Theorem lnopmul 28826

Description: Multiplicative property of a linear Hilbert space operator. (Contributed by NM, 13-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lnopmul	|- ( ( T e. LinOp /\ A e. CC /\ B e. ~H ) -> ( T ` ( A .h B ) ) = ( A .h ( T ` B ) ) )

Proof of Theorem lnopmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 27860	. . . 4 |- 0h e. ~H
2		lnopl 28773	. . . 4 |- ( ( ( T e. LinOp /\ A e. CC ) /\ ( B e. ~H /\ 0h e. ~H ) ) -> ( T ` ( ( A .h B ) +h 0h ) ) = ( ( A .h ( T ` B ) ) +h ( T ` 0h ) ) )
3	1, 2	mpanr2 720	. . 3 |- ( ( ( T e. LinOp /\ A e. CC ) /\ B e. ~H ) -> ( T ` ( ( A .h B ) +h 0h ) ) = ( ( A .h ( T ` B ) ) +h ( T ` 0h ) ) )
4	3	3impa 1259	. 2 |- ( ( T e. LinOp /\ A e. CC /\ B e. ~H ) -> ( T ` ( ( A .h B ) +h 0h ) ) = ( ( A .h ( T ` B ) ) +h ( T ` 0h ) ) )
5		hvmulcl 27870	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. ~H ) -> ( A .h B ) e. ~H )
6		ax-hvaddid 27861	. . . . 5 |- ( ( A .h B ) e. ~H -> ( ( A .h B ) +h 0h ) = ( A .h B ) )
7	5, 6	syl 17	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. ~H ) -> ( ( A .h B ) +h 0h ) = ( A .h B ) )
8	7	3adant1 1079	. . 3 |- ( ( T e. LinOp /\ A e. CC /\ B e. ~H ) -> ( ( A .h B ) +h 0h ) = ( A .h B ) )
9	8	fveq2d 6195	. 2 |- ( ( T e. LinOp /\ A e. CC /\ B e. ~H ) -> ( T ` ( ( A .h B ) +h 0h ) ) = ( T ` ( A .h B ) ) )
10		lnop0 28825	. . . . 5 |- ( T e. LinOp -> ( T ` 0h ) = 0h )
11	10	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( T e. LinOp -> ( ( A .h ( T ` B ) ) +h ( T ` 0h ) ) = ( ( A .h ( T ` B ) ) +h 0h ) )
12	11	3ad2ant1 1082	. . 3 |- ( ( T e. LinOp /\ A e. CC /\ B e. ~H ) -> ( ( A .h ( T ` B ) ) +h ( T ` 0h ) ) = ( ( A .h ( T ` B ) ) +h 0h ) )
13		lnopf 28718	. . . . . . . 8 |- ( T e. LinOp -> T : ~H --> ~H )
14	13	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( T e. LinOp /\ B e. ~H ) -> ( T ` B ) e. ~H )
15		hvmulcl 27870	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( T ` B ) e. ~H ) -> ( A .h ( T ` B ) ) e. ~H )
16	14, 15	sylan2 491	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( T e. LinOp /\ B e. ~H ) ) -> ( A .h ( T ` B ) ) e. ~H )
17	16	3impb 1260	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ T e. LinOp /\ B e. ~H ) -> ( A .h ( T ` B ) ) e. ~H )
18	17	3com12 1269	. . . 4 |- ( ( T e. LinOp /\ A e. CC /\ B e. ~H ) -> ( A .h ( T ` B ) ) e. ~H )
19		ax-hvaddid 27861	. . . 4 |- ( ( A .h ( T ` B ) ) e. ~H -> ( ( A .h ( T ` B ) ) +h 0h ) = ( A .h ( T ` B ) ) )
20	18, 19	syl 17	. . 3 |- ( ( T e. LinOp /\ A e. CC /\ B e. ~H ) -> ( ( A .h ( T ` B ) ) +h 0h ) = ( A .h ( T ` B ) ) )
21	12, 20	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( T e. LinOp /\ A e. CC /\ B e. ~H ) -> ( ( A .h ( T ` B ) ) +h ( T ` 0h ) ) = ( A .h ( T ` B ) ) )
22	4, 9, 21	3eqtr3d 2664	1 |- ( ( T e. LinOp /\ A e. CC /\ B e. ~H ) -> ( T ` ( A .h B ) ) = ( A .h ( T ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   ~Hchil 27776   +h cva 27777   .h csm 27778   0hc0v 27781   LinOpclo 27804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-neg 10269  df-hvsub 27828  df-lnop 28700

This theorem is referenced by:  lnopmuli  28831  homco2  28836