A } ) ) /\ g e. C /\ ( f ` A ) e. ran g ) -> A e. V )
46		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- { A } = { A }
47		simp1r 1086	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. ( D ^m { A } ) ) /\ g e. C /\ ( f ` A ) e. ran g ) -> f e. ( D ^m { A } ) )
48		elmapfn 7880	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. ( D ^m { A } ) -> f Fn { A } )
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. ( D ^m { A } ) ) /\ g e. C /\ ( f ` A ) e. ran g ) -> f Fn { A } )
50	1	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ g e. C ) -> g e. ( B ^m { A } ) )
51		elmapfn 7880	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g e. ( B ^m { A } ) -> g Fn { A } )
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ g e. C ) -> g Fn { A } )
53	52	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ g e. C /\ ( f ` A ) e. ran g ) -> g Fn { A } )
54	53	3adant1r 1319	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. ( D ^m { A } ) ) /\ g e. C /\ ( f ` A ) e. ran g ) -> g Fn { A } )
55	45, 46, 49, 54	fsneqrn 39403	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. ( D ^m { A } ) ) /\ g e. C /\ ( f ` A ) e. ran g ) -> ( f = g <-> ( f ` A ) e. ran g ) )
56	43, 55	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. ( D ^m { A } ) ) /\ g e. C /\ ( f ` A ) e. ran g ) -> f = g )
57		simp2 1062	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. ( D ^m { A } ) ) /\ g e. C /\ ( f ` A ) e. ran g ) -> g e. C )
58	56, 57	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. ( D ^m { A } ) ) /\ g e. C /\ ( f ` A ) e. ran g ) -> f e. C )
59	58	3exp 1264	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. ( D ^m { A } ) ) -> ( g e. C -> ( ( f ` A ) e. ran g -> f e. C ) ) )
60	59	rexlimdv 3030	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. ( D ^m { A } ) ) -> ( E. g e. C ( f ` A ) e. ran g -> f e. C ) )
61	42, 60	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. ( D ^m { A } ) ) -> f e. C )
62	61	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( f e. ( D ^m { A } ) -> f e. C ) )
63	29, 62	impbid 202	. . 3 |- ( ph -> ( f e. C <-> f e. ( D ^m { A } ) ) )
64	63	alrimiv 1855	. 2 |- ( ph -> A. f ( f e. C <-> f e. ( D ^m { A } ) ) )
65		nfcv 2764	. . 3 |- F/_ f C
66		ssmapsn.f	. . . 4 |- F/_ f D
67		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ f ^m
68		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ f { A }
69	66, 67, 68	nfov 6676	. . 3 |- F/_ f ( D ^m { A } )
70	65, 69	dfcleqf 39255	. 2 |- ( C = ( D ^m { A } ) <-> A. f ( f e. C <-> f e. ( D ^m { A } ) ) )
71	64, 70	sylibr 224	1 |- ( ph -> C = ( D ^m { A } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {csn 4177   U_ciun 4520   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859

This theorem is referenced by:  vonvolmbllem  40874  vonvolmbl2  40877  vonvol2  40878