Theorem pgpfac1lem3 18476

Description: Lemma for pgpfac1 18479. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pgpfac1.k	|- K = (mrCls ` (SubGrp ` G ) )
pgpfac1.s	|- S = ( K ` { A } )
pgpfac1.b	|- B = ( Base ` G )
pgpfac1.o	|- O = ( od ` G )
pgpfac1.e	|- E = (gEx ` G )
pgpfac1.z	|- .0. = ( 0g ` G )
pgpfac1.l	|- .(+) = ( LSSum ` G )
pgpfac1.p	|- ( ph -> P pGrp G )
pgpfac1.g	|- ( ph -> G e. Abel )
pgpfac1.n	|- ( ph -> B e. Fin )
pgpfac1.oe	|- ( ph -> ( O ` A ) = E )
pgpfac1.u	|- ( ph -> U e. (SubGrp ` G ) )
pgpfac1.au	|- ( ph -> A e. U )
pgpfac1.w	|- ( ph -> W e. (SubGrp ` G ) )
pgpfac1.i	|- ( ph -> ( S i^i W ) = { .0. } )
pgpfac1.ss	|- ( ph -> ( S .(+) W ) C_ U )
pgpfac1.2	|- ( ph -> A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. ( S .(+) W ) C. w ) )
pgpfac1.c	|- ( ph -> C e. ( U \ ( S .(+) W ) ) )
pgpfac1.mg	|- .x. = (.g ` G )
pgpfac1.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
pgpfac1.mw	|- ( ph -> ( ( P .x. C ) ( +g ` G ) ( M .x. A ) ) e. W )
pgpfac1.d	|- D = ( C ( +g ` G ) ( ( M / P ) .x. A ) )

Assertion

Ref	Expression
pgpfac1lem3	|- ( ph -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = U ) )

Distinct variable groups:   t, .0.   w, t, A   t, D, w   t, .(+) , w   t, P, w   t, B   t, G, w   t, U, w   t, C, w   t, S, w   t, W, w   ph, t, w   t, .x. , w   t, K, w

Allowed substitution hints:   B( w)   E( w, t)   M( w, t)   O( w, t)   .0. ( w)

Proof of Theorem pgpfac1lem3

Dummy variables b x y a n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pgpfac1.g	. . 3 |- ( ph -> G e. Abel )
2		pgpfac1.w	. . 3 |- ( ph -> W e. (SubGrp ` G ) )
3		ablgrp 18198	. . . . . 6 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
4	1, 3	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> G e. Grp )
5		pgpfac1.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
6	5	subgacs 17629	. . . . 5 |- ( G e. Grp -> (SubGrp ` G ) e. (ACS ` B ) )
7		acsmre 16313	. . . . 5 |- ( (SubGrp ` G ) e. (ACS ` B ) -> (SubGrp ` G ) e. (Moore ` B ) )
8	4, 6, 7	3syl 18	. . . 4 |- ( ph -> (SubGrp ` G ) e. (Moore ` B ) )
9		pgpfac1.u	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. (SubGrp ` G ) )
10	5	subgss 17595	. . . . . 6 |- ( U e. (SubGrp ` G ) -> U C_ B )
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> U C_ B )
12		pgpfac1.d	. . . . . 6 |- D = ( C ( +g ` G ) ( ( M / P ) .x. A ) )
13		pgpfac1.c	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. ( U \ ( S .(+) W ) ) )
14	13	eldifad 3586	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. U )
15		pgpfac1.s	. . . . . . . . . . 11 |- S = ( K ` { A } )
16		pgpfac1.au	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. U )
17	11, 16	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. B )
18		pgpfac1.k	. . . . . . . . . . . . 13 |- K = (mrCls ` (SubGrp ` G ) )
19	18	mrcsncl 16272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (SubGrp ` G ) e. (Moore ` B ) /\ A e. B ) -> ( K ` { A } ) e. (SubGrp ` G ) )
20	8, 17, 19	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( K ` { A } ) e. (SubGrp ` G ) )
21	15, 20	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S e. (SubGrp ` G ) )
22		pgpfac1.l	. . . . . . . . . . 11 |- .(+) = ( LSSum ` G )
23	22	lsmub1 18071	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ W e. (SubGrp ` G ) ) -> S C_ ( S .(+) W ) )
24	21, 2, 23	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S C_ ( S .(+) W ) )
25		pgpfac1.ss	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S .(+) W ) C_ U )
26	24, 25	sstrd 3613	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S C_ U )
27		pgpfac1.o	. . . . . . . . . . . 12 |- O = ( od ` G )
28		pgpfac1.e	. . . . . . . . . . . 12 |- E = (gEx ` G )
29		pgpfac1.z	. . . . . . . . . . . 12 |- .0. = ( 0g ` G )
30		pgpfac1.p	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P pGrp G )
31		pgpfac1.n	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. Fin )
32		pgpfac1.oe	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( O ` A ) = E )
33		pgpfac1.i	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S i^i W ) = { .0. } )
34		pgpfac1.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. w e. (SubGrp ` G ) ( ( w C. U /\ A e. w ) -> -. ( S .(+) W ) C. w ) )
35		pgpfac1.mg	. . . . . . . . . . . 12 |- .x. = (.g ` G )
36		pgpfac1.m	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ZZ )
37		pgpfac1.mw	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( P .x. C ) ( +g ` G ) ( M .x. A ) ) e. W )
38	18, 15, 5, 27, 28, 29, 22, 30, 1, 31, 32, 9, 16, 2, 33, 25, 34, 13, 35, 36, 37	pgpfac1lem3a 18475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( P || E /\ P || M ) )
39	38	simprd 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P || M )
40		pgpprm 18008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P pGrp G -> P e. Prime )
41	30, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. Prime )
42		prmz 15389	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. ZZ )
44		prmnn 15388	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
45	41, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. NN )
46	45	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P =/= 0 )
47		dvdsval2 14986	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ZZ /\ P =/= 0 /\ M e. ZZ ) -> ( P || M <-> ( M / P ) e. ZZ ) )
48	43, 46, 36, 47	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P || M <-> ( M / P ) e. ZZ ) )
49	39, 48	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M / P ) e. ZZ )
50	17	snssd 4340	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> { A } C_ B )
51	8, 18, 50	mrcssidd 16285	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> { A } C_ ( K ` { A } ) )
52	51, 15	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { A } C_ S )
53		snssg 4327	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. U -> ( A e. S <-> { A } C_ S ) )
54	16, 53	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A e. S <-> { A } C_ S ) )
55	52, 54	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. S )
56	35	subgmulgcl 17607	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ ( M / P ) e. ZZ /\ A e. S ) -> ( ( M / P ) .x. A ) e. S )
57	21, 49, 55, 56	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( M / P ) .x. A ) e. S )
58	26, 57	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( M / P ) .x. A ) e. U )
59		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
60	59	subgcl 17604	. . . . . . 7 |- ( ( U e. (SubGrp ` G ) /\ C e. U /\ ( ( M / P ) .x. A ) e. U ) -> ( C ( +g ` G ) ( ( M / P ) .x. A ) ) e. U )
61	9, 14, 58, 60	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C ( +g ` G ) ( ( M / P ) .x. A ) ) e. U )
62	12, 61	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( ph -> D e. U )
63	11, 62	sseldd 3604	. . . 4 |- ( ph -> D e. B )
64	18	mrcsncl 16272	. . . 4 |- ( ( (SubGrp ` G ) e. (Moore ` B ) /\ D e. B ) -> ( K ` { D } ) e. (SubGrp ` G ) )
65	8, 63, 64	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( K ` { D } ) e. (SubGrp ` G ) )
66	22	lsmsubg2 18262	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ W e. (SubGrp ` G ) /\ ( K ` { D } ) e. (SubGrp ` G ) ) -> ( W .(+) ( K ` { D } ) ) e. (SubGrp ` G ) )
67	1, 2, 65, 66	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> ( W .(+) ( K ` { D } ) ) e. (SubGrp ` G ) )
68		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( -g ` G ) = ( -g ` G )
69	68, 22, 2, 65	lsmelvalm 18066	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( W .(+) ( K ` { D } ) ) <-> E. w e. W E. y e. ( K ` { D } ) x = ( w ( -g ` G ) y ) ) )
70		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ZZ |-> ( n .x. D ) ) = ( n e. ZZ |-> ( n .x. D ) )
71	5, 35, 70, 18	cycsubg2 17631	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. Grp /\ D e. B ) -> ( K ` { D } ) = ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. D ) ) )
72	4, 63, 71	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( K ` { D } ) = ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. D ) ) )
73	72	rexeqdv 3145	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E. y e. ( K ` { D } ) x = ( w ( -g ` G ) y ) <-> E. y e. ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. D ) ) x = ( w ( -g ` G ) y ) ) )
74		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n .x. D ) e. _V
75	74	rgenw 2924	. . . . . . . . . . . . 13 |- A. n e. ZZ ( n .x. D ) e. _V
76		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( n .x. D ) -> ( w ( -g ` G ) y ) = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) )
77	76	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( n .x. D ) -> ( x = ( w ( -g ` G ) y ) <-> x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) )
78	70, 77	rexrnmpt 6369	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. n e. ZZ ( n .x. D ) e. _V -> ( E. y e. ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. D ) ) x = ( w ( -g ` G ) y ) <-> E. n e. ZZ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) )
79	75, 78	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y e. ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. D ) ) x = ( w ( -g ` G ) y ) <-> E. n e. ZZ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) )
80	73, 79	syl6bb 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E. y e. ( K ` { D } ) x = ( w ( -g ` G ) y ) <-> E. n e. ZZ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) )
81	80	rexbidv 3052	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E. w e. W E. y e. ( K ` { D } ) x = ( w ( -g ` G ) y ) <-> E. w e. W E. n e. ZZ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) )
82	69, 81	bitrd 268	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( W .(+) ( K ` { D } ) ) <-> E. w e. W E. n e. ZZ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) )
83	82	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x e. ( W .(+) ( K ` { D } ) ) <-> E. w e. W E. n e. ZZ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) )
84		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) )
85	2	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> W e. (SubGrp ` G ) )
86		simplrl 800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> w e. W )
87		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> n e. ZZ )
88	87	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> n e. CC )
89	45	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> P e. CC )
90	89	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> P e. CC )
91	46	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> P =/= 0 )
92	88, 90, 91	divcan1d 10802	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> ( ( n / P ) x. P ) = n )
93	92	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> ( ( ( n / P ) x. P ) .x. D ) = ( n .x. D ) )
94	4	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> G e. Grp )
95	13	eldifbd 3587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> -. C e. ( S .(+) W ) )
96	22	lsmsubg2 18262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( G e. Abel /\ S e. (SubGrp ` G ) /\ W e. (SubGrp ` G ) ) -> ( S .(+) W ) e. (SubGrp ` G ) )
97	1, 21, 2, 96	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( S .(+) W ) e. (SubGrp ` G ) )
98	24, 57	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( M / P ) .x. A ) e. ( S .(+) W ) )
99	68	subgsubcl 17605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( S .(+) W ) e. (SubGrp ` G ) /\ D e. ( S .(+) W ) /\ ( ( M / P ) .x. A ) e. ( S .(+) W ) ) -> ( D ( -g ` G ) ( ( M / P ) .x. A ) ) e. ( S .(+) W ) )
100	99	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( S .(+) W ) e. (SubGrp ` G ) /\ D e. ( S .(+) W ) ) -> ( ( ( M / P ) .x. A ) e. ( S .(+) W ) -> ( D ( -g ` G ) ( ( M / P ) .x. A ) ) e. ( S .(+) W ) ) )
101	100	impancom 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( S .(+) W ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( ( M / P ) .x. A ) e. ( S .(+) W ) ) -> ( D e. ( S .(+) W ) -> ( D ( -g ` G ) ( ( M / P ) .x. A ) ) e. ( S .(+) W ) ) )
102	97, 98, 101	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( D e. ( S .(+) W ) -> ( D ( -g ` G ) ( ( M / P ) .x. A ) ) e. ( S .(+) W ) ) )
103	12	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( D ( -g ` G ) ( ( M / P ) .x. A ) ) = ( ( C ( +g ` G ) ( ( M / P ) .x. A ) ) ( -g ` G ) ( ( M / P ) .x. A ) )
104	11, 14	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> C e. B )
105	5	subgss 17595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ B )
106	21, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> S C_ B )
107	106, 57	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( M / P ) .x. A ) e. B )
108	5, 59, 68	grppncan 17506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( G e. Grp /\ C e. B /\ ( ( M / P ) .x. A ) e. B ) -> ( ( C ( +g ` G ) ( ( M / P ) .x. A ) ) ( -g ` G ) ( ( M / P ) .x. A ) ) = C )
109	4, 104, 107, 108	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( ( C ( +g ` G ) ( ( M / P ) .x. A ) ) ( -g ` G ) ( ( M / P ) .x. A ) ) = C )
110	103, 109	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( D ( -g ` G ) ( ( M / P ) .x. A ) ) = C )
111	110	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( D ( -g ` G ) ( ( M / P ) .x. A ) ) e. ( S .(+) W ) <-> C e. ( S .(+) W ) ) )
112	102, 111	sylibd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( D e. ( S .(+) W ) -> C e. ( S .(+) W ) ) )
113	95, 112	mtod 189	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> -. D e. ( S .(+) W ) )
114	113	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> -. D e. ( S .(+) W ) )
115	41	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> P e. Prime )
116		coprm 15423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P e. Prime /\ n e. ZZ ) -> ( -. P || n <-> ( P gcd n ) = 1 ) )
117	115, 87, 116	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> ( -. P || n <-> ( P gcd n ) = 1 ) )
118	43	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> P e. ZZ )
119		bezout 15260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( P e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> E. a e. ZZ E. b e. ZZ ( P gcd n ) = ( ( P x. a ) + ( n x. b ) ) )
120	118, 87, 119	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> E. a e. ZZ E. b e. ZZ ( P gcd n ) = ( ( P x. a ) + ( n x. b ) ) )
121		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( P gcd n ) = 1 -> ( ( P gcd n ) = ( ( P x. a ) + ( n x. b ) ) <-> 1 = ( ( P x. a ) + ( n x. b ) ) ) )
122	121	2rexbidv 3057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( P gcd n ) = 1 -> ( E. a e. ZZ E. b e. ZZ ( P gcd n ) = ( ( P x. a ) + ( n x. b ) ) <-> E. a e. ZZ E. b e. ZZ 1 = ( ( P x. a ) + ( n x. b ) ) ) )
123	120, 122	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> ( ( P gcd n ) = 1 -> E. a e. ZZ E. b e. ZZ 1 = ( ( P x. a ) + ( n x. b ) ) ) )
124	94	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> G e. Grp )
125	118	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> P e. ZZ )
126		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> a e. ZZ )
127	125, 126	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( P x. a ) e. ZZ )
128	87	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> n e. ZZ )
129		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> b e. ZZ )
130	128, 129	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( n x. b ) e. ZZ )
131	63	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> D e. B )
132	131	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> D e. B )
133	5, 35, 59	mulgdir 17573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( P x. a ) e. ZZ /\ ( n x. b ) e. ZZ /\ D e. B ) ) -> ( ( ( P x. a ) + ( n x. b ) ) .x. D ) = ( ( ( P x. a ) .x. D ) ( +g ` G ) ( ( n x. b ) .x. D ) ) )
134	124, 127, 130, 132, 133	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( ( P x. a ) + ( n x. b ) ) .x. D ) = ( ( ( P x. a ) .x. D ) ( +g ` G ) ( ( n x. b ) .x. D ) ) )
135	97	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> ( S .(+) W ) e. (SubGrp ` G ) )
136	135	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( S .(+) W ) e. (SubGrp ` G ) )
137	90	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> P e. CC )
138		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( a e. ZZ -> a e. CC )
139	138	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> a e. CC )
140	137, 139	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( P x. a ) = ( a x. P ) )
141	140	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( P x. a ) .x. D ) = ( ( a x. P ) .x. D ) )
142	5, 35	mulgass 17579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( G e. Grp /\ ( a e. ZZ /\ P e. ZZ /\ D e. B ) ) -> ( ( a x. P ) .x. D ) = ( a .x. ( P .x. D ) ) )
143	124, 126, 125, 132, 142	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( a x. P ) .x. D ) = ( a .x. ( P .x. D ) ) )
144	141, 143	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( P x. a ) .x. D ) = ( a .x. ( P .x. D ) ) )
145	22	lsmub2 18072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ W e. (SubGrp ` G ) ) -> W C_ ( S .(+) W ) )
146	21, 2, 145	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ph -> W C_ ( S .(+) W ) )
147	12	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( P .x. D ) = ( P .x. ( C ( +g ` G ) ( ( M / P ) .x. A ) ) )
148	5, 35, 59	mulgdi 18232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( G e. Abel /\ ( P e. ZZ /\ C e. B /\ ( ( M / P ) .x. A ) e. B ) ) -> ( P .x. ( C ( +g ` G ) ( ( M / P ) .x. A ) ) ) = ( ( P .x. C ) ( +g ` G ) ( P .x. ( ( M / P ) .x. A ) ) ) )
149	1, 43, 104, 107, 148	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ph -> ( P .x. ( C ( +g ` G ) ( ( M / P ) .x. A ) ) ) = ( ( P .x. C ) ( +g ` G ) ( P .x. ( ( M / P ) .x. A ) ) ) )
150	147, 149	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ph -> ( P .x. D ) = ( ( P .x. C ) ( +g ` G ) ( P .x. ( ( M / P ) .x. A ) ) ) )
151	5, 35	mulgass 17579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( G e. Grp /\ ( P e. ZZ /\ ( M / P ) e. ZZ /\ A e. B ) ) -> ( ( P x. ( M / P ) ) .x. A ) = ( P .x. ( ( M / P ) .x. A ) ) )
152	4, 43, 49, 17, 151	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ph -> ( ( P x. ( M / P ) ) .x. A ) = ( P .x. ( ( M / P ) .x. A ) ) )
153	36	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ph -> M e. CC )
154	153, 89, 46	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ph -> ( P x. ( M / P ) ) = M )
155	154	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ph -> ( ( P x. ( M / P ) ) .x. A ) = ( M .x. A ) )
156	152, 155	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ph -> ( P .x. ( ( M / P ) .x. A ) ) = ( M .x. A ) )
157	156	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ph -> ( ( P .x. C ) ( +g ` G ) ( P .x. ( ( M / P ) .x. A ) ) ) = ( ( P .x. C ) ( +g ` G ) ( M .x. A ) ) )
158	150, 157	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ph -> ( P .x. D ) = ( ( P .x. C ) ( +g ` G ) ( M .x. A ) ) )
159	158, 37	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ph -> ( P .x. D ) e. W )
160	146, 159	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ph -> ( P .x. D ) e. ( S .(+) W ) )
161	160	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> ( P .x. D ) e. ( S .(+) W ) )
162	161	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( P .x. D ) e. ( S .(+) W ) )
163	35	subgmulgcl 17607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( S .(+) W ) e. (SubGrp ` G ) /\ a e. ZZ /\ ( P .x. D ) e. ( S .(+) W ) ) -> ( a .x. ( P .x. D ) ) e. ( S .(+) W ) )
164	136, 126, 162, 163	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( a .x. ( P .x. D ) ) e. ( S .(+) W ) )
165	144, 164	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( P x. a ) .x. D ) e. ( S .(+) W ) )
166	88	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> n e. CC )
167		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( b e. ZZ -> b e. CC )
168	167	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> b e. CC )
169	166, 168	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( n x. b ) = ( b x. n ) )
170	169	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( n x. b ) .x. D ) = ( ( b x. n ) .x. D ) )
171	5, 35	mulgass 17579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( G e. Grp /\ ( b e. ZZ /\ n e. ZZ /\ D e. B ) ) -> ( ( b x. n ) .x. D ) = ( b .x. ( n .x. D ) ) )
172	124, 129, 128, 132, 171	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( b x. n ) .x. D ) = ( b .x. ( n .x. D ) ) )
173	170, 172	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( n x. b ) .x. D ) = ( b .x. ( n .x. D ) ) )
174	84	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> ( w ( -g ` G ) x ) = ( w ( -g ` G ) ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) )
175	1	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> G e. Abel )
176	5	subgss 17595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( W e. (SubGrp ` G ) -> W C_ B )
177	85, 176	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> W C_ B )
178	177, 86	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> w e. B )
179	5, 35	mulgcl 17559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( G e. Grp /\ n e. ZZ /\ D e. B ) -> ( n .x. D ) e. B )
180	94, 87, 131, 179	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> ( n .x. D ) e. B )
181	5, 68, 175, 178, 180	ablnncan 18226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> ( w ( -g ` G ) ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) = ( n .x. D ) )
182	174, 181	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> ( w ( -g ` G ) x ) = ( n .x. D ) )
183	146	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> W C_ ( S .(+) W ) )
184	183, 86	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> w e. ( S .(+) W ) )
185	24	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> x e. ( S .(+) W ) )
186	185	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> x e. ( S .(+) W ) )
187	68	subgsubcl 17605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( S .(+) W ) e. (SubGrp ` G ) /\ w e. ( S .(+) W ) /\ x e. ( S .(+) W ) ) -> ( w ( -g ` G ) x ) e. ( S .(+) W ) )
188	135, 184, 186, 187	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> ( w ( -g ` G ) x ) e. ( S .(+) W ) )
189	182, 188	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> ( n .x. D ) e. ( S .(+) W ) )
190	189	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( n .x. D ) e. ( S .(+) W ) )
191	35	subgmulgcl 17607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( S .(+) W ) e. (SubGrp ` G ) /\ b e. ZZ /\ ( n .x. D ) e. ( S .(+) W ) ) -> ( b .x. ( n .x. D ) ) e. ( S .(+) W ) )
192	136, 129, 190, 191	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( b .x. ( n .x. D ) ) e. ( S .(+) W ) )
193	173, 192	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( n x. b ) .x. D ) e. ( S .(+) W ) )
194	59	subgcl 17604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( S .(+) W ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( ( P x. a ) .x. D ) e. ( S .(+) W ) /\ ( ( n x. b ) .x. D ) e. ( S .(+) W ) ) -> ( ( ( P x. a ) .x. D ) ( +g ` G ) ( ( n x. b ) .x. D ) ) e. ( S .(+) W ) )
195	136, 165, 193, 194	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( ( P x. a ) .x. D ) ( +g ` G ) ( ( n x. b ) .x. D ) ) e. ( S .(+) W ) )
196	134, 195	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( ( P x. a ) + ( n x. b ) ) .x. D ) e. ( S .(+) W ) )
197		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 1 = ( ( P x. a ) + ( n x. b ) ) -> ( 1 .x. D ) = ( ( ( P x. a ) + ( n x. b ) ) .x. D ) )
198	197	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 1 = ( ( P x. a ) + ( n x. b ) ) -> ( ( 1 .x. D ) e. ( S .(+) W ) <-> ( ( ( P x. a ) + ( n x. b ) ) .x. D ) e. ( S .(+) W ) ) )
199	196, 198	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( 1 = ( ( P x. a ) + ( n x. b ) ) -> ( 1 .x. D ) e. ( S .(+) W ) ) )
200	199	rexlimdvva 3038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> ( E. a e. ZZ E. b e. ZZ 1 = ( ( P x. a ) + ( n x. b ) ) -> ( 1 .x. D ) e. ( S .(+) W ) ) )
201	123, 200	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> ( ( P gcd n ) = 1 -> ( 1 .x. D ) e. ( S .(+) W ) ) )
202	5, 35	mulg1 17548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( D e. B -> ( 1 .x. D ) = D )
203	131, 202	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> ( 1 .x. D ) = D )
204	203	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> ( ( 1 .x. D ) e. ( S .(+) W ) <-> D e. ( S .(+) W ) ) )
205	201, 204	sylibd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> ( ( P gcd n ) = 1 -> D e. ( S .(+) W ) ) )
206	117, 205	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> ( -. P || n -> D e. ( S .(+) W ) ) )
207	114, 206	mt3d 140	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> P || n )
208		dvdsval2 14986	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. ZZ /\ P =/= 0 /\ n e. ZZ ) -> ( P || n <-> ( n / P ) e. ZZ ) )
209	118, 91, 87, 208	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> ( P || n <-> ( n / P ) e. ZZ ) )
210	207, 209	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> ( n / P ) e. ZZ )
211	5, 35	mulgass 17579	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( n / P ) e. ZZ /\ P e. ZZ /\ D e. B ) ) -> ( ( ( n / P ) x. P ) .x. D ) = ( ( n / P ) .x. ( P .x. D ) ) )
212	94, 210, 118, 131, 211	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> ( ( ( n / P ) x. P ) .x. D ) = ( ( n / P ) .x. ( P .x. D ) ) )
213	93, 212	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> ( n .x. D ) = ( ( n / P ) .x. ( P .x. D ) ) )
214	159	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> ( P .x. D ) e. W )
215	35	subgmulgcl 17607	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. (SubGrp ` G ) /\ ( n / P ) e. ZZ /\ ( P .x. D ) e. W ) -> ( ( n / P ) .x. ( P .x. D ) ) e. W )
216	85, 210, 214, 215	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> ( ( n / P ) .x. ( P .x. D ) ) e. W )
217	213, 216	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> ( n .x. D ) e. W )
218	68	subgsubcl 17605	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. (SubGrp ` G ) /\ w e. W /\ ( n .x. D ) e. W ) -> ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) e. W )
219	85, 86, 217, 218	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) e. W )
220	84, 219	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) /\ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) ) -> x e. W )
221	220	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ ( w e. W /\ n e. ZZ ) ) -> ( x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) -> x e. W ) )
222	221	rexlimdvva 3038	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( E. w e. W E. n e. ZZ x = ( w ( -g ` G ) ( n .x. D ) ) -> x e. W ) )
223	83, 222	sylbid 230	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x e. ( W .(+) ( K ` { D } ) ) -> x e. W ) )
224	223	imdistanda 729	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. S /\ x e. ( W .(+) ( K ` { D } ) ) ) -> ( x e. S /\ x e. W ) ) )
225		elin 3796	. . . . . 6 |- ( x e. ( S i^i ( W .(+) ( K ` { D } ) ) ) <-> ( x e. S /\ x e. ( W .(+) ( K ` { D } ) ) ) )
226		elin 3796	. . . . . 6 |- ( x e. ( S i^i W ) <-> ( x e. S /\ x e. W ) )
227	224, 225, 226	3imtr4g 285	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( S i^i ( W .(+) ( K ` { D } ) ) ) -> x e. ( S i^i W ) ) )
228	227	ssrdv 3609	. . . 4 |- ( ph -> ( S i^i ( W .(+) ( K ` { D } ) ) ) C_ ( S i^i W ) )
229	228, 33	sseqtrd 3641	. . 3 |- ( ph -> ( S i^i ( W .(+) ( K ` { D } ) ) ) C_ { .0. } )
230	29	subg0cl 17602	. . . . . 6 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> .0. e. S )
231	21, 230	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> .0. e. S )
232	29	subg0cl 17602	. . . . . 6 |- ( ( W .(+) ( K ` { D } ) ) e. (SubGrp ` G ) -> .0. e. ( W .(+) ( K ` { D } ) ) )
233	67, 232	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> .0. e. ( W .(+) ( K ` { D } ) ) )
234	231, 233	elind 3798	. . . 4 |- ( ph -> .0. e. ( S i^i ( W .(+) ( K ` { D } ) ) ) )
235	234	snssd 4340	. . 3 |- ( ph -> { .0. } C_ ( S i^i ( W .(+) ( K ` { D } ) ) ) )
236	229, 235	eqssd 3620	. 2 |- ( ph -> ( S i^i ( W .(+) ( K ` { D } ) ) ) = { .0. } )
237	22	lsmass 18083	. . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ W e. (SubGrp ` G ) /\ ( K ` { D } ) e. (SubGrp ` G ) ) -> ( ( S .(+) W ) .(+) ( K ` { D } ) ) = ( S .(+) ( W .(+) ( K ` { D } ) ) ) )
238	21, 2, 65, 237	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( ( S .(+) W ) .(+) ( K ` { D } ) ) = ( S .(+) ( W .(+) ( K ` { D } ) ) ) )
239	62, 113	eldifd 3585	. . . 4 |- ( ph -> D e. ( U \ ( S .(+) W ) ) )
240	18, 15, 5, 27, 28, 29, 22, 30, 1, 31, 32, 9, 16, 2, 33, 25, 34	pgpfac1lem1 18473	. . . 4 |- ( ( ph /\ D e. ( U \ ( S .(+) W ) ) ) -> ( ( S .(+) W ) .(+) ( K ` { D } ) ) = U )
241	239, 240	mpdan 702	. . 3 |- ( ph -> ( ( S .(+) W ) .(+) ( K ` { D } ) ) = U )
242	238, 241	eqtr3d 2658	. 2 |- ( ph -> ( S .(+) ( W .(+) ( K ` { D } ) ) ) = U )
243		ineq2 3808	. . . . 5 |- ( t = ( W .(+) ( K ` { D } ) ) -> ( S i^i t ) = ( S i^i ( W .(+) ( K ` { D } ) ) ) )
244	243	eqeq1d 2624	. . . 4 |- ( t = ( W .(+) ( K ` { D } ) ) -> ( ( S i^i t ) = { .0. } <-> ( S i^i ( W .(+) ( K ` { D } ) ) ) = { .0. } ) )
245		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( t = ( W .(+) ( K ` { D } ) ) -> ( S .(+) t ) = ( S .(+) ( W .(+) ( K ` { D } ) ) ) )
246	245	eqeq1d 2624	. . . 4 |- ( t = ( W .(+) ( K ` { D } ) ) -> ( ( S .(+) t ) = U <-> ( S .(+) ( W .(+) ( K ` { D } ) ) ) = U ) )
247	244, 246	anbi12d 747	. . 3 |- ( t = ( W .(+) ( K ` { D } ) ) -> ( ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = U ) <-> ( ( S i^i ( W .(+) ( K ` { D } ) ) ) = { .0. } /\ ( S .(+) ( W .(+) ( K ` { D } ) ) ) = U ) ) )
248	247	rspcev 3309	. 2 |- ( ( ( W .(+) ( K ` { D } ) ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( ( S i^i ( W .(+) ( K ` { D } ) ) ) = { .0. } /\ ( S .(+) ( W .(+) ( K ` { D } ) ) ) = U ) ) -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = U ) )
249	67, 236, 242, 248	syl12anc 1324	1 |- ( ph -> E. t e. (SubGrp ` G ) ( ( S i^i t ) = { .0. } /\ ( S .(+) t ) = U ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   C. wpss 3575   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZcz 11377   || cdvds 14983   gcd cgcd 15216   Primecprime 15385   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100  Moorecmre 16242  mrClscmrc 16243  ACScacs 16245   Grpcgrp 17422   -gcsg 17424  ._gcmg 17540  SubGrpcsubg 17588   odcod 17944  gExcgex 17945   pGrp cpgp 17946   LSSumclsm 18049   Abelcabl 18194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-eqg 17593  df-ga 17723  df-cntz 17750  df-od 17948  df-gex 17949  df-pgp 17950  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196

This theorem is referenced by:  pgpfac1lem4  18477