Theorem nlelshi 28919

Description: The null space of a linear functional is a subspace. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
nlelsh.1	|- T e. LinFn

Assertion

Ref	Expression
nlelshi	|- ( null ` T ) e. SH

Proof of Theorem nlelshi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 27860	. . 3 |- 0h e. ~H
2		nlelsh.1	. . . 4 |- T e. LinFn
3	2	lnfn0i 28901	. . 3 |- ( T ` 0h ) = 0
4	2	lnfnfi 28900	. . . 4 |- T : ~H --> CC
5		elnlfn 28787	. . . 4 |- ( T : ~H --> CC -> ( 0h e. ( null ` T ) <-> ( 0h e. ~H /\ ( T ` 0h ) = 0 ) ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 |- ( 0h e. ( null ` T ) <-> ( 0h e. ~H /\ ( T ` 0h ) = 0 ) )
7	1, 3, 6	mpbir2an 955	. 2 |- 0h e. ( null ` T )
8		nlfnval 28740	. . . . . . . . . 10 |- ( T : ~H --> CC -> ( null ` T ) = ( `' T " { 0 } ) )
9	4, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( null ` T ) = ( `' T " { 0 } )
10		cnvimass 5485	. . . . . . . . 9 |- ( `' T " { 0 } ) C_ dom T
11	9, 10	eqsstri 3635	. . . . . . . 8 |- ( null ` T ) C_ dom T
12	4	fdmi 6052	. . . . . . . 8 |- dom T = ~H
13	11, 12	sseqtri 3637	. . . . . . 7 |- ( null ` T ) C_ ~H
14	13	sseli 3599	. . . . . 6 |- ( x e. ( null ` T ) -> x e. ~H )
15	13	sseli 3599	. . . . . 6 |- ( y e. ( null ` T ) -> y e. ~H )
16		hvaddcl 27869	. . . . . 6 |- ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( x +h y ) e. ~H )
17	14, 15, 16	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( x e. ( null ` T ) /\ y e. ( null ` T ) ) -> ( x +h y ) e. ~H )
18	2	lnfnaddi 28902	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( T ` ( x +h y ) ) = ( ( T ` x ) + ( T ` y ) ) )
19	14, 15, 18	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( null ` T ) /\ y e. ( null ` T ) ) -> ( T ` ( x +h y ) ) = ( ( T ` x ) + ( T ` y ) ) )
20		elnlfn 28787	. . . . . . . . . 10 |- ( T : ~H --> CC -> ( x e. ( null ` T ) <-> ( x e. ~H /\ ( T ` x ) = 0 ) ) )
21	4, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( null ` T ) <-> ( x e. ~H /\ ( T ` x ) = 0 ) )
22	21	simprbi 480	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( null ` T ) -> ( T ` x ) = 0 )
23		elnlfn 28787	. . . . . . . . . 10 |- ( T : ~H --> CC -> ( y e. ( null ` T ) <-> ( y e. ~H /\ ( T ` y ) = 0 ) ) )
24	4, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( null ` T ) <-> ( y e. ~H /\ ( T ` y ) = 0 ) )
25	24	simprbi 480	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( null ` T ) -> ( T ` y ) = 0 )
26	22, 25	oveqan12d 6669	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( null ` T ) /\ y e. ( null ` T ) ) -> ( ( T ` x ) + ( T ` y ) ) = ( 0 + 0 ) )
27	19, 26	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( null ` T ) /\ y e. ( null ` T ) ) -> ( T ` ( x +h y ) ) = ( 0 + 0 ) )
28		00id 10211	. . . . . 6 |- ( 0 + 0 ) = 0
29	27, 28	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( ( x e. ( null ` T ) /\ y e. ( null ` T ) ) -> ( T ` ( x +h y ) ) = 0 )
30		elnlfn 28787	. . . . . 6 |- ( T : ~H --> CC -> ( ( x +h y ) e. ( null ` T ) <-> ( ( x +h y ) e. ~H /\ ( T ` ( x +h y ) ) = 0 ) ) )
31	4, 30	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( x +h y ) e. ( null ` T ) <-> ( ( x +h y ) e. ~H /\ ( T ` ( x +h y ) ) = 0 ) )
32	17, 29, 31	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ( x e. ( null ` T ) /\ y e. ( null ` T ) ) -> ( x +h y ) e. ( null ` T ) )
33	32	rgen2 2975	. . 3 |- A. x e. ( null ` T ) A. y e. ( null ` T ) ( x +h y ) e. ( null ` T )
34		hvmulcl 27870	. . . . . 6 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) -> ( x .h y ) e. ~H )
35	15, 34	sylan2 491	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. ( null ` T ) ) -> ( x .h y ) e. ~H )
36	2	lnfnmuli 28903	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. ~H ) -> ( T ` ( x .h y ) ) = ( x x. ( T ` y ) ) )
37	15, 36	sylan2 491	. . . . . 6 |- ( ( x e. CC /\ y e. ( null ` T ) ) -> ( T ` ( x .h y ) ) = ( x x. ( T ` y ) ) )
38	25	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( y e. ( null ` T ) -> ( x x. ( T ` y ) ) = ( x x. 0 ) )
39		mul01 10215	. . . . . . 7 |- ( x e. CC -> ( x x. 0 ) = 0 )
40	38, 39	sylan9eqr 2678	. . . . . 6 |- ( ( x e. CC /\ y e. ( null ` T ) ) -> ( x x. ( T ` y ) ) = 0 )
41	37, 40	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. ( null ` T ) ) -> ( T ` ( x .h y ) ) = 0 )
42		elnlfn 28787	. . . . . 6 |- ( T : ~H --> CC -> ( ( x .h y ) e. ( null ` T ) <-> ( ( x .h y ) e. ~H /\ ( T ` ( x .h y ) ) = 0 ) ) )
43	4, 42	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( x .h y ) e. ( null ` T ) <-> ( ( x .h y ) e. ~H /\ ( T ` ( x .h y ) ) = 0 ) )
44	35, 41, 43	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ( x e. CC /\ y e. ( null ` T ) ) -> ( x .h y ) e. ( null ` T ) )
45	44	rgen2 2975	. . 3 |- A. x e. CC A. y e. ( null ` T ) ( x .h y ) e. ( null ` T )
46	33, 45	pm3.2i 471	. 2 |- ( A. x e. ( null ` T ) A. y e. ( null ` T ) ( x +h y ) e. ( null ` T ) /\ A. x e. CC A. y e. ( null ` T ) ( x .h y ) e. ( null ` T ) )
47		issh3 28076	. . 3 |- ( ( null ` T ) C_ ~H -> ( ( null ` T ) e. SH <-> ( 0h e. ( null ` T ) /\ ( A. x e. ( null ` T ) A. y e. ( null ` T ) ( x +h y ) e. ( null ` T ) /\ A. x e. CC A. y e. ( null ` T ) ( x .h y ) e. ( null ` T ) ) ) ) )
48	13, 47	ax-mp 5	. 2 |- ( ( null ` T ) e. SH <-> ( 0h e. ( null ` T ) /\ ( A. x e. ( null ` T ) A. y e. ( null ` T ) ( x +h y ) e. ( null ` T ) /\ A. x e. CC A. y e. ( null ` T ) ( x .h y ) e. ( null ` T ) ) ) )
49	7, 46, 48	mpbir2an 955	1 |- ( null ` T ) e. SH

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   {csn 4177   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   ~Hchil 27776   +h cva 27777   .h csm 27778   0hc0v 27781   SHcsh 27785   nullcnl 27809   LinFnclf 27811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-sh 28064  df-nlfn 28705  df-lnfn 28707

This theorem is referenced by:  nlelchi  28920