Theorem mreexexlem2d 16305

Description: Used in mreexexlem4d 16307 to prove the induction step in mreexexd 16308. See the proof of Proposition 4.2.1 in [FaureFrolicher] p. 86 to 87. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mreexexlem2d.1	|- ( ph -> A e. (Moore ` X ) )
mreexexlem2d.2	|- N = (mrCls ` A )
mreexexlem2d.3	|- I = (mrInd ` A )
mreexexlem2d.4	|- ( ph -> A. s e. ~P X A. y e. X A. z e. ( ( N ` ( s u. { y } ) ) \ ( N ` s ) ) y e. ( N ` ( s u. { z } ) ) )
mreexexlem2d.5	|- ( ph -> F C_ ( X \ H ) )
mreexexlem2d.6	|- ( ph -> G C_ ( X \ H ) )
mreexexlem2d.7	|- ( ph -> F C_ ( N ` ( G u. H ) ) )
mreexexlem2d.8	|- ( ph -> ( F u. H ) e. I )
mreexexlem2d.9	|- ( ph -> Y e. F )

Assertion

Ref	Expression
mreexexlem2d	|- ( ph -> E. g e. G ( -. g e. ( F \ { Y } ) /\ ( ( F \ { Y } ) u. ( H u. { g } ) ) e. I ) )

Distinct variable groups:   F, s, g, y, z   G, s, g, y, z   H, s, g, y, z   ph, s, g, y, z   Y, s, g, y, z   N, s, g, y, z   X, s, y

Allowed substitution hints:   A( y, z, g, s)   I( y, z, g, s)   X( z, g)

Proof of Theorem mreexexlem2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mreexexlem2d.7	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F C_ ( N ` ( G u. H ) ) )
2	1	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ G C_ ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) -> F C_ ( N ` ( G u. H ) ) )
3		mreexexlem2d.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. (Moore ` X ) )
4	3	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ G C_ ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) -> A e. (Moore ` X ) )
5		mreexexlem2d.2	. . . . . . . . 9 |- N = (mrCls ` A )
6		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ G C_ ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) -> G C_ ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) )
7		ssun2 3777	. . . . . . . . . . . . 13 |- H C_ ( ( F \ { Y } ) u. H )
8		difundir 3880	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F u. H ) \ { Y } ) = ( ( F \ { Y } ) u. ( H \ { Y } ) )
9		mreexexlem2d.9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> Y e. F )
10		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F i^i H ) = ( H i^i F )
11		mreexexlem2d.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> F C_ ( X \ H ) )
12		ssdifin0 4050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( F C_ ( X \ H ) -> ( F i^i H ) = (/) )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( F i^i H ) = (/) )
14	10, 13	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( H i^i F ) = (/) )
15		minel 4033	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Y e. F /\ ( H i^i F ) = (/) ) -> -. Y e. H )
16	9, 14, 15	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> -. Y e. H )
17		difsnb 4337	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. Y e. H <-> ( H \ { Y } ) = H )
18	16, 17	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( H \ { Y } ) = H )
19	18	uneq2d 3767	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( F \ { Y } ) u. ( H \ { Y } ) ) = ( ( F \ { Y } ) u. H ) )
20	8, 19	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( F u. H ) \ { Y } ) = ( ( F \ { Y } ) u. H ) )
21	7, 20	syl5sseqr 3654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> H C_ ( ( F u. H ) \ { Y } ) )
22		mreexexlem2d.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- I = (mrInd ` A )
23		mreexexlem2d.8	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F u. H ) e. I )
24	22, 3, 23	mrissd 16296	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F u. H ) C_ X )
25	24	ssdifssd 3748	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( F u. H ) \ { Y } ) C_ X )
26	3, 5, 25	mrcssidd 16285	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( F u. H ) \ { Y } ) C_ ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) )
27	21, 26	sstrd 3613	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> H C_ ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) )
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ G C_ ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) -> H C_ ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) )
29	6, 28	unssd 3789	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ G C_ ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) -> ( G u. H ) C_ ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) )
30	4, 5	mrcssvd 16283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ G C_ ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) -> ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) C_ X )
31	4, 5, 29, 30	mrcssd 16284	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ G C_ ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) -> ( N ` ( G u. H ) ) C_ ( N ` ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) )
32	25	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ G C_ ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) -> ( ( F u. H ) \ { Y } ) C_ X )
33	4, 5, 32	mrcidmd 16286	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ G C_ ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) -> ( N ` ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) = ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) )
34	31, 33	sseqtrd 3641	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ G C_ ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) -> ( N ` ( G u. H ) ) C_ ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) )
35	2, 34	sstrd 3613	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ G C_ ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) -> F C_ ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) )
36	9	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ G C_ ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) -> Y e. F )
37	35, 36	sseldd 3604	. . . . 5 |- ( ( ph /\ G C_ ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) -> Y e. ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) )
38	23	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ G C_ ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) -> ( F u. H ) e. I )
39		ssun1 3776	. . . . . . 7 |- F C_ ( F u. H )
40	39, 36	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ G C_ ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) -> Y e. ( F u. H ) )
41	5, 22, 4, 38, 40	ismri2dad 16297	. . . . 5 |- ( ( ph /\ G C_ ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) -> -. Y e. ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) )
42	37, 41	pm2.65da 600	. . . 4 |- ( ph -> -. G C_ ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) )
43		nss 3663	. . . 4 |- ( -. G C_ ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) <-> E. g ( g e. G /\ -. g e. ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) )
44	42, 43	sylib 208	. . 3 |- ( ph -> E. g ( g e. G /\ -. g e. ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) )
45		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( g e. G /\ -. g e. ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) ) -> g e. G )
46		ssun1 3776	. . . . . . . . . 10 |- ( F \ { Y } ) C_ ( ( F \ { Y } ) u. H )
47	46, 20	syl5sseqr 3654	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F \ { Y } ) C_ ( ( F u. H ) \ { Y } ) )
48	47, 26	sstrd 3613	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F \ { Y } ) C_ ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) )
49	48	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( g e. G /\ -. g e. ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) ) -> ( F \ { Y } ) C_ ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) )
50		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( g e. G /\ -. g e. ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) ) -> -. g e. ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) )
51	49, 50	ssneldd 3606	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( g e. G /\ -. g e. ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) ) -> -. g e. ( F \ { Y } ) )
52		unass 3770	. . . . . . 7 |- ( ( ( F \ { Y } ) u. H ) u. { g } ) = ( ( F \ { Y } ) u. ( H u. { g } ) )
53	3	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( g e. G /\ -. g e. ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) ) -> A e. (Moore ` X ) )
54		mreexexlem2d.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. s e. ~P X A. y e. X A. z e. ( ( N ` ( s u. { y } ) ) \ ( N ` s ) ) y e. ( N ` ( s u. { z } ) ) )
55	54	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( g e. G /\ -. g e. ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) ) -> A. s e. ~P X A. y e. X A. z e. ( ( N ` ( s u. { y } ) ) \ ( N ` s ) ) y e. ( N ` ( s u. { z } ) ) )
56	23	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( g e. G /\ -. g e. ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) ) -> ( F u. H ) e. I )
57		difss 3737	. . . . . . . . . 10 |- ( F \ { Y } ) C_ F
58		unss1 3782	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F \ { Y } ) C_ F -> ( ( F \ { Y } ) u. H ) C_ ( F u. H ) )
59	57, 58	mp1i 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( g e. G /\ -. g e. ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) ) -> ( ( F \ { Y } ) u. H ) C_ ( F u. H ) )
60	53, 5, 22, 56, 59	mrissmrid 16301	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( g e. G /\ -. g e. ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) ) -> ( ( F \ { Y } ) u. H ) e. I )
61		mreexexlem2d.6	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G C_ ( X \ H ) )
62	61	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( g e. G /\ -. g e. ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) ) -> G C_ ( X \ H ) )
63	62	difss2d 3740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( g e. G /\ -. g e. ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) ) -> G C_ X )
64	63, 45	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( g e. G /\ -. g e. ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) ) -> g e. X )
65	20	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( g e. G /\ -. g e. ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) ) -> ( ( F u. H ) \ { Y } ) = ( ( F \ { Y } ) u. H ) )
66	65	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( g e. G /\ -. g e. ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) ) -> ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) = ( N ` ( ( F \ { Y } ) u. H ) ) )
67	50, 66	neleqtrd 2722	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( g e. G /\ -. g e. ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) ) -> -. g e. ( N ` ( ( F \ { Y } ) u. H ) ) )
68	53, 5, 22, 55, 60, 64, 67	mreexmrid 16303	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( g e. G /\ -. g e. ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) ) -> ( ( ( F \ { Y } ) u. H ) u. { g } ) e. I )
69	52, 68	syl5eqelr 2706	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( g e. G /\ -. g e. ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) ) -> ( ( F \ { Y } ) u. ( H u. { g } ) ) e. I )
70	45, 51, 69	jca32 558	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( g e. G /\ -. g e. ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) ) -> ( g e. G /\ ( -. g e. ( F \ { Y } ) /\ ( ( F \ { Y } ) u. ( H u. { g } ) ) e. I ) ) )
71	70	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( ( g e. G /\ -. g e. ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) -> ( g e. G /\ ( -. g e. ( F \ { Y } ) /\ ( ( F \ { Y } ) u. ( H u. { g } ) ) e. I ) ) ) )
72	71	eximdv 1846	. . 3 |- ( ph -> ( E. g ( g e. G /\ -. g e. ( N ` ( ( F u. H ) \ { Y } ) ) ) -> E. g ( g e. G /\ ( -. g e. ( F \ { Y } ) /\ ( ( F \ { Y } ) u. ( H u. { g } ) ) e. I ) ) ) )
73	44, 72	mpd 15	. 2 |- ( ph -> E. g ( g e. G /\ ( -. g e. ( F \ { Y } ) /\ ( ( F \ { Y } ) u. ( H u. { g } ) ) e. I ) ) )
74		df-rex 2918	. 2 |- ( E. g e. G ( -. g e. ( F \ { Y } ) /\ ( ( F \ { Y } ) u. ( H u. { g } ) ) e. I ) <-> E. g ( g e. G /\ ( -. g e. ( F \ { Y } ) /\ ( ( F \ { Y } ) u. ( H u. { g } ) ) e. I ) ) )
75	73, 74	sylibr 224	1 |- ( ph -> E. g e. G ( -. g e. ( F \ { Y } ) /\ ( ( F \ { Y } ) u. ( H u. { g } ) ) e. I ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   ` cfv 5888  Moorecmre 16242  mrClscmrc 16243  mrIndcmri 16244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-mri 16248

This theorem is referenced by:  mreexexlem4d  16307