Theorem le2addd 10646

Description: Adding both side of two inequalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltnegd.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltadd1d.3	|- ( ph -> C e. RR )
lt2addd.4	|- ( ph -> D e. RR )
le2addd.5	|- ( ph -> A <_ C )
le2addd.6	|- ( ph -> B <_ D )

Assertion

Ref	Expression
le2addd	|- ( ph -> ( A + B ) <_ ( C + D ) )

Proof of Theorem le2addd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		le2addd.5	. 2 |- ( ph -> A <_ C )
2		le2addd.6	. 2 |- ( ph -> B <_ D )
3		leidd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltnegd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		ltadd1d.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		lt2addd.4	. . 3 |- ( ph -> D e. RR )
7		le2add 10510	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) -> ( ( A <_ C /\ B <_ D ) -> ( A + B ) <_ ( C + D ) ) )
8	3, 4, 5, 6, 7	syl22anc 1327	. 2 |- ( ph -> ( ( A <_ C /\ B <_ D ) -> ( A + B ) <_ ( C + D ) ) )
9	1, 2, 8	mp2and 715	1 |- ( ph -> ( A + B ) <_ ( C + D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   + caddc 9939   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080

This theorem is referenced by:  supadd  10991  o1add  14344  o1sub  14346  o1fsum  14545  sadcaddlem  15179  4sqlem11  15659  4sqlem12  15660  4sqlem15  15663  4sqlem16  15664  prdsxmetlem  22173  nrmmetd  22379  nmotri  22543  pcoass  22824  minveclem2  23197  ovollb2lem  23256  ovolunlem1a  23264  ovoliunlem1  23270  nulmbl2  23304  ioombl1lem4  23329  uniioombllem5  23355  itg2splitlem  23515  itg2addlem  23525  ibladdlem  23586  ulmbdd  24152  cxpaddle  24493  ang180lem2  24540  fsumharmonic  24738  lgamgulmlem3  24757  lgamgulmlem5  24759  ppiub  24929  lgsdirprm  25056  lgsqrlem2  25072  lgseisenlem2  25101  2sqlem8  25151  vmadivsumb  25172  dchrisumlem2  25179  dchrisum0lem1b  25204  mulog2sumlem1  25223  mulog2sumlem2  25224  selbergb  25238  selberg2b  25241  chpdifbndlem1  25242  logdivbnd  25245  selberg3lem2  25247  pntrlog2bnd  25273  pntpbnd2  25276  pntibndlem2  25280  pntlemr  25291  ostth2lem2  25323  ostth3  25327  smcnlem  27552  minvecolem2  27731  stadd3i  29107  le2halvesd  29520  dnibndlem9  32476  ismblfin  33450  itg2addnc  33464  ibladdnclem  33466  ftc1anclem7  33491  pell1qrgaplem  37437  pellqrex  37443  pellfundgt1  37447  areaquad  37802  imo72b2lem0  38465  int-ineq1stprincd  38495  dvdivbd  40138  fourierdlem30  40354  sge0xaddlem2  40651  carageniuncllem2  40736