Theorem eq0rdv 3979

Description: Deduction rule for equality to the empty set. (Contributed by NM, 11-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
eq0rdv.1	|- ( ph -> -. x e. A )

Assertion

Ref	Expression
eq0rdv	|- ( ph -> A = (/) )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x

Proof of Theorem eq0rdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0rdv.1	. . . 4 |- ( ph -> -. x e. A )
2	1	pm2.21d 118	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A -> x e. (/) ) )
3	2	ssrdv 3609	. 2 |- ( ph -> A C_ (/) )
4		ss0 3974	. 2 |- ( A C_ (/) -> A = (/) )
5	3, 4	syl 17	1 |- ( ph -> A = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   (/)c0 3915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-v 3202  df-dif 3577  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916

This theorem is referenced by:  map0b  7896  disjen  8117  mapdom1  8125  pwxpndom2  9487  fzdisj  12368  smu01lem  15207  prmreclem5  15624  vdwap0  15680  natfval  16606  fucbas  16620  fuchom  16621  coafval  16714  efgval  18130  lsppratlem6  19152  lbsextlem4  19161  psrvscafval  19390  cfinufil  21732  ufinffr  21733  fin1aufil  21736  bldisj  22203  reconnlem1  22629  pcofval  22810  bcthlem5  23125  volfiniun  23315  fta1g  23927  fta1  24063  rpvmasum  25215  bj-projval  32984  finxpnom  33238  ipo0  38653  ifr0  38654  limclner  39883