Theorem lplnnle2at 34827

Description: A lattice line (or atom) cannot majorize a lattice plane. (Contributed by NM, 8-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplnnle2at.l	|- .<_ = ( le ` K )
lplnnle2at.j	|- .\/ = ( join ` K )
lplnnle2at.a	|- A = ( Atoms ` K )
lplnnle2at.p	|- P = ( LPlanes ` K )

Assertion

Ref	Expression
lplnnle2at	|- ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) ) -> -. X .<_ ( Q .\/ R ) )

Proof of Theorem lplnnle2at

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1067	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) ) -> X e. P )
2		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
3		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( <o ` K ) = ( <o ` K )
4		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( LLines ` K ) = ( LLines ` K )
5		lplnnle2at.p	. . . . . 6 |- P = ( LPlanes ` K )
6	2, 3, 4, 5	islpln 34816	. . . . 5 |- ( K e. HL -> ( X e. P <-> ( X e. ( Base ` K ) /\ E. y e. ( LLines ` K ) y ( <o ` K ) X ) ) )
7	6	adantr 481	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) ) -> ( X e. P <-> ( X e. ( Base ` K ) /\ E. y e. ( LLines ` K ) y ( <o ` K ) X ) ) )
8	1, 7	mpbid 222	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) ) -> ( X e. ( Base ` K ) /\ E. y e. ( LLines ` K ) y ( <o ` K ) X ) )
9	8	simprd 479	. 2 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) ) -> E. y e. ( LLines ` K ) y ( <o ` K ) X )
10		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( Q = R -> ( Q .\/ R ) = ( R .\/ R ) )
11	10	breq2d 4665	. . . . . . . 8 |- ( Q = R -> ( X .<_ ( Q .\/ R ) <-> X .<_ ( R .\/ R ) ) )
12	11	notbid 308	. . . . . . 7 |- ( Q = R -> ( -. X .<_ ( Q .\/ R ) <-> -. X .<_ ( R .\/ R ) ) )
13		simpl1 1064	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( y e. ( LLines ` K ) /\ y ( <o ` K ) X ) ) /\ Q =/= R ) -> K e. HL )
14		simpl3l 1116	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( y e. ( LLines ` K ) /\ y ( <o ` K ) X ) ) /\ Q =/= R ) -> y e. ( LLines ` K ) )
15		simpl22 1140	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( y e. ( LLines ` K ) /\ y ( <o ` K ) X ) ) /\ Q =/= R ) -> Q e. A )
16		simpl23 1141	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( y e. ( LLines ` K ) /\ y ( <o ` K ) X ) ) /\ Q =/= R ) -> R e. A )
17		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( y e. ( LLines ` K ) /\ y ( <o ` K ) X ) ) /\ Q =/= R ) -> Q =/= R )
18		lplnnle2at.j	. . . . . . . . . . 11 |- .\/ = ( join ` K )
19		lplnnle2at.a	. . . . . . . . . . 11 |- A = ( Atoms ` K )
20	18, 19, 4	llni2 34798	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ Q =/= R ) -> ( Q .\/ R ) e. ( LLines ` K ) )
21	13, 15, 16, 17, 20	syl31anc 1329	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( y e. ( LLines ` K ) /\ y ( <o ` K ) X ) ) /\ Q =/= R ) -> ( Q .\/ R ) e. ( LLines ` K ) )
22		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( lt ` K ) = ( lt ` K )
23	22, 4	llnnlt 34809	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ y e. ( LLines ` K ) /\ ( Q .\/ R ) e. ( LLines ` K ) ) -> -. y ( lt ` K ) ( Q .\/ R ) )
24	13, 14, 21, 23	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( y e. ( LLines ` K ) /\ y ( <o ` K ) X ) ) /\ Q =/= R ) -> -. y ( lt ` K ) ( Q .\/ R ) )
25	2, 4	llnbase 34795	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( LLines ` K ) -> y e. ( Base ` K ) )
26	14, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( y e. ( LLines ` K ) /\ y ( <o ` K ) X ) ) /\ Q =/= R ) -> y e. ( Base ` K ) )
27		simpl21 1139	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( y e. ( LLines ` K ) /\ y ( <o ` K ) X ) ) /\ Q =/= R ) -> X e. P )
28	2, 5	lplnbase 34820	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. P -> X e. ( Base ` K ) )
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( y e. ( LLines ` K ) /\ y ( <o ` K ) X ) ) /\ Q =/= R ) -> X e. ( Base ` K ) )
30		simpl3r 1117	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( y e. ( LLines ` K ) /\ y ( <o ` K ) X ) ) /\ Q =/= R ) -> y ( <o ` K ) X )
31	2, 22, 3	cvrlt 34557	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ y e. ( Base ` K ) /\ X e. ( Base ` K ) ) /\ y ( <o ` K ) X ) -> y ( lt ` K ) X )
32	13, 26, 29, 30, 31	syl31anc 1329	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( y e. ( LLines ` K ) /\ y ( <o ` K ) X ) ) /\ Q =/= R ) -> y ( lt ` K ) X )
33		hlpos 34652	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. HL -> K e. Poset )
34	13, 33	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( y e. ( LLines ` K ) /\ y ( <o ` K ) X ) ) /\ Q =/= R ) -> K e. Poset )
35	2, 18, 19	hlatjcl 34653	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ Q e. A /\ R e. A ) -> ( Q .\/ R ) e. ( Base ` K ) )
36	13, 15, 16, 35	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( y e. ( LLines ` K ) /\ y ( <o ` K ) X ) ) /\ Q =/= R ) -> ( Q .\/ R ) e. ( Base ` K ) )
37		lplnnle2at.l	. . . . . . . . . . 11 |- .<_ = ( le ` K )
38	2, 37, 22	pltletr 16971	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. Poset /\ ( y e. ( Base ` K ) /\ X e. ( Base ` K ) /\ ( Q .\/ R ) e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( y ( lt ` K ) X /\ X .<_ ( Q .\/ R ) ) -> y ( lt ` K ) ( Q .\/ R ) ) )
39	34, 26, 29, 36, 38	syl13anc 1328	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( y e. ( LLines ` K ) /\ y ( <o ` K ) X ) ) /\ Q =/= R ) -> ( ( y ( lt ` K ) X /\ X .<_ ( Q .\/ R ) ) -> y ( lt ` K ) ( Q .\/ R ) ) )
40	32, 39	mpand 711	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( y e. ( LLines ` K ) /\ y ( <o ` K ) X ) ) /\ Q =/= R ) -> ( X .<_ ( Q .\/ R ) -> y ( lt ` K ) ( Q .\/ R ) ) )
41	24, 40	mtod 189	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( y e. ( LLines ` K ) /\ y ( <o ` K ) X ) ) /\ Q =/= R ) -> -. X .<_ ( Q .\/ R ) )
42		simp1 1061	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( y e. ( LLines ` K ) /\ y ( <o ` K ) X ) ) -> K e. HL )
43		simp3l 1089	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( y e. ( LLines ` K ) /\ y ( <o ` K ) X ) ) -> y e. ( LLines ` K ) )
44		simp23 1096	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( y e. ( LLines ` K ) /\ y ( <o ` K ) X ) ) -> R e. A )
45	37, 19, 4	llnnleat 34799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ y e. ( LLines ` K ) /\ R e. A ) -> -. y .<_ R )
46	42, 43, 44, 45	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( y e. ( LLines ` K ) /\ y ( <o ` K ) X ) ) -> -. y .<_ R )
47	43, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( y e. ( LLines ` K ) /\ y ( <o ` K ) X ) ) -> y e. ( Base ` K ) )
48		simp21 1094	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( y e. ( LLines ` K ) /\ y ( <o ` K ) X ) ) -> X e. P )
49	48, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( y e. ( LLines ` K ) /\ y ( <o ` K ) X ) ) -> X e. ( Base ` K ) )
50		simp3r 1090	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( y e. ( LLines ` K ) /\ y ( <o ` K ) X ) ) -> y ( <o ` K ) X )
51	42, 47, 49, 50, 31	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( y e. ( LLines ` K ) /\ y ( <o ` K ) X ) ) -> y ( lt ` K ) X )
52	33	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( y e. ( LLines ` K ) /\ y ( <o ` K ) X ) ) -> K e. Poset )
53	2, 19	atbase 34576	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. A -> R e. ( Base ` K ) )
54	44, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( y e. ( LLines ` K ) /\ y ( <o ` K ) X ) ) -> R e. ( Base ` K ) )
55	2, 37, 22	pltletr 16971	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. Poset /\ ( y e. ( Base ` K ) /\ X e. ( Base ` K ) /\ R e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( y ( lt ` K ) X /\ X .<_ R ) -> y ( lt ` K ) R ) )
56	52, 47, 49, 54, 55	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( y e. ( LLines ` K ) /\ y ( <o ` K ) X ) ) -> ( ( y ( lt ` K ) X /\ X .<_ R ) -> y ( lt ` K ) R ) )
57	51, 56	mpand 711	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( y e. ( LLines ` K ) /\ y ( <o ` K ) X ) ) -> ( X .<_ R -> y ( lt ` K ) R ) )
58	37, 22	pltle 16961	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ y e. ( LLines ` K ) /\ R e. A ) -> ( y ( lt ` K ) R -> y .<_ R ) )
59	42, 43, 44, 58	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( y e. ( LLines ` K ) /\ y ( <o ` K ) X ) ) -> ( y ( lt ` K ) R -> y .<_ R ) )
60	57, 59	syld 47	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( y e. ( LLines ` K ) /\ y ( <o ` K ) X ) ) -> ( X .<_ R -> y .<_ R ) )
61	46, 60	mtod 189	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( y e. ( LLines ` K ) /\ y ( <o ` K ) X ) ) -> -. X .<_ R )
62	18, 19	hlatjidm 34655	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ R e. A ) -> ( R .\/ R ) = R )
63	42, 44, 62	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( y e. ( LLines ` K ) /\ y ( <o ` K ) X ) ) -> ( R .\/ R ) = R )
64	63	breq2d 4665	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( y e. ( LLines ` K ) /\ y ( <o ` K ) X ) ) -> ( X .<_ ( R .\/ R ) <-> X .<_ R ) )
65	61, 64	mtbird 315	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( y e. ( LLines ` K ) /\ y ( <o ` K ) X ) ) -> -. X .<_ ( R .\/ R ) )
66	12, 41, 65	pm2.61ne 2879	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( y e. ( LLines ` K ) /\ y ( <o ` K ) X ) ) -> -. X .<_ ( Q .\/ R ) )
67	66	3exp 1264	. . . . 5 |- ( K e. HL -> ( ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) -> ( ( y e. ( LLines ` K ) /\ y ( <o ` K ) X ) -> -. X .<_ ( Q .\/ R ) ) ) )
68	67	exp4a 633	. . . 4 |- ( K e. HL -> ( ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) -> ( y e. ( LLines ` K ) -> ( y ( <o ` K ) X -> -. X .<_ ( Q .\/ R ) ) ) ) )
69	68	imp 445	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) ) -> ( y e. ( LLines ` K ) -> ( y ( <o ` K ) X -> -. X .<_ ( Q .\/ R ) ) ) )
70	69	rexlimdv 3030	. 2 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) ) -> ( E. y e. ( LLines ` K ) y ( <o ` K ) X -> -. X .<_ ( Q .\/ R ) ) )
71	9, 70	mpd 15	1 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. P /\ Q e. A /\ R e. A ) ) -> -. X .<_ ( Q .\/ R ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   lecple 15948   Posetcpo 16940   ltcplt 16941   joincjn 16944   <o ccvr 34549   Atomscatm 34550   HLchlt 34637   LLinesclln 34777   LPlanesclpl 34778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785

This theorem is referenced by:  lplnnleat  34828  lplnnlelln  34829  2atnelpln  34830  lvolnle3at  34868