Theorem nocvxminlem 31893

Description: Lemma for nocvxmin 31894. Given two birthday-minimal elements of a convex class of surreals, they are not comparable. (Contributed by Scott Fenton, 30-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nocvxminlem	|- ( ( A C_ No /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. No ( ( x <s z /\ z <s y ) -> z e. A ) ) -> ( ( ( X e. A /\ Y e. A ) /\ ( ( bday ` X ) = |^| ( bday " A ) /\ ( bday ` Y ) = |^| ( bday " A ) ) ) -> -. X <s Y ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   x, X, y, z   y, Y, z

Allowed substitution hint:   Y( x)

Proof of Theorem nocvxminlem

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = X -> ( x <s z <-> X <s z ) )
2	1	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = X -> ( ( x <s z /\ z <s y ) <-> ( X <s z /\ z <s y ) ) )
3	2	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = X -> ( ( ( x <s z /\ z <s y ) -> z e. A ) <-> ( ( X <s z /\ z <s y ) -> z e. A ) ) )
4	3	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = X -> ( A. z e. No ( ( x <s z /\ z <s y ) -> z e. A ) <-> A. z e. No ( ( X <s z /\ z <s y ) -> z e. A ) ) )
5		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = Y -> ( z <s y <-> z <s Y ) )
6	5	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = Y -> ( ( X <s z /\ z <s y ) <-> ( X <s z /\ z <s Y ) ) )
7	6	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = Y -> ( ( ( X <s z /\ z <s y ) -> z e. A ) <-> ( ( X <s z /\ z <s Y ) -> z e. A ) ) )
8	7	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = Y -> ( A. z e. No ( ( X <s z /\ z <s y ) -> z e. A ) <-> A. z e. No ( ( X <s z /\ z <s Y ) -> z e. A ) ) )
9	4, 8	rspc2v 3322	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. A /\ Y e. A ) -> ( A. x e. A A. y e. A A. z e. No ( ( x <s z /\ z <s y ) -> z e. A ) -> A. z e. No ( ( X <s z /\ z <s Y ) -> z e. A ) ) )
10		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = w -> ( X <s z <-> X <s w ) )
11		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = w -> ( z <s Y <-> w <s Y ) )
12	10, 11	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = w -> ( ( X <s z /\ z <s Y ) <-> ( X <s w /\ w <s Y ) ) )
13		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = w -> ( z e. A <-> w e. A ) )
14	12, 13	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = w -> ( ( ( X <s z /\ z <s Y ) -> z e. A ) <-> ( ( X <s w /\ w <s Y ) -> w e. A ) ) )
15	14	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. No -> ( A. z e. No ( ( X <s z /\ z <s Y ) -> z e. A ) -> ( ( X <s w /\ w <s Y ) -> w e. A ) ) )
16		bdaydm 31890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- dom bday = No
17	16	sseq2i 3630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A C_ dom bday <-> A C_ No )
18		bdayfun 31888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- Fun bday
19		funfvima2 6493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( Fun bday /\ A C_ dom bday ) -> ( w e. A -> ( bday ` w ) e. ( bday " A ) ) )
20	18, 19	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A C_ dom bday -> ( w e. A -> ( bday ` w ) e. ( bday " A ) ) )
21	17, 20	sylbir 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A C_ No -> ( w e. A -> ( bday ` w ) e. ( bday " A ) ) )
22	21	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A C_ No /\ w e. A ) -> ( bday ` w ) e. ( bday " A ) )
23		intss1 4492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( bday ` w ) e. ( bday " A ) -> |^| ( bday " A ) C_ ( bday ` w ) )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A C_ No /\ w e. A ) -> |^| ( bday " A ) C_ ( bday ` w ) )
25		imassrn 5477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( bday " A ) C_ ran bday
26		bdayrn 31891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ran bday = On
27	25, 26	sseqtri 3637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( bday " A ) C_ On
28		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( bday ` w ) e. ( bday " A ) -> ( bday " A ) =/= (/) )
29	22, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A C_ No /\ w e. A ) -> ( bday " A ) =/= (/) )
30		oninton 7000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( bday " A ) C_ On /\ ( bday " A ) =/= (/) ) -> |^| ( bday " A ) e. On )
31	27, 29, 30	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A C_ No /\ w e. A ) -> |^| ( bday " A ) e. On )
32		bdayelon 31892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( bday ` w ) e. On
33		ontri1 5757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( |^| ( bday " A ) e. On /\ ( bday ` w ) e. On ) -> ( |^| ( bday " A ) C_ ( bday ` w ) <-> -. ( bday ` w ) e. |^| ( bday " A ) ) )
34	31, 32, 33	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A C_ No /\ w e. A ) -> ( |^| ( bday " A ) C_ ( bday ` w ) <-> -. ( bday ` w ) e. |^| ( bday " A ) ) )
35	24, 34	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A C_ No /\ w e. A ) -> -. ( bday ` w ) e. |^| ( bday " A ) )
36	35	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A C_ No -> ( w e. A -> -. ( bday ` w ) e. |^| ( bday " A ) ) )
37		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( bday ` X ) = |^| ( bday " A ) -> ( ( bday ` w ) e. ( bday ` X ) <-> ( bday ` w ) e. |^| ( bday " A ) ) )
38	37	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( bday ` X ) = |^| ( bday " A ) -> ( -. ( bday ` w ) e. ( bday ` X ) <-> -. ( bday ` w ) e. |^| ( bday " A ) ) )
39	38	biimprcd 240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( bday ` w ) e. |^| ( bday " A ) -> ( ( bday ` X ) = |^| ( bday " A ) -> -. ( bday ` w ) e. ( bday ` X ) ) )
40	36, 39	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A C_ No -> ( w e. A -> ( ( bday ` X ) = |^| ( bday " A ) -> -. ( bday ` w ) e. ( bday ` X ) ) ) )
41	40	com3l 89	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. A -> ( ( bday ` X ) = |^| ( bday " A ) -> ( A C_ No -> -. ( bday ` w ) e. ( bday ` X ) ) ) )
42	41	adantrd 484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. A -> ( ( ( bday ` X ) = |^| ( bday " A ) /\ ( bday ` Y ) = |^| ( bday " A ) ) -> ( A C_ No -> -. ( bday ` w ) e. ( bday ` X ) ) ) )
43	15, 42	syl8 76	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. No -> ( A. z e. No ( ( X <s z /\ z <s Y ) -> z e. A ) -> ( ( X <s w /\ w <s Y ) -> ( ( ( bday ` X ) = |^| ( bday " A ) /\ ( bday ` Y ) = |^| ( bday " A ) ) -> ( A C_ No -> -. ( bday ` w ) e. ( bday ` X ) ) ) ) ) )
44	43	com35 98	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. No -> ( A. z e. No ( ( X <s z /\ z <s Y ) -> z e. A ) -> ( A C_ No -> ( ( ( bday ` X ) = |^| ( bday " A ) /\ ( bday ` Y ) = |^| ( bday " A ) ) -> ( ( X <s w /\ w <s Y ) -> -. ( bday ` w ) e. ( bday ` X ) ) ) ) ) )
45	44	com4l 92	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. No ( ( X <s z /\ z <s Y ) -> z e. A ) -> ( A C_ No -> ( ( ( bday ` X ) = |^| ( bday " A ) /\ ( bday ` Y ) = |^| ( bday " A ) ) -> ( w e. No -> ( ( X <s w /\ w <s Y ) -> -. ( bday ` w ) e. ( bday ` X ) ) ) ) ) )
46	9, 45	syl6 35	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. A /\ Y e. A ) -> ( A. x e. A A. y e. A A. z e. No ( ( x <s z /\ z <s y ) -> z e. A ) -> ( A C_ No -> ( ( ( bday ` X ) = |^| ( bday " A ) /\ ( bday ` Y ) = |^| ( bday " A ) ) -> ( w e. No -> ( ( X <s w /\ w <s Y ) -> -. ( bday ` w ) e. ( bday ` X ) ) ) ) ) ) )
47	46	com3l 89	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. No ( ( x <s z /\ z <s y ) -> z e. A ) -> ( A C_ No -> ( ( X e. A /\ Y e. A ) -> ( ( ( bday ` X ) = |^| ( bday " A ) /\ ( bday ` Y ) = |^| ( bday " A ) ) -> ( w e. No -> ( ( X <s w /\ w <s Y ) -> -. ( bday ` w ) e. ( bday ` X ) ) ) ) ) ) )
48	47	impcom 446	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ No /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. No ( ( x <s z /\ z <s y ) -> z e. A ) ) -> ( ( X e. A /\ Y e. A ) -> ( ( ( bday ` X ) = |^| ( bday " A ) /\ ( bday ` Y ) = |^| ( bday " A ) ) -> ( w e. No -> ( ( X <s w /\ w <s Y ) -> -. ( bday ` w ) e. ( bday ` X ) ) ) ) ) )
49	48	imp42 620	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ No /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. No ( ( x <s z /\ z <s y ) -> z e. A ) ) /\ ( ( X e. A /\ Y e. A ) /\ ( ( bday ` X ) = |^| ( bday " A ) /\ ( bday ` Y ) = |^| ( bday " A ) ) ) ) /\ w e. No ) -> ( ( X <s w /\ w <s Y ) -> -. ( bday ` w ) e. ( bday ` X ) ) )
50	49	con2d 129	. . . . 5 |- ( ( ( ( A C_ No /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. No ( ( x <s z /\ z <s y ) -> z e. A ) ) /\ ( ( X e. A /\ Y e. A ) /\ ( ( bday ` X ) = |^| ( bday " A ) /\ ( bday ` Y ) = |^| ( bday " A ) ) ) ) /\ w e. No ) -> ( ( bday ` w ) e. ( bday ` X ) -> -. ( X <s w /\ w <s Y ) ) )
51		3anass 1042	. . . . . . 7 |- ( ( ( bday ` w ) e. ( bday ` X ) /\ X <s w /\ w <s Y ) <-> ( ( bday ` w ) e. ( bday ` X ) /\ ( X <s w /\ w <s Y ) ) )
52	51	notbii 310	. . . . . 6 |- ( -. ( ( bday ` w ) e. ( bday ` X ) /\ X <s w /\ w <s Y ) <-> -. ( ( bday ` w ) e. ( bday ` X ) /\ ( X <s w /\ w <s Y ) ) )
53		imnan 438	. . . . . 6 |- ( ( ( bday ` w ) e. ( bday ` X ) -> -. ( X <s w /\ w <s Y ) ) <-> -. ( ( bday ` w ) e. ( bday ` X ) /\ ( X <s w /\ w <s Y ) ) )
54	52, 53	bitr4i 267	. . . . 5 |- ( -. ( ( bday ` w ) e. ( bday ` X ) /\ X <s w /\ w <s Y ) <-> ( ( bday ` w ) e. ( bday ` X ) -> -. ( X <s w /\ w <s Y ) ) )
55	50, 54	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( ( ( A C_ No /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. No ( ( x <s z /\ z <s y ) -> z e. A ) ) /\ ( ( X e. A /\ Y e. A ) /\ ( ( bday ` X ) = |^| ( bday " A ) /\ ( bday ` Y ) = |^| ( bday " A ) ) ) ) /\ w e. No ) -> -. ( ( bday ` w ) e. ( bday ` X ) /\ X <s w /\ w <s Y ) )
56	55	nrexdv 3001	. . 3 |- ( ( ( A C_ No /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. No ( ( x <s z /\ z <s y ) -> z e. A ) ) /\ ( ( X e. A /\ Y e. A ) /\ ( ( bday ` X ) = |^| ( bday " A ) /\ ( bday ` Y ) = |^| ( bday " A ) ) ) ) -> -. E. w e. No ( ( bday ` w ) e. ( bday ` X ) /\ X <s w /\ w <s Y ) )
57		ssel 3597	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ No -> ( X e. A -> X e. No ) )
58		ssel 3597	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ No -> ( Y e. A -> Y e. No ) )
59	57, 58	anim12d 586	. . . . . . . 8 |- ( A C_ No -> ( ( X e. A /\ Y e. A ) -> ( X e. No /\ Y e. No ) ) )
60	59	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ No /\ ( X e. A /\ Y e. A ) ) -> ( X e. No /\ Y e. No ) )
61		eqtr3 2643	. . . . . . 7 |- ( ( ( bday ` X ) = |^| ( bday " A ) /\ ( bday ` Y ) = |^| ( bday " A ) ) -> ( bday ` X ) = ( bday ` Y ) )
62	60, 61	anim12i 590	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ No /\ ( X e. A /\ Y e. A ) ) /\ ( ( bday ` X ) = |^| ( bday " A ) /\ ( bday ` Y ) = |^| ( bday " A ) ) ) -> ( ( X e. No /\ Y e. No ) /\ ( bday ` X ) = ( bday ` Y ) ) )
63	62	anasss 679	. . . . 5 |- ( ( A C_ No /\ ( ( X e. A /\ Y e. A ) /\ ( ( bday ` X ) = |^| ( bday " A ) /\ ( bday ` Y ) = |^| ( bday " A ) ) ) ) -> ( ( X e. No /\ Y e. No ) /\ ( bday ` X ) = ( bday ` Y ) ) )
64	63	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( A C_ No /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. No ( ( x <s z /\ z <s y ) -> z e. A ) ) /\ ( ( X e. A /\ Y e. A ) /\ ( ( bday ` X ) = |^| ( bday " A ) /\ ( bday ` Y ) = |^| ( bday " A ) ) ) ) -> ( ( X e. No /\ Y e. No ) /\ ( bday ` X ) = ( bday ` Y ) ) )
65		nodense 31842	. . . . 5 |- ( ( ( X e. No /\ Y e. No ) /\ ( ( bday ` X ) = ( bday ` Y ) /\ X <s Y ) ) -> E. w e. No ( ( bday ` w ) e. ( bday ` X ) /\ X <s w /\ w <s Y ) )
66	65	anassrs 680	. . . 4 |- ( ( ( ( X e. No /\ Y e. No ) /\ ( bday ` X ) = ( bday ` Y ) ) /\ X <s Y ) -> E. w e. No ( ( bday ` w ) e. ( bday ` X ) /\ X <s w /\ w <s Y ) )
67	64, 66	sylan 488	. . 3 |- ( ( ( ( A C_ No /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. No ( ( x <s z /\ z <s y ) -> z e. A ) ) /\ ( ( X e. A /\ Y e. A ) /\ ( ( bday ` X ) = |^| ( bday " A ) /\ ( bday ` Y ) = |^| ( bday " A ) ) ) ) /\ X <s Y ) -> E. w e. No ( ( bday ` w ) e. ( bday ` X ) /\ X <s w /\ w <s Y ) )
68	56, 67	mtand 691	. 2 |- ( ( ( A C_ No /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. No ( ( x <s z /\ z <s y ) -> z e. A ) ) /\ ( ( X e. A /\ Y e. A ) /\ ( ( bday ` X ) = |^| ( bday " A ) /\ ( bday ` Y ) = |^| ( bday " A ) ) ) ) -> -. X <s Y )
69	68	ex 450	1 |- ( ( A C_ No /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. No ( ( x <s z /\ z <s y ) -> z e. A ) ) -> ( ( ( X e. A /\ Y e. A ) /\ ( ( bday ` X ) = |^| ( bday " A ) /\ ( bday ` Y ) = |^| ( bday " A ) ) ) -> -. X <s Y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   |^|cint 4475   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Oncon0 5723   Fun wfun 5882   ` cfv 5888   Nocsur 31793   <scslt 31794   bdaycbday 31795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-1o 7560  df-2o 7561  df-no 31796  df-slt 31797  df-bday 31798

This theorem is referenced by:  nocvxmin  31894