Theorem ontri1 5757

Description: A trichotomy law for ordinal numbers. (Contributed by NM, 6-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ontri1	|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )

Proof of Theorem ontri1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 5733	. 2 |- ( A e. On -> Ord A )
2		eloni 5733	. 2 |- ( B e. On -> Ord B )
3		ordtri1 5756	. 2 |- ( ( Ord A /\ Ord B ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )
4	1, 2, 3	syl2an 494	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   C_ wss 3574   Ord word 5722   Oncon0 5723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-ord 5726  df-on 5727

This theorem is referenced by:  oneqmini  5776  onmindif  5815  onint  6995  onnmin  7003  onmindif2  7012  dfom2  7067  ondif2  7582  oaword  7629  oawordeulem  7634  oaf1o  7643  odi  7659  omeulem1  7662  oeeulem  7681  oeeui  7682  nnmword  7713  domtriord  8106  sdomel  8107  onsdominel  8109  ordunifi  8210  cantnfp1lem3  8577  oemapvali  8581  cantnflem1b  8583  cantnflem1  8586  cnfcom3lem  8600  rankr1clem  8683  rankelb  8687  rankval3b  8689  rankr1a  8699  unbndrank  8705  rankxplim3  8744  cardne  8791  carden2b  8793  cardsdomel  8800  carddom2  8803  harcard  8804  domtri2  8815  infxpenlem  8836  alephord  8898  alephord3  8901  alephle  8911  dfac12k  8969  cflim2  9085  cofsmo  9091  cfsmolem  9092  isf32lem5  9179  pwcfsdom  9405  pwfseqlem3  9482  inar1  9597  om2uzlt2i  12750  sltval2  31809  sltres  31815  nosepssdm  31836  nolt02olem  31844  nolt02o  31845  noetalem3  31865  nocvxminlem  31893  onsuct0  32440  onint1  32448