Theorem ococss 28152

Description: Inclusion in complement of complement. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 9-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ococss	|- ( A C_ ~H -> A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` A ) ) )

Proof of Theorem ococss

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3597	. . . 4 |- ( A C_ ~H -> ( y e. A -> y e. ~H ) )
2		ocorth 28150	. . . . . 6 |- ( A C_ ~H -> ( ( y e. A /\ x e. ( _|_ ` A ) ) -> ( y .ih x ) = 0 ) )
3	2	expd 452	. . . . 5 |- ( A C_ ~H -> ( y e. A -> ( x e. ( _|_ ` A ) -> ( y .ih x ) = 0 ) ) )
4	3	ralrimdv 2968	. . . 4 |- ( A C_ ~H -> ( y e. A -> A. x e. ( _|_ ` A ) ( y .ih x ) = 0 ) )
5	1, 4	jcad 555	. . 3 |- ( A C_ ~H -> ( y e. A -> ( y e. ~H /\ A. x e. ( _|_ ` A ) ( y .ih x ) = 0 ) ) )
6		ocss 28144	. . . 4 |- ( A C_ ~H -> ( _|_ ` A ) C_ ~H )
7		ocel 28140	. . . 4 |- ( ( _|_ ` A ) C_ ~H -> ( y e. ( _|_ ` ( _|_ ` A ) ) <-> ( y e. ~H /\ A. x e. ( _|_ ` A ) ( y .ih x ) = 0 ) ) )
8	6, 7	syl 17	. . 3 |- ( A C_ ~H -> ( y e. ( _|_ ` ( _|_ ` A ) ) <-> ( y e. ~H /\ A. x e. ( _|_ ` A ) ( y .ih x ) = 0 ) ) )
9	5, 8	sylibrd 249	. 2 |- ( A C_ ~H -> ( y e. A -> y e. ( _|_ ` ( _|_ ` A ) ) ) )
10	9	ssrdv 3609	1 |- ( A C_ ~H -> A C_ ( _|_ ` ( _|_ ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   ~Hchil 27776   .ih csp 27779   _|_cort 27787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hv0cl 27860  ax-hfvmul 27862  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sh 28064  df-oc 28109

This theorem is referenced by:  shococss  28153  occon3  28156  hsupunss  28202  spanssoc  28208  shunssji  28228  ococin  28267  sshhococi  28405  h1did  28410  spansnpji  28437  pjoccoi  29037