Theorem mreexexlem4d 16307

Description: Induction step of the induction in mreexexd 16308. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mreexexlem2d.1	|- ( ph -> A e. (Moore ` X ) )
mreexexlem2d.2	|- N = (mrCls ` A )
mreexexlem2d.3	|- I = (mrInd ` A )
mreexexlem2d.4	|- ( ph -> A. s e. ~P X A. y e. X A. z e. ( ( N ` ( s u. { y } ) ) \ ( N ` s ) ) y e. ( N ` ( s u. { z } ) ) )
mreexexlem2d.5	|- ( ph -> F C_ ( X \ H ) )
mreexexlem2d.6	|- ( ph -> G C_ ( X \ H ) )
mreexexlem2d.7	|- ( ph -> F C_ ( N ` ( G u. H ) ) )
mreexexlem2d.8	|- ( ph -> ( F u. H ) e. I )
mreexexlem4d.9	|- ( ph -> L e. om )
mreexexlem4d.A	|- ( ph -> A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ L \/ g ~~ L ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. j e. ~P g ( f ~~ j /\ ( j u. h ) e. I ) ) )
mreexexlem4d.B	|- ( ph -> ( F ~~ suc L \/ G ~~ suc L ) )

Assertion

Ref	Expression
mreexexlem4d	|- ( ph -> E. j e. ~P G ( F ~~ j /\ ( j u. H ) e. I ) )

Distinct variable groups:   f, g, h, X   f, I, j, g, h   f, L, g, h   f, N, g, h   y, s, z, N   F, s, y, z   G, s, y, z   H, s, y, z   ph, s, y, z   j, F   j, G   j, H   X, s, y

Allowed substitution hints:   ph( f, g, h, j)   A( y, z, f, g, h, j, s)   F( f, g, h)   G( f, g, h)   H( f, g, h)   I( y, z, s)   L( y, z, j, s)   N( j)   X( z, j)

Proof of Theorem mreexexlem4d

Dummy variables i q r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mreexexlem2d.1	. . . 4 |- ( ph -> A e. (Moore ` X ) )
2	1	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ F = (/) ) -> A e. (Moore ` X ) )
3		mreexexlem2d.2	. . 3 |- N = (mrCls ` A )
4		mreexexlem2d.3	. . 3 |- I = (mrInd ` A )
5		mreexexlem2d.4	. . . 4 |- ( ph -> A. s e. ~P X A. y e. X A. z e. ( ( N ` ( s u. { y } ) ) \ ( N ` s ) ) y e. ( N ` ( s u. { z } ) ) )
6	5	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ F = (/) ) -> A. s e. ~P X A. y e. X A. z e. ( ( N ` ( s u. { y } ) ) \ ( N ` s ) ) y e. ( N ` ( s u. { z } ) ) )
7		mreexexlem2d.5	. . . 4 |- ( ph -> F C_ ( X \ H ) )
8	7	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ F = (/) ) -> F C_ ( X \ H ) )
9		mreexexlem2d.6	. . . 4 |- ( ph -> G C_ ( X \ H ) )
10	9	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ F = (/) ) -> G C_ ( X \ H ) )
11		mreexexlem2d.7	. . . 4 |- ( ph -> F C_ ( N ` ( G u. H ) ) )
12	11	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ F = (/) ) -> F C_ ( N ` ( G u. H ) ) )
13		mreexexlem2d.8	. . . 4 |- ( ph -> ( F u. H ) e. I )
14	13	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ F = (/) ) -> ( F u. H ) e. I )
15		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ F = (/) ) -> F = (/) )
16	15	orcd 407	. . 3 |- ( ( ph /\ F = (/) ) -> ( F = (/) \/ G = (/) ) )
17	2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16	mreexexlem3d 16306	. 2 |- ( ( ph /\ F = (/) ) -> E. j e. ~P G ( F ~~ j /\ ( j u. H ) e. I ) )
18		n0 3931	. . . . 5 |- ( F =/= (/) <-> E. r r e. F )
19	18	biimpi 206	. . . 4 |- ( F =/= (/) -> E. r r e. F )
20	19	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ F =/= (/) ) -> E. r r e. F )
21	1	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. F ) -> A e. (Moore ` X ) )
22	5	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. F ) -> A. s e. ~P X A. y e. X A. z e. ( ( N ` ( s u. { y } ) ) \ ( N ` s ) ) y e. ( N ` ( s u. { z } ) ) )
23	7	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. F ) -> F C_ ( X \ H ) )
24	9	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. F ) -> G C_ ( X \ H ) )
25	11	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. F ) -> F C_ ( N ` ( G u. H ) ) )
26	13	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. F ) -> ( F u. H ) e. I )
27		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. F ) -> r e. F )
28	21, 3, 4, 22, 23, 24, 25, 26, 27	mreexexlem2d 16305	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. F ) -> E. q e. G ( -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) )
29		3anass 1042	. . . . . 6 |- ( ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) <-> ( q e. G /\ ( -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) )
30	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> A e. (Moore ` X ) )
31	30	elfvexd 6222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> X e. _V )
32		simpr2 1068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> -. q e. ( F \ { r } ) )
33		difsnb 4337	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. q e. ( F \ { r } ) <-> ( ( F \ { r } ) \ { q } ) = ( F \ { r } ) )
34	32, 33	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> ( ( F \ { r } ) \ { q } ) = ( F \ { r } ) )
35	7	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> F C_ ( X \ H ) )
36	35	ssdifssd 3748	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> ( F \ { r } ) C_ ( X \ H ) )
37	36	ssdifd 3746	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> ( ( F \ { r } ) \ { q } ) C_ ( ( X \ H ) \ { q } ) )
38	34, 37	eqsstr3d 3640	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> ( F \ { r } ) C_ ( ( X \ H ) \ { q } ) )
39		difun1 3887	. . . . . . . . 9 |- ( X \ ( H u. { q } ) ) = ( ( X \ H ) \ { q } )
40	38, 39	syl6sseqr 3652	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> ( F \ { r } ) C_ ( X \ ( H u. { q } ) ) )
41	9	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> G C_ ( X \ H ) )
42	41	ssdifd 3746	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> ( G \ { q } ) C_ ( ( X \ H ) \ { q } ) )
43	42, 39	syl6sseqr 3652	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> ( G \ { q } ) C_ ( X \ ( H u. { q } ) ) )
44	11	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> F C_ ( N ` ( G u. H ) ) )
45		simpr1 1067	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> q e. G )
46		uncom 3757	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( H u. { q } ) = ( { q } u. H )
47	46	uneq2i 3764	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G \ { q } ) u. ( H u. { q } ) ) = ( ( G \ { q } ) u. ( { q } u. H ) )
48		unass 3770	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G \ { q } ) u. { q } ) u. H ) = ( ( G \ { q } ) u. ( { q } u. H ) )
49		difsnid 4341	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( q e. G -> ( ( G \ { q } ) u. { q } ) = G )
50	49	uneq1d 3766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q e. G -> ( ( ( G \ { q } ) u. { q } ) u. H ) = ( G u. H ) )
51	48, 50	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. G -> ( ( G \ { q } ) u. ( { q } u. H ) ) = ( G u. H ) )
52	47, 51	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q e. G -> ( ( G \ { q } ) u. ( H u. { q } ) ) = ( G u. H ) )
53	45, 52	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> ( ( G \ { q } ) u. ( H u. { q } ) ) = ( G u. H ) )
54	53	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> ( N ` ( ( G \ { q } ) u. ( H u. { q } ) ) ) = ( N ` ( G u. H ) ) )
55	44, 54	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> F C_ ( N ` ( ( G \ { q } ) u. ( H u. { q } ) ) ) )
56	55	ssdifssd 3748	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> ( F \ { r } ) C_ ( N ` ( ( G \ { q } ) u. ( H u. { q } ) ) ) )
57		simpr3 1069	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I )
58		mreexexlem4d.B	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ~~ suc L \/ G ~~ suc L ) )
59	58	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> ( F ~~ suc L \/ G ~~ suc L ) )
60		mreexexlem4d.9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> L e. om )
61	60	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> L e. om )
62		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> r e. F )
63		3anan12 1051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. om /\ F ~~ suc L /\ r e. F ) <-> ( F ~~ suc L /\ ( L e. om /\ r e. F ) ) )
64		dif1en 8193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. om /\ F ~~ suc L /\ r e. F ) -> ( F \ { r } ) ~~ L )
65	63, 64	sylbir 225	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ~~ suc L /\ ( L e. om /\ r e. F ) ) -> ( F \ { r } ) ~~ L )
66	65	expcom 451	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. om /\ r e. F ) -> ( F ~~ suc L -> ( F \ { r } ) ~~ L ) )
67	61, 62, 66	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> ( F ~~ suc L -> ( F \ { r } ) ~~ L ) )
68		3anan12 1051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. om /\ G ~~ suc L /\ q e. G ) <-> ( G ~~ suc L /\ ( L e. om /\ q e. G ) ) )
69		dif1en 8193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. om /\ G ~~ suc L /\ q e. G ) -> ( G \ { q } ) ~~ L )
70	68, 69	sylbir 225	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G ~~ suc L /\ ( L e. om /\ q e. G ) ) -> ( G \ { q } ) ~~ L )
71	70	expcom 451	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. om /\ q e. G ) -> ( G ~~ suc L -> ( G \ { q } ) ~~ L ) )
72	61, 45, 71	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> ( G ~~ suc L -> ( G \ { q } ) ~~ L ) )
73	67, 72	orim12d 883	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> ( ( F ~~ suc L \/ G ~~ suc L ) -> ( ( F \ { r } ) ~~ L \/ ( G \ { q } ) ~~ L ) ) )
74	59, 73	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> ( ( F \ { r } ) ~~ L \/ ( G \ { q } ) ~~ L ) )
75		mreexexlem4d.A	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ L \/ g ~~ L ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. j e. ~P g ( f ~~ j /\ ( j u. h ) e. I ) ) )
76	75	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> A. h A. f e. ~P ( X \ h ) A. g e. ~P ( X \ h ) ( ( ( f ~~ L \/ g ~~ L ) /\ f C_ ( N ` ( g u. h ) ) /\ ( f u. h ) e. I ) -> E. j e. ~P g ( f ~~ j /\ ( j u. h ) e. I ) ) )
77	31, 40, 43, 56, 57, 74, 76	mreexexlemd 16304	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> E. i e. ~P ( G \ { q } ) ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) )
78		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> i e. ~P ( G \ { q } ) )
79	78	elpwid 4170	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> i C_ ( G \ { q } ) )
80	79	difss2d 3740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> i C_ G )
81		simplr1 1103	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> q e. G )
82	81	snssd 4340	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> { q } C_ G )
83	80, 82	unssd 3789	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> ( i u. { q } ) C_ G )
84	31	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> X e. _V )
85	9	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> G C_ ( X \ H ) )
86	85	difss2d 3740	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> G C_ X )
87	84, 86	ssexd 4805	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> G e. _V )
88		elpw2g 4827	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. _V -> ( ( i u. { q } ) e. ~P G <-> ( i u. { q } ) C_ G ) )
89	87, 88	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> ( ( i u. { q } ) e. ~P G <-> ( i u. { q } ) C_ G ) )
90	83, 89	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> ( i u. { q } ) e. ~P G )
91		difsnid 4341	. . . . . . . . . 10 |- ( r e. F -> ( ( F \ { r } ) u. { r } ) = F )
92	91	ad3antlr 767	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> ( ( F \ { r } ) u. { r } ) = F )
93		simprrl 804	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> ( F \ { r } ) ~~ i )
94		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- r e. _V
95		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- q e. _V
96		en2sn 8037	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( r e. _V /\ q e. _V ) -> { r } ~~ { q } )
97	94, 95, 96	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- { r } ~~ { q }
98	97	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> { r } ~~ { q } )
99		incom 3805	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F \ { r } ) i^i { r } ) = ( { r } i^i ( F \ { r } ) )
100		disjdif 4040	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { r } i^i ( F \ { r } ) ) = (/)
101	99, 100	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F \ { r } ) i^i { r } ) = (/)
102	101	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> ( ( F \ { r } ) i^i { r } ) = (/) )
103		ssdifin0 4050	. . . . . . . . . . 11 |- ( i C_ ( G \ { q } ) -> ( i i^i { q } ) = (/) )
104	79, 103	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> ( i i^i { q } ) = (/) )
105		unen 8040	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ { r } ~~ { q } ) /\ ( ( ( F \ { r } ) i^i { r } ) = (/) /\ ( i i^i { q } ) = (/) ) ) -> ( ( F \ { r } ) u. { r } ) ~~ ( i u. { q } ) )
106	93, 98, 102, 104, 105	syl22anc 1327	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> ( ( F \ { r } ) u. { r } ) ~~ ( i u. { q } ) )
107	92, 106	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> F ~~ ( i u. { q } ) )
108		unass 3770	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i u. { q } ) u. H ) = ( i u. ( { q } u. H ) )
109		uncom 3757	. . . . . . . . . . 11 |- ( { q } u. H ) = ( H u. { q } )
110	109	uneq2i 3764	. . . . . . . . . 10 |- ( i u. ( { q } u. H ) ) = ( i u. ( H u. { q } ) )
111	108, 110	eqtr2i 2645	. . . . . . . . 9 |- ( i u. ( H u. { q } ) ) = ( ( i u. { q } ) u. H )
112		simprrr 805	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I )
113	111, 112	syl5eqelr 2706	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> ( ( i u. { q } ) u. H ) e. I )
114		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( j = ( i u. { q } ) -> ( F ~~ j <-> F ~~ ( i u. { q } ) ) )
115		uneq1 3760	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = ( i u. { q } ) -> ( j u. H ) = ( ( i u. { q } ) u. H ) )
116	115	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( j = ( i u. { q } ) -> ( ( j u. H ) e. I <-> ( ( i u. { q } ) u. H ) e. I ) )
117	114, 116	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( i u. { q } ) -> ( ( F ~~ j /\ ( j u. H ) e. I ) <-> ( F ~~ ( i u. { q } ) /\ ( ( i u. { q } ) u. H ) e. I ) ) )
118	117	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( ( i u. { q } ) e. ~P G /\ ( F ~~ ( i u. { q } ) /\ ( ( i u. { q } ) u. H ) e. I ) ) -> E. j e. ~P G ( F ~~ j /\ ( j u. H ) e. I ) )
119	90, 107, 113, 118	syl12anc 1324	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) /\ ( i e. ~P ( G \ { q } ) /\ ( ( F \ { r } ) ~~ i /\ ( i u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> E. j e. ~P G ( F ~~ j /\ ( j u. H ) e. I ) )
120	77, 119	rexlimddv 3035	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) -> E. j e. ~P G ( F ~~ j /\ ( j u. H ) e. I ) )
121	29, 120	sylan2br 493	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. F ) /\ ( q e. G /\ ( -. q e. ( F \ { r } ) /\ ( ( F \ { r } ) u. ( H u. { q } ) ) e. I ) ) ) -> E. j e. ~P G ( F ~~ j /\ ( j u. H ) e. I ) )
122	28, 121	rexlimddv 3035	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. F ) -> E. j e. ~P G ( F ~~ j /\ ( j u. H ) e. I ) )
123	122	adantlr 751	. . 3 |- ( ( ( ph /\ F =/= (/) ) /\ r e. F ) -> E. j e. ~P G ( F ~~ j /\ ( j u. H ) e. I ) )
124	20, 123	exlimddv 1863	. 2 |- ( ( ph /\ F =/= (/) ) -> E. j e. ~P G ( F ~~ j /\ ( j u. H ) e. I ) )
125	17, 124	pm2.61dane 2881	1 |- ( ph -> E. j e. ~P G ( F ~~ j /\ ( j u. H ) e. I ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   class class class wbr 4653   suc csuc 5725   ` cfv 5888   omcom 7065   ~~ cen 7952  Moorecmre 16242  mrClscmrc 16243  mrIndcmri 16244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-mri 16248

This theorem is referenced by:  mreexexd  16308  mreexexdOLD  16309