Theorem kqreglem1 21544

Description: A Kolmogorov quotient of a regular space is regular. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
kqval.2	|- F = ( x e. X |-> { y e. J | x e. y } )

Assertion

Ref	Expression
kqreglem1	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) -> (KQ ` J ) e. Reg )

Distinct variable groups:   x, y, J   x, X, y

Allowed substitution hints:   F( x, y)

Proof of Theorem kqreglem1

Dummy variables m w z a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kqval.2	. . . . 5 |- F = ( x e. X |-> { y e. J | x e. y } )
2	1	kqtopon 21530	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> (KQ ` J ) e. (TopOn ` ran F ) )
3	2	adantr 481	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) -> (KQ ` J ) e. (TopOn ` ran F ) )
4		topontop 20718	. . 3 |- ( (KQ ` J ) e. (TopOn ` ran F ) -> (KQ ` J ) e. Top )
5	3, 4	syl 17	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) -> (KQ ` J ) e. Top )
6		toponss 20731	. . . . . . . 8 |- ( ( (KQ ` J ) e. (TopOn ` ran F ) /\ a e. (KQ ` J ) ) -> a C_ ran F )
7	3, 6	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) -> a C_ ran F )
8	7	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) /\ b e. a ) -> b e. ran F )
9	1	kqffn 21528	. . . . . . . 8 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> F Fn X )
10	9	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) /\ b e. a ) -> F Fn X )
11		fvelrnb 6243	. . . . . . 7 |- ( F Fn X -> ( b e. ran F <-> E. z e. X ( F ` z ) = b ) )
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) /\ b e. a ) -> ( b e. ran F <-> E. z e. X ( F ` z ) = b ) )
13	8, 12	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) /\ b e. a ) -> E. z e. X ( F ` z ) = b )
14		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) /\ ( z e. X /\ ( F ` z ) e. a ) ) -> J e. Reg )
15	1	kqid 21531	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> F e. ( J Cn (KQ ` J ) ) )
16	15	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) /\ ( z e. X /\ ( F ` z ) e. a ) ) -> F e. ( J Cn (KQ ` J ) ) )
17		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) /\ ( z e. X /\ ( F ` z ) e. a ) ) -> a e. (KQ ` J ) )
18		cnima 21069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. ( J Cn (KQ ` J ) ) /\ a e. (KQ ` J ) ) -> ( `' F " a ) e. J )
19	16, 17, 18	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) /\ ( z e. X /\ ( F ` z ) e. a ) ) -> ( `' F " a ) e. J )
20	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) -> F Fn X )
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) -> F Fn X )
22		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F Fn X -> ( z e. ( `' F " a ) <-> ( z e. X /\ ( F ` z ) e. a ) ) )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) -> ( z e. ( `' F " a ) <-> ( z e. X /\ ( F ` z ) e. a ) ) )
24	23	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) /\ ( z e. X /\ ( F ` z ) e. a ) ) -> z e. ( `' F " a ) )
25		regsep 21138	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Reg /\ ( `' F " a ) e. J /\ z e. ( `' F " a ) ) -> E. w e. J ( z e. w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' F " a ) ) )
26	14, 19, 24, 25	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) /\ ( z e. X /\ ( F ` z ) e. a ) ) -> E. w e. J ( z e. w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' F " a ) ) )
27		simp-4l 806	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) /\ ( z e. X /\ ( F ` z ) e. a ) ) /\ ( w e. J /\ ( z e. w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' F " a ) ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
28		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) /\ ( z e. X /\ ( F ` z ) e. a ) ) /\ ( w e. J /\ ( z e. w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' F " a ) ) ) ) -> w e. J )
29	1	kqopn 21537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ w e. J ) -> ( F " w ) e. (KQ ` J ) )
30	27, 28, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) /\ ( z e. X /\ ( F ` z ) e. a ) ) /\ ( w e. J /\ ( z e. w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' F " a ) ) ) ) -> ( F " w ) e. (KQ ` J ) )
31		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) /\ ( z e. X /\ ( F ` z ) e. a ) ) /\ ( w e. J /\ ( z e. w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' F " a ) ) ) ) -> z e. w )
32		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) /\ ( z e. X /\ ( F ` z ) e. a ) ) /\ ( w e. J /\ ( z e. w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' F " a ) ) ) ) -> z e. X )
33	1	kqfvima 21533	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ w e. J /\ z e. X ) -> ( z e. w <-> ( F ` z ) e. ( F " w ) ) )
34	27, 28, 32, 33	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) /\ ( z e. X /\ ( F ` z ) e. a ) ) /\ ( w e. J /\ ( z e. w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' F " a ) ) ) ) -> ( z e. w <-> ( F ` z ) e. ( F " w ) ) )
35	31, 34	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) /\ ( z e. X /\ ( F ` z ) e. a ) ) /\ ( w e. J /\ ( z e. w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' F " a ) ) ) ) -> ( F ` z ) e. ( F " w ) )
36		topontop 20718	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
37	27, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) /\ ( z e. X /\ ( F ` z ) e. a ) ) /\ ( w e. J /\ ( z e. w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' F " a ) ) ) ) -> J e. Top )
38		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. J -> w C_ U. J )
39	38	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) /\ ( z e. X /\ ( F ` z ) e. a ) ) /\ ( w e. J /\ ( z e. w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' F " a ) ) ) ) -> w C_ U. J )
40		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U. J = U. J
41	40	clscld 20851	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. Top /\ w C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` w ) e. ( Clsd ` J ) )
42	37, 39, 41	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) /\ ( z e. X /\ ( F ` z ) e. a ) ) /\ ( w e. J /\ ( z e. w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' F " a ) ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` w ) e. ( Clsd ` J ) )
43	1	kqcld 21538	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( ( cls ` J ) ` w ) e. ( Clsd ` J ) ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` w ) ) e. ( Clsd ` (KQ ` J ) ) )
44	27, 42, 43	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) /\ ( z e. X /\ ( F ` z ) e. a ) ) /\ ( w e. J /\ ( z e. w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' F " a ) ) ) ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` w ) ) e. ( Clsd ` (KQ ` J ) ) )
45	40	sscls 20860	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. Top /\ w C_ U. J ) -> w C_ ( ( cls ` J ) ` w ) )
46	37, 39, 45	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) /\ ( z e. X /\ ( F ` z ) e. a ) ) /\ ( w e. J /\ ( z e. w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' F " a ) ) ) ) -> w C_ ( ( cls ` J ) ` w ) )
47		imass2 5501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w C_ ( ( cls ` J ) ` w ) -> ( F " w ) C_ ( F " ( ( cls ` J ) ` w ) ) )
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) /\ ( z e. X /\ ( F ` z ) e. a ) ) /\ ( w e. J /\ ( z e. w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' F " a ) ) ) ) -> ( F " w ) C_ ( F " ( ( cls ` J ) ` w ) ) )
49		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. (KQ ` J ) = U. (KQ ` J )
50	49	clsss2 20876	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F " ( ( cls ` J ) ` w ) ) e. ( Clsd ` (KQ ` J ) ) /\ ( F " w ) C_ ( F " ( ( cls ` J ) ` w ) ) ) -> ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` ( F " w ) ) C_ ( F " ( ( cls ` J ) ` w ) ) )
51	44, 48, 50	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) /\ ( z e. X /\ ( F ` z ) e. a ) ) /\ ( w e. J /\ ( z e. w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' F " a ) ) ) ) -> ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` ( F " w ) ) C_ ( F " ( ( cls ` J ) ` w ) ) )
52	20	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) /\ ( z e. X /\ ( F ` z ) e. a ) ) /\ ( w e. J /\ ( z e. w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' F " a ) ) ) ) -> F Fn X )
53		fnfun 5988	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F Fn X -> Fun F )
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) /\ ( z e. X /\ ( F ` z ) e. a ) ) /\ ( w e. J /\ ( z e. w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' F " a ) ) ) ) -> Fun F )
55		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) /\ ( z e. X /\ ( F ` z ) e. a ) ) /\ ( w e. J /\ ( z e. w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' F " a ) ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' F " a ) )
56		funimass2 5972	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Fun F /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' F " a ) ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` w ) ) C_ a )
57	54, 55, 56	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) /\ ( z e. X /\ ( F ` z ) e. a ) ) /\ ( w e. J /\ ( z e. w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' F " a ) ) ) ) -> ( F " ( ( cls ` J ) ` w ) ) C_ a )
58	51, 57	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) /\ ( z e. X /\ ( F ` z ) e. a ) ) /\ ( w e. J /\ ( z e. w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' F " a ) ) ) ) -> ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` ( F " w ) ) C_ a )
59		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = ( F " w ) -> ( ( F ` z ) e. m <-> ( F ` z ) e. ( F " w ) ) )
60		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = ( F " w ) -> ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` m ) = ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` ( F " w ) ) )
61	60	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = ( F " w ) -> ( ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` m ) C_ a <-> ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` ( F " w ) ) C_ a ) )
62	59, 61	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( F " w ) -> ( ( ( F ` z ) e. m /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` m ) C_ a ) <-> ( ( F ` z ) e. ( F " w ) /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` ( F " w ) ) C_ a ) ) )
63	62	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F " w ) e. (KQ ` J ) /\ ( ( F ` z ) e. ( F " w ) /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` ( F " w ) ) C_ a ) ) -> E. m e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. m /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` m ) C_ a ) )
64	30, 35, 58, 63	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) /\ ( z e. X /\ ( F ` z ) e. a ) ) /\ ( w e. J /\ ( z e. w /\ ( ( cls ` J ) ` w ) C_ ( `' F " a ) ) ) ) -> E. m e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. m /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` m ) C_ a ) )
65	26, 64	rexlimddv 3035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) /\ ( z e. X /\ ( F ` z ) e. a ) ) -> E. m e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. m /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` m ) C_ a ) )
66	65	expr 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) /\ z e. X ) -> ( ( F ` z ) e. a -> E. m e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. m /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` m ) C_ a ) ) )
67		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` z ) = b -> ( ( F ` z ) e. a <-> b e. a ) )
68		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` z ) = b -> ( ( F ` z ) e. m <-> b e. m ) )
69	68	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` z ) = b -> ( ( ( F ` z ) e. m /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` m ) C_ a ) <-> ( b e. m /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` m ) C_ a ) ) )
70	69	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` z ) = b -> ( E. m e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. m /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` m ) C_ a ) <-> E. m e. (KQ ` J ) ( b e. m /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` m ) C_ a ) ) )
71	67, 70	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` z ) = b -> ( ( ( F ` z ) e. a -> E. m e. (KQ ` J ) ( ( F ` z ) e. m /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` m ) C_ a ) ) <-> ( b e. a -> E. m e. (KQ ` J ) ( b e. m /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` m ) C_ a ) ) ) )
72	66, 71	syl5ibcom 235	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) /\ z e. X ) -> ( ( F ` z ) = b -> ( b e. a -> E. m e. (KQ ` J ) ( b e. m /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` m ) C_ a ) ) ) )
73	72	com23 86	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) /\ z e. X ) -> ( b e. a -> ( ( F ` z ) = b -> E. m e. (KQ ` J ) ( b e. m /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` m ) C_ a ) ) ) )
74	73	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) /\ z e. X ) /\ b e. a ) -> ( ( F ` z ) = b -> E. m e. (KQ ` J ) ( b e. m /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` m ) C_ a ) ) )
75	74	an32s 846	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) /\ b e. a ) /\ z e. X ) -> ( ( F ` z ) = b -> E. m e. (KQ ` J ) ( b e. m /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` m ) C_ a ) ) )
76	75	rexlimdva 3031	. . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) /\ b e. a ) -> ( E. z e. X ( F ` z ) = b -> E. m e. (KQ ` J ) ( b e. m /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` m ) C_ a ) ) )
77	13, 76	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ a e. (KQ ` J ) ) /\ b e. a ) -> E. m e. (KQ ` J ) ( b e. m /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` m ) C_ a ) )
78	77	anasss 679	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) /\ ( a e. (KQ ` J ) /\ b e. a ) ) -> E. m e. (KQ ` J ) ( b e. m /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` m ) C_ a ) )
79	78	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) -> A. a e. (KQ ` J ) A. b e. a E. m e. (KQ ` J ) ( b e. m /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` m ) C_ a ) )
80		isreg 21136	. 2 |- ( (KQ ` J ) e. Reg <-> ( (KQ ` J ) e. Top /\ A. a e. (KQ ` J ) A. b e. a E. m e. (KQ ` J ) ( b e. m /\ ( ( cls ` (KQ ` J ) ) ` m ) C_ a ) ) )
81	5, 79, 80	sylanbrc 698	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ J e. Reg ) -> (KQ ` J ) e. Reg )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   ran crn 5115   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Clsdccld 20820   clsccl 20822   Cn ccn 21028   Regcreg 21113  KQckq 21496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-qtop 16167  df-top 20699  df-topon 20716  df-cld 20823  df-cls 20825  df-cn 21031  df-reg 21120  df-kq 21497

This theorem is referenced by:  kqreg  21554