Theorem llycmpkgen2 21353

Description: A locally compact space is compactly generated. (This variant of llycmpkgen 21355 uses the weaker definition of locally compact, "every point has a compact neighborhood", instead of "every point has a local base of compact neighborhoods".) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iskgen3.1	|- X = U. J
llycmpkgen2.2	|- ( ph -> J e. Top )
llycmpkgen2.3	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> E. k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( J ↾t k ) e. Comp )

Assertion

Ref	Expression
llycmpkgen2	|- ( ph -> J e. ran 𝑘Gen )

Distinct variable groups:   x, k, J   ph, k, x   k, X

Allowed substitution hint:   X( x)

Proof of Theorem llycmpkgen2

Dummy variables u z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		llycmpkgen2.2	. 2 |- ( ph -> J e. Top )
2		elssuni 4467	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. (𝑘Gen ` J ) -> u C_ U. (𝑘Gen ` J ) )
3	2	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) -> u C_ U. (𝑘Gen ` J ) )
4		iskgen3.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- X = U. J
5	4	kgenuni 21342	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. Top -> X = U. (𝑘Gen ` J ) )
6	1, 5	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X = U. (𝑘Gen ` J ) )
7	6	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) -> X = U. (𝑘Gen ` J ) )
8	3, 7	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) -> u C_ X )
9	8	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) -> x e. X )
10		llycmpkgen2.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E. k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( J ↾t k ) e. Comp )
11	10	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. X ) -> E. k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( J ↾t k ) e. Comp )
12	9, 11	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) -> E. k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ( J ↾t k ) e. Comp )
13	1	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> J e. Top )
14		difss 3737	. . . . . . . . . 10 |- ( X \ ( k \ u ) ) C_ X
15	4	ntropn 20853	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ ( X \ ( k \ u ) ) C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) e. J )
16	13, 14, 15	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) e. J )
17		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
18	4	neii1 20910	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> k C_ X )
19	13, 17, 18	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> k C_ X )
20	4	ntropn 20853	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ k C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` k ) e. J )
21	13, 19, 20	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( ( int ` J ) ` k ) e. J )
22		inopn 20704	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) e. J /\ ( ( int ` J ) ` k ) e. J ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( ( int ` J ) ` k ) ) e. J )
23	13, 16, 21, 22	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( ( int ` J ) ` k ) ) e. J )
24		inss1 3833	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( int ` J ) ` ( ( u i^i k ) u. ( X \ k ) ) ) i^i k ) C_ ( ( int ` J ) ` ( ( u i^i k ) u. ( X \ k ) ) )
25		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> x e. u )
26	4	ntrss2 20861	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ k C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` k ) C_ k )
27	13, 19, 26	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( ( int ` J ) ` k ) C_ k )
28	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> x e. X )
29	28	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> { x } C_ X )
30	4	neiint 20908	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. Top /\ { x } C_ X /\ k C_ X ) -> ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) <-> { x } C_ ( ( int ` J ) ` k ) ) )
31	13, 29, 19, 30	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) <-> { x } C_ ( ( int ` J ) ` k ) ) )
32	17, 31	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> { x } C_ ( ( int ` J ) ` k ) )
33		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- x e. _V
34	33	snss 4316	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( ( int ` J ) ` k ) <-> { x } C_ ( ( int ` J ) ` k ) )
35	32, 34	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> x e. ( ( int ` J ) ` k ) )
36	27, 35	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> x e. k )
37	25, 36	elind 3798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> x e. ( u i^i k ) )
38		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> u e. (𝑘Gen ` J ) )
39		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( J ↾t k ) e. Comp )
40		kgeni 21340	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. (𝑘Gen ` J ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) -> ( u i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
41	38, 39, 40	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( u i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
42		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- k e. _V
43		resttop 20964	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. Top /\ k e. _V ) -> ( J ↾t k ) e. Top )
44	13, 42, 43	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( J ↾t k ) e. Top )
45		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u i^i k ) C_ k
46	4	restuni 20966	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. Top /\ k C_ X ) -> k = U. ( J ↾t k ) )
47	13, 19, 46	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> k = U. ( J ↾t k ) )
48	45, 47	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( u i^i k ) C_ U. ( J ↾t k ) )
49		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. ( J ↾t k ) = U. ( J ↾t k )
50	49	isopn3 20870	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J ↾t k ) e. Top /\ ( u i^i k ) C_ U. ( J ↾t k ) ) -> ( ( u i^i k ) e. ( J ↾t k ) <-> ( ( int ` ( J ↾t k ) ) ` ( u i^i k ) ) = ( u i^i k ) ) )
51	44, 48, 50	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( ( u i^i k ) e. ( J ↾t k ) <-> ( ( int ` ( J ↾t k ) ) ` ( u i^i k ) ) = ( u i^i k ) ) )
52	41, 51	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( ( int ` ( J ↾t k ) ) ` ( u i^i k ) ) = ( u i^i k ) )
53	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( u i^i k ) C_ k )
54		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( J ↾t k ) = ( J ↾t k )
55	4, 54	restntr 20986	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ k C_ X /\ ( u i^i k ) C_ k ) -> ( ( int ` ( J ↾t k ) ) ` ( u i^i k ) ) = ( ( ( int ` J ) ` ( ( u i^i k ) u. ( X \ k ) ) ) i^i k ) )
56	13, 19, 53, 55	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( ( int ` ( J ↾t k ) ) ` ( u i^i k ) ) = ( ( ( int ` J ) ` ( ( u i^i k ) u. ( X \ k ) ) ) i^i k ) )
57	52, 56	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( u i^i k ) = ( ( ( int ` J ) ` ( ( u i^i k ) u. ( X \ k ) ) ) i^i k ) )
58	37, 57	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> x e. ( ( ( int ` J ) ` ( ( u i^i k ) u. ( X \ k ) ) ) i^i k ) )
59	24, 58	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> x e. ( ( int ` J ) ` ( ( u i^i k ) u. ( X \ k ) ) ) )
60		undif3 3888	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u i^i k ) u. ( X \ k ) ) = ( ( ( u i^i k ) u. X ) \ ( k \ ( u i^i k ) ) )
61		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u i^i k ) = ( k i^i u )
62	61	difeq2i 3725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k \ ( u i^i k ) ) = ( k \ ( k i^i u ) )
63		difin 3861	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k \ ( k i^i u ) ) = ( k \ u )
64	62, 63	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k \ ( u i^i k ) ) = ( k \ u )
65	64	difeq2i 3725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( u i^i k ) u. X ) \ ( k \ ( u i^i k ) ) ) = ( ( ( u i^i k ) u. X ) \ ( k \ u ) )
66	60, 65	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u i^i k ) u. ( X \ k ) ) = ( ( ( u i^i k ) u. X ) \ ( k \ u ) )
67	45, 19	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( u i^i k ) C_ X )
68		ssequn1 3783	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u i^i k ) C_ X <-> ( ( u i^i k ) u. X ) = X )
69	67, 68	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( ( u i^i k ) u. X ) = X )
70	69	difeq1d 3727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( ( ( u i^i k ) u. X ) \ ( k \ u ) ) = ( X \ ( k \ u ) ) )
71	66, 70	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( ( u i^i k ) u. ( X \ k ) ) = ( X \ ( k \ u ) ) )
72	71	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( ( int ` J ) ` ( ( u i^i k ) u. ( X \ k ) ) ) = ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) )
73	59, 72	eleqtrd 2703	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> x e. ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) )
74	73, 35	elind 3798	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> x e. ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( ( int ` J ) ` k ) ) )
75		sslin 3839	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( int ` J ) ` k ) C_ k -> ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( ( int ` J ) ` k ) ) C_ ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i k ) )
76	27, 75	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( ( int ` J ) ` k ) ) C_ ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i k ) )
77	4	ntrss2 20861	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ ( X \ ( k \ u ) ) C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) C_ ( X \ ( k \ u ) ) )
78	13, 14, 77	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) C_ ( X \ ( k \ u ) ) )
79	78	difss2d 3740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) C_ X )
80		reldisj 4020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) C_ X -> ( ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( k \ u ) ) = (/) <-> ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) C_ ( X \ ( k \ u ) ) ) )
81	79, 80	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( k \ u ) ) = (/) <-> ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) C_ ( X \ ( k \ u ) ) ) )
82	78, 81	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( k \ u ) ) = (/) )
83		inssdif0 3947	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i k ) C_ u <-> ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( k \ u ) ) = (/) )
84	82, 83	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i k ) C_ u )
85	76, 84	sstrd 3613	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( ( int ` J ) ` k ) ) C_ u )
86		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( ( int ` J ) ` k ) ) -> ( x e. z <-> x e. ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( ( int ` J ) ` k ) ) ) )
87		sseq1 3626	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( ( int ` J ) ` k ) ) -> ( z C_ u <-> ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( ( int ` J ) ` k ) ) C_ u ) )
88	86, 87	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( ( int ` J ) ` k ) ) -> ( ( x e. z /\ z C_ u ) <-> ( x e. ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( ( int ` J ) ` k ) ) /\ ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( ( int ` J ) ` k ) ) C_ u ) ) )
89	88	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( ( int ` J ) ` k ) ) e. J /\ ( x e. ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( ( int ` J ) ` k ) ) /\ ( ( ( int ` J ) ` ( X \ ( k \ u ) ) ) i^i ( ( int ` J ) ` k ) ) C_ u ) ) -> E. z e. J ( x e. z /\ z C_ u ) )
90	23, 74, 85, 89	syl12anc 1324	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) /\ ( k e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) /\ ( J ↾t k ) e. Comp ) ) -> E. z e. J ( x e. z /\ z C_ u ) )
91	12, 90	rexlimddv 3035	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) /\ x e. u ) -> E. z e. J ( x e. z /\ z C_ u ) )
92	91	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. (𝑘Gen ` J ) ) -> A. x e. u E. z e. J ( x e. z /\ z C_ u ) )
93	92	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( u e. (𝑘Gen ` J ) -> A. x e. u E. z e. J ( x e. z /\ z C_ u ) ) )
94		eltop2 20779	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( u e. J <-> A. x e. u E. z e. J ( x e. z /\ z C_ u ) ) )
95	1, 94	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( u e. J <-> A. x e. u E. z e. J ( x e. z /\ z C_ u ) ) )
96	93, 95	sylibrd 249	. . 3 |- ( ph -> ( u e. (𝑘Gen ` J ) -> u e. J ) )
97	96	ssrdv 3609	. 2 |- ( ph -> (𝑘Gen ` J ) C_ J )
98		iskgen2 21351	. 2 |- ( J e. ran 𝑘Gen <-> ( J e. Top /\ (𝑘Gen ` J ) C_ J ) )
99	1, 97, 98	sylanbrc 698	1 |- ( ph -> J e. ran 𝑘Gen )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ↾_t crest 16081   Topctop 20698   intcnt 20821   neicnei 20901   Compccmp 21189  𝑘Genckgen 21336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-cmp 21190  df-kgen 21337

This theorem is referenced by:  cmpkgen  21354  llycmpkgen  21355