Theorem kgeni 21340

Description: Property of the open sets in the compact generator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgeni	|- ( ( A e. (𝑘Gen ` J ) /\ ( J ↾t K ) e. Comp ) -> ( A i^i K ) e. ( J ↾t K ) )

Proof of Theorem kgeni

Dummy variables y x j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inass 3823	. . . . 5 |- ( ( A i^i K ) i^i U. J ) = ( A i^i ( K i^i U. J ) )
2		in32 3825	. . . . 5 |- ( ( A i^i K ) i^i U. J ) = ( ( A i^i U. J ) i^i K )
3	1, 2	eqtr3i 2646	. . . 4 |- ( A i^i ( K i^i U. J ) ) = ( ( A i^i U. J ) i^i K )
4		df-kgen 21337	. . . . . . . . . . . 12 |- 𝑘Gen = ( j e. Top |-> { x e. ~P U. j | A. y e. ~P U. j ( ( j ↾t y ) e. Comp -> ( x i^i y ) e. ( j ↾t y ) ) } )
5	4	dmmptss 5631	. . . . . . . . . . 11 |- dom 𝑘Gen C_ Top
6		elfvdm 6220	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. (𝑘Gen ` J ) -> J e. dom 𝑘Gen )
7	5, 6	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. (𝑘Gen ` J ) -> J e. Top )
8	7	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. (𝑘Gen ` J ) /\ ( J ↾t K ) e. Comp ) -> J e. Top )
9		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- U. J = U. J
10	9	toptopon 20722	. . . . . . . . 9 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
11	8, 10	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. (𝑘Gen ` J ) /\ ( J ↾t K ) e. Comp ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
12		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. (𝑘Gen ` J ) /\ ( J ↾t K ) e. Comp ) -> A e. (𝑘Gen ` J ) )
13		elkgen 21339	. . . . . . . . 9 |- ( J e. (TopOn ` U. J ) -> ( A e. (𝑘Gen ` J ) <-> ( A C_ U. J /\ A. y e. ~P U. J ( ( J ↾t y ) e. Comp -> ( A i^i y ) e. ( J ↾t y ) ) ) ) )
14	13	biimpa 501	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ A e. (𝑘Gen ` J ) ) -> ( A C_ U. J /\ A. y e. ~P U. J ( ( J ↾t y ) e. Comp -> ( A i^i y ) e. ( J ↾t y ) ) ) )
15	11, 12, 14	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( A e. (𝑘Gen ` J ) /\ ( J ↾t K ) e. Comp ) -> ( A C_ U. J /\ A. y e. ~P U. J ( ( J ↾t y ) e. Comp -> ( A i^i y ) e. ( J ↾t y ) ) ) )
16	15	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ( A e. (𝑘Gen ` J ) /\ ( J ↾t K ) e. Comp ) -> A C_ U. J )
17		df-ss 3588	. . . . . 6 |- ( A C_ U. J <-> ( A i^i U. J ) = A )
18	16, 17	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( A e. (𝑘Gen ` J ) /\ ( J ↾t K ) e. Comp ) -> ( A i^i U. J ) = A )
19	18	ineq1d 3813	. . . 4 |- ( ( A e. (𝑘Gen ` J ) /\ ( J ↾t K ) e. Comp ) -> ( ( A i^i U. J ) i^i K ) = ( A i^i K ) )
20	3, 19	syl5eq 2668	. . 3 |- ( ( A e. (𝑘Gen ` J ) /\ ( J ↾t K ) e. Comp ) -> ( A i^i ( K i^i U. J ) ) = ( A i^i K ) )
21		inss2 3834	. . . . 5 |- ( K i^i U. J ) C_ U. J
22		cmptop 21198	. . . . . . . 8 |- ( ( J ↾t K ) e. Comp -> ( J ↾t K ) e. Top )
23	22	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( A e. (𝑘Gen ` J ) /\ ( J ↾t K ) e. Comp ) -> ( J ↾t K ) e. Top )
24		restrcl 20961	. . . . . . . 8 |- ( ( J ↾t K ) e. Top -> ( J e. _V /\ K e. _V ) )
25	24	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ( J ↾t K ) e. Top -> K e. _V )
26	23, 25	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A e. (𝑘Gen ` J ) /\ ( J ↾t K ) e. Comp ) -> K e. _V )
27		inex1g 4801	. . . . . 6 |- ( K e. _V -> ( K i^i U. J ) e. _V )
28		elpwg 4166	. . . . . 6 |- ( ( K i^i U. J ) e. _V -> ( ( K i^i U. J ) e. ~P U. J <-> ( K i^i U. J ) C_ U. J ) )
29	26, 27, 28	3syl 18	. . . . 5 |- ( ( A e. (𝑘Gen ` J ) /\ ( J ↾t K ) e. Comp ) -> ( ( K i^i U. J ) e. ~P U. J <-> ( K i^i U. J ) C_ U. J ) )
30	21, 29	mpbiri 248	. . . 4 |- ( ( A e. (𝑘Gen ` J ) /\ ( J ↾t K ) e. Comp ) -> ( K i^i U. J ) e. ~P U. J )
31	15	simprd 479	. . . 4 |- ( ( A e. (𝑘Gen ` J ) /\ ( J ↾t K ) e. Comp ) -> A. y e. ~P U. J ( ( J ↾t y ) e. Comp -> ( A i^i y ) e. ( J ↾t y ) ) )
32	9	restin 20970	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ K e. _V ) -> ( J ↾t K ) = ( J ↾t ( K i^i U. J ) ) )
33	8, 26, 32	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( A e. (𝑘Gen ` J ) /\ ( J ↾t K ) e. Comp ) -> ( J ↾t K ) = ( J ↾t ( K i^i U. J ) ) )
34		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( A e. (𝑘Gen ` J ) /\ ( J ↾t K ) e. Comp ) -> ( J ↾t K ) e. Comp )
35	33, 34	eqeltrrd 2702	. . . 4 |- ( ( A e. (𝑘Gen ` J ) /\ ( J ↾t K ) e. Comp ) -> ( J ↾t ( K i^i U. J ) ) e. Comp )
36		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( y = ( K i^i U. J ) -> ( J ↾t y ) = ( J ↾t ( K i^i U. J ) ) )
37	36	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( y = ( K i^i U. J ) -> ( ( J ↾t y ) e. Comp <-> ( J ↾t ( K i^i U. J ) ) e. Comp ) )
38		ineq2 3808	. . . . . . 7 |- ( y = ( K i^i U. J ) -> ( A i^i y ) = ( A i^i ( K i^i U. J ) ) )
39	38, 36	eleq12d 2695	. . . . . 6 |- ( y = ( K i^i U. J ) -> ( ( A i^i y ) e. ( J ↾t y ) <-> ( A i^i ( K i^i U. J ) ) e. ( J ↾t ( K i^i U. J ) ) ) )
40	37, 39	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( y = ( K i^i U. J ) -> ( ( ( J ↾t y ) e. Comp -> ( A i^i y ) e. ( J ↾t y ) ) <-> ( ( J ↾t ( K i^i U. J ) ) e. Comp -> ( A i^i ( K i^i U. J ) ) e. ( J ↾t ( K i^i U. J ) ) ) ) )
41	40	rspcv 3305	. . . 4 |- ( ( K i^i U. J ) e. ~P U. J -> ( A. y e. ~P U. J ( ( J ↾t y ) e. Comp -> ( A i^i y ) e. ( J ↾t y ) ) -> ( ( J ↾t ( K i^i U. J ) ) e. Comp -> ( A i^i ( K i^i U. J ) ) e. ( J ↾t ( K i^i U. J ) ) ) ) )
42	30, 31, 35, 41	syl3c 66	. . 3 |- ( ( A e. (𝑘Gen ` J ) /\ ( J ↾t K ) e. Comp ) -> ( A i^i ( K i^i U. J ) ) e. ( J ↾t ( K i^i U. J ) ) )
43	20, 42	eqeltrrd 2702	. 2 |- ( ( A e. (𝑘Gen ` J ) /\ ( J ↾t K ) e. Comp ) -> ( A i^i K ) e. ( J ↾t ( K i^i U. J ) ) )
44	43, 33	eleqtrrd 2704	1 |- ( ( A e. (𝑘Gen ` J ) /\ ( J ↾t K ) e. Comp ) -> ( A i^i K ) e. ( J ↾t K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ↾_t crest 16081   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Compccmp 21189  𝑘Genckgen 21336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-rest 16083  df-top 20699  df-topon 20716  df-cmp 21190  df-kgen 21337

This theorem is referenced by:  kgentopon  21341  kgencmp  21348  kgenidm  21350  llycmpkgen2  21353  1stckgen  21357  kgencn3  21361  txkgen  21455