lhp2lt - Mathbox for Norm Megill

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Theorem lhp2lt 35287

Description: The join of two atoms under a co-atom is strictly less than it. (Contributed by NM, 8-Jul-2013.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lhp2lt.l
lhp2lt.s
lhp2lt.j	$.\/$
lhp2lt.a
lhp2lt.h

**Assertion**
Ref	Expression
lhp2lt	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$

Proof of Theorem lhp2lt Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2r 1088	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
2		simp3r 1090	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
3		simp1l 1085	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
4		hllat 34650	. . . . 5
5	3, 4	syl 17	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6		simp2l 1087	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7		eqid 2622	. . . . . 6
8		lhp2lt.a	. . . . . 6
9	7, 8	atbase 34576	. . . . 5
10	6, 9	syl 17	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
11		simp3l 1089	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12	7, 8	atbase 34576	. . . . 5
13	11, 12	syl 17	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14		simp1r 1086	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15		lhp2lt.h	. . . . . 6
16	7, 15	lhpbase 35284	. . . . 5
17	14, 16	syl 17	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18		lhp2lt.l	. . . . 5
19		lhp2lt.j	. . . . 5 $.\/$
20	7, 18, 19	latjle12 17062	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
21	5, 10, 13, 17, 20	syl13anc 1328	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
22	1, 2, 21	mpbi2and 956	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
23	19, 18, 8	3dim2 34754	. . . 4 $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
24	3, 6, 11, 23	syl3anc 1326	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
25		simp11l 1172	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
26		hlop 34649	. . . . . . . 8
27	25, 26	syl 17	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
28	25, 4	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
29		simp12l 1174	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
30		simp13l 1176	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
31	7, 19, 8	hlatjcl 34653	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $.\/$
32	25, 29, 30, 31	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
33		simp2l 1087	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
34	7, 8	atbase 34576	. . . . . . . . . 10
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
36	7, 19	latjcl 17051	. . . . . . . . 9 $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
37	28, 32, 35, 36	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
38		simp2r 1088	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
39	7, 8	atbase 34576	. . . . . . . . 9
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
41	7, 19	latjcl 17051	. . . . . . . 8 $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
42	28, 37, 40, 41	syl3anc 1326	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
43		eqid 2622	. . . . . . . 8
44		eqid 2622	. . . . . . . 8
45	7, 43, 44	ncvr1 34559	. . . . . . 7 $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
46	27, 42, 45	syl2anc 693	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
47		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12
48		simpl1l 1112	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
49	48, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
50		simpl2l 1114	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
51		simpl3l 1116	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
52	48, 50, 51, 31	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
53		simpr1l 1118	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
54	53, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
55	49, 52, 54, 36	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
56	48, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
57		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15
58	7, 47, 57	op01dm 34470	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
59	58	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13
60	56, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
61	7, 47, 18, 43, 48, 55, 60	ple1 17044	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
62		hlpos 34652	. . . . . . . . . . . . 13
63	48, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
64	7, 43	op1cl 34472	. . . . . . . . . . . . 13
65	56, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
66		simpr2l 1120	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
67	7, 18, 19, 44, 8	cvr1 34696	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
68	48, 52, 53, 67	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
69	66, 68	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
70		simpr3 1069	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
71		simpl1r 1113	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
72	43, 44, 15	lhp1cvr 35285	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
73	48, 71, 72	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
74	70, 73	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
75	7, 18, 44	cvrcmp 34570	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
76	63, 55, 65, 52, 69, 74, 75	syl132anc 1344	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
77	61, 76	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
78		simpr2r 1121	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
79		simpr1r 1119	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
80	7, 18, 19, 44, 8	cvr1 34696	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
81	48, 55, 79, 80	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
82	78, 81	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
83	77, 82	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
84	83	3exp2 1285	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
85	84	3imp 1256	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
86	85	necon3bd 2808	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
87	46, 86	mpd 15	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
88	87	3exp 1264	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
89	88	rexlimdvv 3037	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $.\/$
90	24, 89	mpd 15	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
91	3, 6, 11, 31	syl3anc 1326	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
92		lhp2lt.s	. . . 4
93	18, 92	pltval 16960	. . 3 $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
94	3, 91, 14, 93	syl3anc 1326	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
95	22, 90, 94	mpbir2and 957	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wrex 2913 class class class wbr 4653

cdm 5114

cfv 5888 (class class class)co 6650

cbs 15857

cple 15948

cpo 16940

cplt 16941

club 16942

cglb 16943

cjn 16944

cp1 17038

clat 17045

cops 34459

ccvr 34549

catm 34550

chlt 34637

clh 35270

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-id 5024 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-preset 16928 df-poset 16946 df-plt 16958 df-lub 16974 df-glb 16975 df-join 16976 df-meet 16977 df-p0 17039 df-p1 17040 df-lat 17046 df-clat 17108 df-oposet 34463 df-ol 34465 df-oml 34466 df-covers 34553 df-ats 34554 df-atl 34585 df-cvlat 34609 df-hlat 34638 df-lhyp 35274

This theorem is referenced by: lhpexle3lem 35297

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