Theorem lesub3d 10645

Description: The result of subtracting a number less than or equal to an intermediate number from a number greater than or equal to a third number increased by the intermediate number is greater than or equal to the third number. (Contributed by AV, 13-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltnegd.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltadd1d.3	|- ( ph -> C e. RR )
lesub3d.x	|- ( ph -> X e. RR )
lesub3d.g	|- ( ph -> ( X + C ) <_ A )
lesub3d.l	|- ( ph -> B <_ X )

Assertion

Ref	Expression
lesub3d	|- ( ph -> C <_ ( A - B ) )

Proof of Theorem lesub3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltadd1d.3	. . . 4 |- ( ph -> C e. RR )
2		ltnegd.2	. . . 4 |- ( ph -> B e. RR )
3	1, 2	readdcld 10069	. . 3 |- ( ph -> ( C + B ) e. RR )
4		lesub3d.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. RR )
5	4, 1	readdcld 10069	. . 3 |- ( ph -> ( X + C ) e. RR )
6		leidd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
7	1	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ph -> C e. CC )
8	2	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ph -> B e. CC )
9	7, 8	addcomd 10238	. . . 4 |- ( ph -> ( C + B ) = ( B + C ) )
10		lesub3d.l	. . . . 5 |- ( ph -> B <_ X )
11	2, 4, 1, 10	leadd1dd 10641	. . . 4 |- ( ph -> ( B + C ) <_ ( X + C ) )
12	9, 11	eqbrtrd 4675	. . 3 |- ( ph -> ( C + B ) <_ ( X + C ) )
13		lesub3d.g	. . 3 |- ( ph -> ( X + C ) <_ A )
14	3, 5, 6, 12, 13	letrd 10194	. 2 |- ( ph -> ( C + B ) <_ A )
15		leaddsub 10504	. . 3 |- ( ( C e. RR /\ B e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( C + B ) <_ A <-> C <_ ( A - B ) ) )
16	1, 2, 6, 15	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> ( ( C + B ) <_ A <-> C <_ ( A - B ) ) )
17	14, 16	mpbid 222	1 |- ( ph -> C <_ ( A - B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   e. wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   + caddc 9939   <_ cle 10075   - cmin 10266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  prmgaplem8  15762