Theorem lcm0val 15307

Description: The value, by convention, of the lcm operator when either operand is 0. (Use lcmcom 15306 for a left-hand 0.) (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcm0val	|- ( M e. ZZ -> ( M lcm 0 ) = 0 )

Proof of Theorem lcm0val

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 11388	. 2 |- 0 e. ZZ
2		lcmval 15305	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( M lcm 0 ) = if ( ( M = 0 \/ 0 = 0 ) , 0 , inf ( { n e. NN | ( M || n /\ 0 || n ) } , RR , < ) ) )
3		eqid 2622	. . . . 5 |- 0 = 0
4	3	olci 406	. . . 4 |- ( M = 0 \/ 0 = 0 )
5	4	iftruei 4093	. . 3 |- if ( ( M = 0 \/ 0 = 0 ) , 0 , inf ( { n e. NN | ( M || n /\ 0 || n ) } , RR , < ) ) = 0
6	2, 5	syl6eq 2672	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( M lcm 0 ) = 0 )
7	1, 6	mpan2 707	1 |- ( M e. ZZ -> ( M lcm 0 ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   ifcif 4086   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  infcinf 8347   RRcr 9935   0cc0 9936   < clt 10074   NNcn 11020   ZZcz 11377   || cdvds 14983   lcm clcm 15301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-neg 10269  df-z 11378  df-lcm 15303

This theorem is referenced by:  dvdslcm  15311  lcmeq0  15313  lcmcl  15314  lcmneg  15316  lcmgcd  15320  lcmdvds  15321  lcmid  15322  lcmftp  15349  lcmfunsnlem2  15353