Theorem grpass 17431

Description: A group operation is associative. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcl.b	|- B = ( Base ` G )
grpcl.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpass	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( X .+ ( Y .+ Z ) ) )

Proof of Theorem grpass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 17429	. 2 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
2		grpcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		grpcl.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
4	2, 3	mndass 17302	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( X .+ ( Y .+ Z ) ) )
5	1, 4	sylan 488	1 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( X .+ ( Y .+ Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425

This theorem is referenced by:  grprcan  17455  grprinv  17469  grpinvid1  17470  grpinvid2  17471  grplcan  17477  grpasscan1  17478  grpasscan2  17479  grplmulf1o  17489  grpinvadd  17493  grpsubadd  17503  grpaddsubass  17505  grpsubsub4  17508  dfgrp3  17514  grplactcnv  17518  imasgrp  17531  mulgaddcomlem  17563  mulgaddcom  17564  mulgdirlem  17572  issubg2  17609  isnsg3  17628  nmzsubg  17635  ssnmz  17636  eqger  17644  eqgcpbl  17648  qusgrp  17649  conjghm  17691  conjnmz  17694  subgga  17733  cntzsubg  17769  sylow1lem2  18014  sylow2blem1  18035  sylow2blem2  18036  sylow2blem3  18037  sylow3lem1  18042  sylow3lem2  18043  lsmass  18083  lsmmod  18088  lsmdisj2  18095  gex2abl  18254  ringcom  18579  lmodass  18878  psrgrp  19398  evpmodpmf1o  19942  ghmcnp  21918  qustgpopn  21923  cnncvsaddassdemo  22963  ogrpaddltbi  29719  ogrpaddltrbid  29721  ogrpinvlt  29724  archiabllem2c  29749  lfladdass  34360  dvhvaddass  36386