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Theorem kqreglem2 21545
Description: If the Kolmogorov quotient of a space is regular then so is the original space. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2 |- F = ( x e. X |-> { y e. J | x e. y } )
Assertion
Ref Expression
kqreglem2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Reg ) -> J e. Reg )
Distinct variable groups:   x, y, J   x, X, y
Allowed substitution hints:   F( x, y)
Proof of Theorem kqreglem2
Dummy variables m n w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 20718 . . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
21adantr 481 . 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Reg ) -> J e. Top )
3 simplr 792 . . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Reg ) /\ ( z e. J /\ w e. z ) ) -> (KQ ` J ) e. Reg )
4 simpll 790 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Reg ) /\ ( z e. J /\ w e. z ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
5 simprl 794 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Reg ) /\ ( z e. J /\ w e. z ) ) -> z e. J )
6 kqval.2 . . . . . . 7 |- F = ( x e. X |-> { y e. J | x e. y } )
76kqopn 21537 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. J ) -> ( F " z ) e. (KQ ` J ) )
84, 5, 7syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Reg ) /\ ( z e. J /\ w e. z ) ) -> ( F " z ) e. (KQ ` J ) )
9 simprr 796 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Reg ) /\ ( z e. J /\ w e. z ) ) -> w e. z )
10 toponss 20731 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. J ) -> z C_ X )
114, 5, 10syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Reg ) /\ ( z e. J /\ w e. z ) ) -> z C_ X )
1211, 9sseldd 3604 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Reg ) /\ ( z e. J /\ w e. z ) ) -> w e. X )
136kqfvima 21533 . . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. J /\ w e. X ) -> ( w e. z <-> ( F ` w ) e. ( F " z ) ) )
144, 5, 12, 13syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Reg ) /\ ( z e. J /\ w e. z ) ) -> ( w e. z <-> ( F ` w ) e. ( F " z ) ) )
159, 14mpbid 222 . . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Reg ) /\ ( z e. J /\ w e. z ) ) -> ( F ` w ) e. ( F " z ) )
16 regsep 21138 . . . . 5 |- ( ( (KQ ` J ) e. Reg /\ ( F " z ) e. (KQ ` J ) /\ ( F ` w ) e. ( F " z ) ) -> E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` w ) e. n /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) C_ ( F " z ) ) )
173, 8, 15, 16syl3anc 1326 . . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Reg ) /\ ( z e. J /\ w e. z ) ) -> E. n e. (KQ ` J ) ( ( F ` w ) e. n /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) C_ ( F " z ) ) )
184adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Reg ) /\ ( z e. J /\ w e. z ) ) /\ ( n e. (KQ ` J ) /\ ( ( F ` w ) e. n /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) C_ ( F " z ) ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
196kqid 21531 . . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> F e. ( J Cn (KQ ` J ) ) )
2018, 19syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Reg ) /\ ( z e. J /\ w e. z ) ) /\ ( n e. (KQ ` J ) /\ ( ( F ` w ) e. n /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) C_ ( F " z ) ) ) ) -> F e. ( J Cn (KQ ` J ) ) )
21 simprl 794 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Reg ) /\ ( z e. J /\ w e. z ) ) /\ ( n e. (KQ ` J ) /\ ( ( F ` w ) e. n /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) C_ ( F " z ) ) ) ) -> n e. (KQ ` J ) )
22 cnima 21069 . . . . . 6 |- ( ( F e. ( J Cn (KQ ` J ) ) /\ n e. (KQ ` J ) ) -> ( `' F " n ) e. J )
2320, 21, 22syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Reg ) /\ ( z e. J /\ w e. z ) ) /\ ( n e. (KQ ` J ) /\ ( ( F ` w ) e. n /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) C_ ( F " z ) ) ) ) -> ( `' F " n ) e. J )
2412adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Reg ) /\ ( z e. J /\ w e. z ) ) /\ ( n e. (KQ ` J ) /\ ( ( F ` w ) e. n /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) C_ ( F " z ) ) ) ) -> w e. X )
25 simprrl 804 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Reg ) /\ ( z e. J /\ w e. z ) ) /\ ( n e. (KQ ` J ) /\ ( ( F ` w ) e. n /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) C_ ( F " z ) ) ) ) -> ( F ` w ) e. n )
266kqffn 21528 . . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> F Fn X )
27 elpreima 6337 . . . . . . 7 |- ( F Fn X -> ( w e. ( `' F " n ) <-> ( w e. X /\ ( F ` w ) e. n ) ) )
2818, 26, 273syl 18 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Reg ) /\ ( z e. J /\ w e. z ) ) /\ ( n e. (KQ ` J ) /\ ( ( F ` w ) e. n /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) C_ ( F " z ) ) ) ) -> ( w e. ( `' F " n ) <-> ( w e. X /\ ( F ` w ) e. n ) ) )
2924, 25, 28mpbir2and 957 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Reg ) /\ ( z e. J /\ w e. z ) ) /\ ( n e. (KQ ` J ) /\ ( ( F ` w ) e. n /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) C_ ( F " z ) ) ) ) -> w e. ( `' F " n ) )
306kqtopon 21530 . . . . . . . . . 10 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> (KQ ` J ) e. (TopOn ` ran F ) )
31 topontop 20718 . . . . . . . . . 10 |- ( (KQ ` J ) e. (TopOn ` ran F ) -> (KQ ` J ) e. Top )
3218, 30, 313syl 18 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Reg ) /\ ( z e. J /\ w e. z ) ) /\ ( n e. (KQ ` J ) /\ ( ( F ` w ) e. n /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) C_ ( F " z ) ) ) ) -> (KQ ` J ) e. Top )
33 elssuni 4467 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. (KQ ` J ) -> n C_ U. (KQ ` J ) )
3433ad2antrl 764 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Reg ) /\ ( z e. J /\ w e. z ) ) /\ ( n e. (KQ ` J ) /\ ( ( F ` w ) e. n /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) C_ ( F " z ) ) ) ) -> n C_ U. (KQ ` J ) )
35 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- U. (KQ ` J ) = U. (KQ ` J )
3635clscld 20851 . . . . . . . . 9 |- ( ( (KQ ` J ) e. Top /\ n C_ U. (KQ ` J ) ) -> ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) e. ( Clsd ` (KQ ` J ) ) )
3732, 34, 36syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Reg ) /\ ( z e. J /\ w e. z ) ) /\ ( n e. (KQ ` J ) /\ ( ( F ` w ) e. n /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) C_ ( F " z ) ) ) ) -> ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) e. ( Clsd ` (KQ ` J ) ) )
38 cnclima 21072 . . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( J Cn (KQ ` J ) ) /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) e. ( Clsd ` (KQ ` J ) ) ) -> ( `' F " ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) ) e. ( Clsd ` J ) )
3920, 37, 38syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Reg ) /\ ( z e. J /\ w e. z ) ) /\ ( n e. (KQ ` J ) /\ ( ( F ` w ) e. n /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) C_ ( F " z ) ) ) ) -> ( `' F " ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) ) e. ( Clsd ` J ) )
4035sscls 20860 . . . . . . . . 9 |- ( ( (KQ ` J ) e. Top /\ n C_ U. (KQ ` J ) ) -> n C_ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) )
4132, 34, 40syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Reg ) /\ ( z e. J /\ w e. z ) ) /\ ( n e. (KQ ` J ) /\ ( ( F ` w ) e. n /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) C_ ( F " z ) ) ) ) -> n C_ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) )
42 imass2 5501 . . . . . . . 8 |- ( n C_ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) -> ( `' F " n ) C_ ( `' F " ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) ) )
4341, 42syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Reg ) /\ ( z e. J /\ w e. z ) ) /\ ( n e. (KQ ` J ) /\ ( ( F ` w ) e. n /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) C_ ( F " z ) ) ) ) -> ( `' F " n ) C_ ( `' F " ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) ) )
44 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- U. J = U. J
4544clsss2 20876 . . . . . . 7 |- ( ( ( `' F " ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) ) e. ( Clsd ` J ) /\ ( `' F " n ) C_ ( `' F " ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " n ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) ) )
4639, 43, 45syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Reg ) /\ ( z e. J /\ w e. z ) ) /\ ( n e. (KQ ` J ) /\ ( ( F ` w ) e. n /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) C_ ( F " z ) ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " n ) ) C_ ( `' F " ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) ) )
47 simprrr 805 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Reg ) /\ ( z e. J /\ w e. z ) ) /\ ( n e. (KQ ` J ) /\ ( ( F ` w ) e. n /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) C_ ( F " z ) ) ) ) -> ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) C_ ( F " z ) )
48 imass2 5501 . . . . . . . 8 |- ( ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) C_ ( F " z ) -> ( `' F " ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) ) C_ ( `' F " ( F " z ) ) )
4947, 48syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Reg ) /\ ( z e. J /\ w e. z ) ) /\ ( n e. (KQ ` J ) /\ ( ( F ` w ) e. n /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) C_ ( F " z ) ) ) ) -> ( `' F " ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) ) C_ ( `' F " ( F " z ) ) )
505adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Reg ) /\ ( z e. J /\ w e. z ) ) /\ ( n e. (KQ ` J ) /\ ( ( F ` w ) e. n /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) C_ ( F " z ) ) ) ) -> z e. J )
516kqsat 21534 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ z e. J ) -> ( `' F " ( F " z ) ) = z )
5218, 50, 51syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Reg ) /\ ( z e. J /\ w e. z ) ) /\ ( n e. (KQ ` J ) /\ ( ( F ` w ) e. n /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) C_ ( F " z ) ) ) ) -> ( `' F " ( F " z ) ) = z )
5349, 52sseqtrd 3641 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Reg ) /\ ( z e. J /\ w e. z ) ) /\ ( n e. (KQ ` J ) /\ ( ( F ` w ) e. n /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) C_ ( F " z ) ) ) ) -> ( `' F " ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) ) C_ z )
5446, 53sstrd 3613 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Reg ) /\ ( z e. J /\ w e. z ) ) /\ ( n e. (KQ ` J ) /\ ( ( F ` w ) e. n /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) C_ ( F " z ) ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " n ) ) C_ z )
55 eleq2 2690 . . . . . . 7 |- ( m = ( `' F " n ) -> ( w e. m <-> w e. ( `' F " n ) ) )
56 fveq2 6191 . . . . . . . 8 |- ( m = ( `' F " n ) -> ( ( cls ` J ) ` m ) = ( ( cls ` J ) ` ( `' F " n ) ) )
5756sseq1d 3632 . . . . . . 7 |- ( m = ( `' F " n ) -> ( ( ( cls ` J ) ` m ) C_ z <-> ( ( cls ` J ) ` ( `' F " n ) ) C_ z ) )
5855, 57anbi12d 747 . . . . . 6 |- ( m = ( `' F " n ) -> ( ( w e. m /\ ( ( cls ` J ) ` m ) C_ z ) <-> ( w e. ( `' F " n ) /\ ( ( cls ` J ) ` ( `' F " n ) ) C_ z ) ) )
5958rspcev 3309 . . . . 5 |- ( ( ( `' F " n ) e. J /\ ( w e. ( `' F " n ) /\ ( ( cls ` J ) ` ( `' F " n ) ) C_ z ) ) -> E. m e. J ( w e. m /\ ( ( cls ` J ) ` m ) C_ z ) )
6023, 29, 54, 59syl12anc 1324 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Reg ) /\ ( z e. J /\ w e. z ) ) /\ ( n e. (KQ ` J ) /\ ( ( F ` w ) e. n /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` n ) C_ ( F " z ) ) ) ) -> E. m e. J ( w e. m /\ ( ( cls ` J ) ` m ) C_ z ) )
6117, 60rexlimddv 3035 . . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Reg ) /\ ( z e. J /\ w e. z ) ) -> E. m e. J ( w e. m /\ ( ( cls ` J ) ` m ) C_ z ) )
6261ralrimivva 2971 . 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Reg ) -> A. z e. J A. w e. z E. m e. J ( w e. m /\ ( ( cls ` J ) ` m ) C_ z ) )
63 isreg 21136 . 2 |- ( J e. Reg <-> ( J e. Top /\ A. z e. J A. w e. z E. m e. J ( w e. m /\ ( ( cls ` J ) ` m ) C_ z ) ) )
642, 62, 63sylanbrc 698 1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ (KQ ` J ) e. Reg ) -> J e. Reg )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   ran crn 5115   "cima 5117   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Clsdccld 20820   clsccl 20822   Cn ccn 21028   Regcreg 21113  KQckq 21496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-qtop 16167  df-top 20699  df-topon 20716  df-cld 20823  df-cls 20825  df-cn 21031  df-reg 21120  df-kq 21497
This theorem is referenced by:  kqreg  21554
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