Theorem prmgaplem8 15762

Description: Lemma for prmgap 15763. (Contributed by AV, 13-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmgaplem7.n	|- ( ph -> N e. NN )
prmgaplem7.f	|- ( ph -> F e. ( NN ^m NN ) )
prmgaplem7.i	|- ( ph -> A. i e. ( 2 ... N ) 1 < ( ( ( F ` N ) + i ) gcd i ) )

Assertion

Ref	Expression
prmgaplem8	|- ( ph -> E. p e. Prime E. q e. Prime ( N <_ ( q - p ) /\ A. z e. ( ( p + 1 )..^ q ) z e/ Prime ) )

Distinct variable groups:   F, p, q, z   i, F   N, p, q, z   i, N   ph, p, q, z

Allowed substitution hint:   ph( i)

Proof of Theorem prmgaplem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 15388	. . . . . . . . 9 |- ( q e. Prime -> q e. NN )
2	1	nnred 11035	. . . . . . . 8 |- ( q e. Prime -> q e. RR )
3	2	ad2antll 765	. . . . . . 7 |- ( ( ( p < ( ( F ` N ) + 2 ) /\ ( ( F ` N ) + N ) < q ) /\ ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ q e. Prime ) ) -> q e. RR )
4		prmnn 15388	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. Prime -> p e. NN )
5	4	nnred 11035	. . . . . . . . 9 |- ( p e. Prime -> p e. RR )
6	5	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ q e. Prime ) -> p e. RR )
7	6	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( p < ( ( F ` N ) + 2 ) /\ ( ( F ` N ) + N ) < q ) /\ ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ q e. Prime ) ) -> p e. RR )
8		prmgaplem7.n	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. NN )
9	8	nnred 11035	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. RR )
10	9	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ q e. Prime ) -> N e. RR )
11	10	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( p < ( ( F ` N ) + 2 ) /\ ( ( F ` N ) + N ) < q ) /\ ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ q e. Prime ) ) -> N e. RR )
12		prmgaplem7.f	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F e. ( NN ^m NN ) )
13		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. ( NN ^m NN ) -> F : NN --> NN )
14		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : NN --> NN /\ N e. NN ) -> ( F ` N ) e. NN )
15	14	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : NN --> NN -> ( N e. NN -> ( F ` N ) e. NN ) )
16	12, 13, 15	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N e. NN -> ( F ` N ) e. NN ) )
17	8, 16	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F ` N ) e. NN )
18	17	nnred 11035	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ` N ) e. RR )
19	18	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ q e. Prime ) -> ( F ` N ) e. RR )
20	19	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( p < ( ( F ` N ) + 2 ) /\ ( ( F ` N ) + N ) < q ) /\ ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ q e. Prime ) ) -> ( F ` N ) e. RR )
21		1red 10055	. . . . . . . 8 |- ( ( ( p < ( ( F ` N ) + 2 ) /\ ( ( F ` N ) + N ) < q ) /\ ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ q e. Prime ) ) -> 1 e. RR )
22	20, 21	readdcld 10069	. . . . . . 7 |- ( ( ( p < ( ( F ` N ) + 2 ) /\ ( ( F ` N ) + N ) < q ) /\ ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ q e. Prime ) ) -> ( ( F ` N ) + 1 ) e. RR )
23	17	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F ` N ) e. CC )
24		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 e. CC )
25	8	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. CC )
26	23, 24, 25	add32d 10263	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) + 1 ) + N ) = ( ( ( F ` N ) + N ) + 1 ) )
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( ( F ` N ) + 1 ) + N ) = ( ( ( F ` N ) + N ) + 1 ) )
28	27	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ q e. Prime ) /\ ( ( F ` N ) + N ) < q ) -> ( ( ( F ` N ) + 1 ) + N ) = ( ( ( F ` N ) + N ) + 1 ) )
29	17	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F ` N ) e. ZZ )
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( F ` N ) e. ZZ )
31	8	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> N e. ZZ )
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> N e. ZZ )
33	30, 32	zaddcld 11486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( F ` N ) + N ) e. ZZ )
34		prmz 15389	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. Prime -> q e. ZZ )
35		zltp1le 11427	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F ` N ) + N ) e. ZZ /\ q e. ZZ ) -> ( ( ( F ` N ) + N ) < q <-> ( ( ( F ` N ) + N ) + 1 ) <_ q ) )
36	33, 34, 35	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ q e. Prime ) -> ( ( ( F ` N ) + N ) < q <-> ( ( ( F ` N ) + N ) + 1 ) <_ q ) )
37	36	biimpa 501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ q e. Prime ) /\ ( ( F ` N ) + N ) < q ) -> ( ( ( F ` N ) + N ) + 1 ) <_ q )
38	28, 37	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ q e. Prime ) /\ ( ( F ` N ) + N ) < q ) -> ( ( ( F ` N ) + 1 ) + N ) <_ q )
39	38	expcom 451	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` N ) + N ) < q -> ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ q e. Prime ) -> ( ( ( F ` N ) + 1 ) + N ) <_ q ) )
40	39	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( p < ( ( F ` N ) + 2 ) /\ ( ( F ` N ) + N ) < q ) -> ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ q e. Prime ) -> ( ( ( F ` N ) + 1 ) + N ) <_ q ) )
41	40	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( p < ( ( F ` N ) + 2 ) /\ ( ( F ` N ) + N ) < q ) /\ ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ q e. Prime ) ) -> ( ( ( F ` N ) + 1 ) + N ) <_ q )
42		df-2 11079	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 = ( 1 + 1 )
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 2 = ( 1 + 1 ) )
44	43	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( F ` N ) + 2 ) = ( ( F ` N ) + ( 1 + 1 ) ) )
45	23, 24, 24	addassd 10062	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) + 1 ) + 1 ) = ( ( F ` N ) + ( 1 + 1 ) ) )
46	44, 45	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( F ` N ) + 2 ) = ( ( ( F ` N ) + 1 ) + 1 ) )
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( F ` N ) + 2 ) = ( ( ( F ` N ) + 1 ) + 1 ) )
48	47	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( p < ( ( F ` N ) + 2 ) <-> p < ( ( ( F ` N ) + 1 ) + 1 ) ) )
49		prmz 15389	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p e. Prime -> p e. ZZ )
50	29	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( F ` N ) + 1 ) e. ZZ )
51		zleltp1 11428	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p e. ZZ /\ ( ( F ` N ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( p <_ ( ( F ` N ) + 1 ) <-> p < ( ( ( F ` N ) + 1 ) + 1 ) ) )
52	49, 50, 51	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( p <_ ( ( F ` N ) + 1 ) <-> p < ( ( ( F ` N ) + 1 ) + 1 ) ) )
53	52	biimprd 238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( p < ( ( ( F ` N ) + 1 ) + 1 ) -> p <_ ( ( F ` N ) + 1 ) ) )
54	48, 53	sylbid 230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( p < ( ( F ` N ) + 2 ) -> p <_ ( ( F ` N ) + 1 ) ) )
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ q e. Prime ) -> ( p < ( ( F ` N ) + 2 ) -> p <_ ( ( F ` N ) + 1 ) ) )
56	55	com12 32	. . . . . . . . 9 |- ( p < ( ( F ` N ) + 2 ) -> ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ q e. Prime ) -> p <_ ( ( F ` N ) + 1 ) ) )
57	56	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( p < ( ( F ` N ) + 2 ) /\ ( ( F ` N ) + N ) < q ) -> ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ q e. Prime ) -> p <_ ( ( F ` N ) + 1 ) ) )
58	57	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( p < ( ( F ` N ) + 2 ) /\ ( ( F ` N ) + N ) < q ) /\ ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ q e. Prime ) ) -> p <_ ( ( F ` N ) + 1 ) )
59	3, 7, 11, 22, 41, 58	lesub3d 10645	. . . . . 6 |- ( ( ( p < ( ( F ` N ) + 2 ) /\ ( ( F ` N ) + N ) < q ) /\ ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ q e. Prime ) ) -> N <_ ( q - p ) )
60	59	ex 450	. . . . 5 |- ( ( p < ( ( F ` N ) + 2 ) /\ ( ( F ` N ) + N ) < q ) -> ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ q e. Prime ) -> N <_ ( q - p ) ) )
61	60	3adant3 1081	. . . 4 |- ( ( p < ( ( F ` N ) + 2 ) /\ ( ( F ` N ) + N ) < q /\ A. z e. ( ( p + 1 )..^ q ) z e/ Prime ) -> ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ q e. Prime ) -> N <_ ( q - p ) ) )
62	61	impcom 446	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ q e. Prime ) /\ ( p < ( ( F ` N ) + 2 ) /\ ( ( F ` N ) + N ) < q /\ A. z e. ( ( p + 1 )..^ q ) z e/ Prime ) ) -> N <_ ( q - p ) )
63		simpr3 1069	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ q e. Prime ) /\ ( p < ( ( F ` N ) + 2 ) /\ ( ( F ` N ) + N ) < q /\ A. z e. ( ( p + 1 )..^ q ) z e/ Prime ) ) -> A. z e. ( ( p + 1 )..^ q ) z e/ Prime )
64	62, 63	jca 554	. 2 |- ( ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ q e. Prime ) /\ ( p < ( ( F ` N ) + 2 ) /\ ( ( F ` N ) + N ) < q /\ A. z e. ( ( p + 1 )..^ q ) z e/ Prime ) ) -> ( N <_ ( q - p ) /\ A. z e. ( ( p + 1 )..^ q ) z e/ Prime ) )
65		prmgaplem7.i	. . 3 |- ( ph -> A. i e. ( 2 ... N ) 1 < ( ( ( F ` N ) + i ) gcd i ) )
66	8, 12, 65	prmgaplem7 15761	. 2 |- ( ph -> E. p e. Prime E. q e. Prime ( p < ( ( F ` N ) + 2 ) /\ ( ( F ` N ) + N ) < q /\ A. z e. ( ( p + 1 )..^ q ) z e/ Prime ) )
67	64, 66	reximddv2 3020	1 |- ( ph -> E. p e. Prime E. q e. Prime ( N <_ ( q - p ) /\ A. z e. ( ( p + 1 )..^ q ) z e/ Prime ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   e/ wnel 2897   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   ZZcz 11377   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   gcd cgcd 15216   Primecprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386

This theorem is referenced by:  prmgap  15763  prmgaplcm  15764  prmgapprmo  15766