Theorem lcmfunsnlem2 15353

Description: Lemma for lcmfunsn 15357 and lcmfunsnlem 15354 (Induction step part 2). (Contributed by AV, 26-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmfunsnlem2	|- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> A. n e. ZZ (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) )

Distinct variable groups:   y, m, z   k, n, y, z, m

Proof of Theorem lcmfunsnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . 3 |- F/ n ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin )
2		nfv 1843	. . . 4 |- F/ n A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k )
3		nfra1 2941	. . . 4 |- F/ n A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n )
4	2, 3	nfan 1828	. . 3 |- F/ n ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) )
5	1, 4	nfan 1828	. 2 |- F/ n ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) )
6		0z 11388	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
7		eqoreldif 4225	. . . . 5 |- ( 0 e. ZZ -> ( n e. ZZ <-> ( n = 0 \/ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4 |- ( n e. ZZ <-> ( n = 0 \/ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) )
9		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> y C_ ZZ )
10		snssi 4339	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ZZ -> { z } C_ ZZ )
11	10	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> { z } C_ ZZ )
12	9, 11	unssd 3789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> ( y u. { z } ) C_ ZZ )
13		snssi 4339	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 e. ZZ -> { 0 } C_ ZZ )
14	6, 13	mp1i 13	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> { 0 } C_ ZZ )
15	12, 14	unssd 3789	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> ( ( y u. { z } ) u. { 0 } ) C_ ZZ )
16		c0ex 10034	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. _V
17	16	snid 4208	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. { 0 }
18	17	olci 406	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. ( y u. { z } ) \/ 0 e. { 0 } )
19		elun 3753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. ( ( y u. { z } ) u. { 0 } ) <-> ( 0 e. ( y u. { z } ) \/ 0 e. { 0 } ) )
20	18, 19	mpbir 221	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. ( ( y u. { z } ) u. { 0 } )
21		lcmf0val 15335	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y u. { z } ) u. { 0 } ) C_ ZZ /\ 0 e. ( ( y u. { z } ) u. { 0 } ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { 0 } ) ) = 0 )
22	15, 20, 21	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { 0 } ) ) = 0 )
23	22	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n = 0 ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { 0 } ) ) = 0 )
24		sneq 4187	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 0 -> { n } = { 0 } )
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n = 0 ) -> { n } = { 0 } )
26	25	uneq2d 3767	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n = 0 ) -> ( ( y u. { z } ) u. { n } ) = ( ( y u. { z } ) u. { 0 } ) )
27	26	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n = 0 ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { 0 } ) ) )
28		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( n = 0 -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm 0 ) )
29		snfi 8038	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { z } e. Fin
30		unfi 8227	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. Fin /\ { z } e. Fin ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
31	29, 30	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. Fin -> ( y u. { z } ) e. Fin )
32	31	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
33		lcmfcl 15341	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( y u. { z } ) e. Fin ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. NN0 )
34	12, 32, 33	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. NN0 )
35	34	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. ZZ )
36		lcm0val 15307	. . . . . . . . . . 11 |- ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. ZZ -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm 0 ) = 0 )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm 0 ) = 0 )
38	28, 37	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n = 0 ) -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) = 0 )
39	23, 27, 38	3eqtr4d 2666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n = 0 ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) )
40	39	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> ( n = 0 -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) )
41	40	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> ( n = 0 -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) )
42	41	com12 32	. . . . 5 |- ( n = 0 -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) )
43	9	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 0 e. y /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> y C_ ZZ )
44	11	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 0 e. y /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> { z } C_ ZZ )
45	43, 44	unssd 3789	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 0 e. y /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> ( y u. { z } ) C_ ZZ )
46		elun1 3780	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 e. y -> 0 e. ( y u. { z } ) )
47	46	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 0 e. y /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> 0 e. ( y u. { z } ) )
48		lcmf0val 15335	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ 0 e. ( y u. { z } ) ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) = 0 )
49	45, 47, 48	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 0 e. y /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) = 0 )
50	49	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 0 e. y /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> ( n lcm (lcm ` ( y u. { z } ) ) ) = ( n lcm 0 ) )
51		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( ZZ \ { 0 } ) -> n e. ZZ )
52		lcm0val 15307	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ZZ -> ( n lcm 0 ) = 0 )
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( ZZ \ { 0 } ) -> ( n lcm 0 ) = 0 )
54	53	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 0 e. y /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> ( n lcm 0 ) = 0 )
55	50, 54	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 0 e. y /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> ( n lcm (lcm ` ( y u. { z } ) ) ) = 0 )
56		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> y e. Fin )
57	56, 29, 30	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
58	12, 57, 33	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. NN0 )
59	58	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. ZZ )
60	51	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. y /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) -> n e. ZZ )
61		lcmcom 15306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) = ( n lcm (lcm ` ( y u. { z } ) ) ) )
62	59, 60, 61	syl2anr 495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 0 e. y /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) = ( n lcm (lcm ` ( y u. { z } ) ) ) )
63	12	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 0 e. y /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> ( y u. { z } ) C_ ZZ )
64	51	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( ZZ \ { 0 } ) -> { n } C_ ZZ )
65	64	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 0 e. y /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> { n } C_ ZZ )
66	63, 65	unssd 3789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 0 e. y /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> ( ( y u. { z } ) u. { n } ) C_ ZZ )
67	46	orcd 407	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 e. y -> ( 0 e. ( y u. { z } ) \/ 0 e. { n } ) )
68		elun 3753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) <-> ( 0 e. ( y u. { z } ) \/ 0 e. { n } ) )
69	67, 68	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 e. y -> 0 e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) )
70	69	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 0 e. y /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> 0 e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) )
71		lcmf0val 15335	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y u. { z } ) u. { n } ) C_ ZZ /\ 0 e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = 0 )
72	66, 70, 71	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 0 e. y /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = 0 )
73	55, 62, 72	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 0 e. y /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) )
74	73	a1d 25	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0 e. y /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> ( ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) )
75	74	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. y /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) -> ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> ( ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) )
76	75	impd 447	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. y /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) )
77	76	ex 450	. . . . . 6 |- ( 0 e. y -> ( n e. ( ZZ \ { 0 } ) -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) )
78		elsng 4191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 e. { z } <-> 0 = z ) )
79		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 0 = z <-> z = 0 )
80	78, 79	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 e. { z } <-> z = 0 ) )
81	6, 80	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 0 e. { z } <-> z = 0 )
82	81	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = 0 -> 0 e. { z } )
83	82	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> 0 e. { z } )
84	83	olcd 408	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> ( 0 e. y \/ 0 e. { z } ) )
85		elun 3753	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 e. ( y u. { z } ) <-> ( 0 e. y \/ 0 e. { z } ) )
86	84, 85	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> 0 e. ( y u. { z } ) )
87	12, 86, 48	syl2an2 875	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) = 0 )
88	87	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> ( n lcm (lcm ` ( y u. { z } ) ) ) = ( n lcm 0 ) )
89	51	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> n e. ZZ )
90	89, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> ( n lcm 0 ) = 0 )
91	88, 90	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> ( n lcm (lcm ` ( y u. { z } ) ) ) = 0 )
92	59, 89, 61	syl2an2 875	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) = ( n lcm (lcm ` ( y u. { z } ) ) ) )
93	12	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> ( y u. { z } ) C_ ZZ )
94	64	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> { n } C_ ZZ )
95	93, 94	unssd 3789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> ( ( y u. { z } ) u. { n } ) C_ ZZ )
96		sneq 4187	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = 0 -> { z } = { 0 } )
97	17, 96	syl5eleqr 2708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = 0 -> 0 e. { z } )
98	97	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> 0 e. { z } )
99	98	olcd 408	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> ( 0 e. y \/ 0 e. { z } ) )
100	99, 85	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> 0 e. ( y u. { z } ) )
101	100	orcd 407	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> ( 0 e. ( y u. { z } ) \/ 0 e. { n } ) )
102	101, 68	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> 0 e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) )
103	95, 102, 71	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = 0 )
104	91, 92, 103	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) )
105	104	a1d 25	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) /\ ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) ) -> ( ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) )
106	105	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) -> ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> ( ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) )
107	106	impd 447	. . . . . . 7 |- ( ( z = 0 /\ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) )
108	107	ex 450	. . . . . 6 |- ( z = 0 -> ( n e. ( ZZ \ { 0 } ) -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) )
109		ioran 511	. . . . . . . 8 |- ( -. ( 0 e. y \/ z = 0 ) <-> ( -. 0 e. y /\ -. z = 0 ) )
110		df-nel 2898	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e/ y <-> -. 0 e. y )
111		df-ne 2795	. . . . . . . . 9 |- ( z =/= 0 <-> -. z = 0 )
112	110, 111	anbi12i 733	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 ) <-> ( -. 0 e. y /\ -. z = 0 ) )
113	109, 112	bitr4i 267	. . . . . . 7 |- ( -. ( 0 e. y \/ z = 0 ) <-> ( 0 e/ y /\ z =/= 0 ) )
114		eldif 3584	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( ZZ \ { 0 } ) <-> ( n e. ZZ /\ -. n e. { 0 } ) )
115		velsn 4193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. { 0 } <-> n = 0 )
116	115	bicomi 214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 0 <-> n e. { 0 } )
117	116	necon3abii 2840	. . . . . . . . . . 11 |- ( n =/= 0 <-> -. n e. { 0 } )
118		lcmfunsnlem2lem2 15352	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( n e. ZZ /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) )
119	118	exp520 1288	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e/ y -> ( z =/= 0 -> ( n =/= 0 -> ( n e. ZZ -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) ) ) )
120	119	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 ) -> ( n =/= 0 -> ( n e. ZZ -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) ) )
121	117, 120	syl5bir 233	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 ) -> ( -. n e. { 0 } -> ( n e. ZZ -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) ) )
122	121	com23 86	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 ) -> ( n e. ZZ -> ( -. n e. { 0 } -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) ) )
123	122	impd 447	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 ) -> ( ( n e. ZZ /\ -. n e. { 0 } ) -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) )
124	114, 123	syl5bi 232	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 ) -> ( n e. ( ZZ \ { 0 } ) -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) )
125	113, 124	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( -. ( 0 e. y \/ z = 0 ) -> ( n e. ( ZZ \ { 0 } ) -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) )
126	77, 108, 125	ecase3 982	. . . . 5 |- ( n e. ( ZZ \ { 0 } ) -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) )
127	42, 126	jaoi 394	. . . 4 |- ( ( n = 0 \/ n e. ( ZZ \ { 0 } ) ) -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) )
128	8, 127	sylbi 207	. . 3 |- ( n e. ZZ -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) )
129	128	com12 32	. 2 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> ( n e. ZZ -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) )
130	5, 129	ralrimi 2957	1 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> A. n e. ZZ (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   e/ wnel 2897   A.wral 2912   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   0cc0 9936   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   || cdvds 14983   lcm clcm 15301  lcmclcmf 15302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-lcm 15303  df-lcmf 15304

This theorem is referenced by:  lcmfunsnlem  15354