Theorem ogrpaddltbi 29719

Description: In a right ordered group, strict ordering is compatible with group addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ogrpaddlt.0	|- B = ( Base ` G )
ogrpaddlt.1	|- .< = ( lt ` G )
ogrpaddlt.2	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
ogrpaddltbi	|- ( ( G e. oGrp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .< Y <-> ( X .+ Z ) .< ( Y .+ Z ) ) )

Proof of Theorem ogrpaddltbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ogrpaddlt.0	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
2		ogrpaddlt.1	. . . 4 |- .< = ( lt ` G )
3		ogrpaddlt.2	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
4	1, 2, 3	ogrpaddlt 29718	. . 3 |- ( ( G e. oGrp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ X .< Y ) -> ( X .+ Z ) .< ( Y .+ Z ) )
5	4	3expa 1265	. 2 |- ( ( ( G e. oGrp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ X .< Y ) -> ( X .+ Z ) .< ( Y .+ Z ) )
6		simpll 790	. . . 4 |- ( ( ( G e. oGrp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( X .+ Z ) .< ( Y .+ Z ) ) -> G e. oGrp )
7		ogrpgrp 29703	. . . . . 6 |- ( G e. oGrp -> G e. Grp )
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( G e. oGrp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( X .+ Z ) .< ( Y .+ Z ) ) -> G e. Grp )
9		simplr1 1103	. . . . 5 |- ( ( ( G e. oGrp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( X .+ Z ) .< ( Y .+ Z ) ) -> X e. B )
10		simplr3 1105	. . . . 5 |- ( ( ( G e. oGrp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( X .+ Z ) .< ( Y .+ Z ) ) -> Z e. B )
11	1, 3	grpcl 17430	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Z e. B ) -> ( X .+ Z ) e. B )
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( G e. oGrp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( X .+ Z ) .< ( Y .+ Z ) ) -> ( X .+ Z ) e. B )
13		simplr2 1104	. . . . 5 |- ( ( ( G e. oGrp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( X .+ Z ) .< ( Y .+ Z ) ) -> Y e. B )
14	1, 3	grpcl 17430	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( Y .+ Z ) e. B )
15	8, 13, 10, 14	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( G e. oGrp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( X .+ Z ) .< ( Y .+ Z ) ) -> ( Y .+ Z ) e. B )
16		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
17	1, 16	grpinvcl 17467	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
18	8, 10, 17	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( G e. oGrp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( X .+ Z ) .< ( Y .+ Z ) ) -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
19		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ( G e. oGrp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( X .+ Z ) .< ( Y .+ Z ) ) -> ( X .+ Z ) .< ( Y .+ Z ) )
20	1, 2, 3	ogrpaddlt 29718	. . . 4 |- ( ( G e. oGrp /\ ( ( X .+ Z ) e. B /\ ( Y .+ Z ) e. B /\ ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B ) /\ ( X .+ Z ) .< ( Y .+ Z ) ) -> ( ( X .+ Z ) .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) .< ( ( Y .+ Z ) .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
21	6, 12, 15, 18, 19, 20	syl131anc 1339	. . 3 |- ( ( ( G e. oGrp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( X .+ Z ) .< ( Y .+ Z ) ) -> ( ( X .+ Z ) .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) .< ( ( Y .+ Z ) .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) )
22	1, 3	grpass 17431	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Z e. B /\ ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B ) ) -> ( ( X .+ Z ) .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) = ( X .+ ( Z .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) ) )
23	8, 9, 10, 18, 22	syl13anc 1328	. . . 4 |- ( ( ( G e. oGrp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( X .+ Z ) .< ( Y .+ Z ) ) -> ( ( X .+ Z ) .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) = ( X .+ ( Z .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) ) )
24		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
25	1, 3, 24, 16	grprinv 17469	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B ) -> ( Z .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) = ( 0g ` G ) )
26	8, 10, 25	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( G e. oGrp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( X .+ Z ) .< ( Y .+ Z ) ) -> ( Z .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) = ( 0g ` G ) )
27	26	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ( G e. oGrp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( X .+ Z ) .< ( Y .+ Z ) ) -> ( X .+ ( Z .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) ) = ( X .+ ( 0g ` G ) ) )
28	1, 3, 24	grprid 17453	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = X )
29	8, 9, 28	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( G e. oGrp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( X .+ Z ) .< ( Y .+ Z ) ) -> ( X .+ ( 0g ` G ) ) = X )
30	23, 27, 29	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ( ( G e. oGrp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( X .+ Z ) .< ( Y .+ Z ) ) -> ( ( X .+ Z ) .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) = X )
31	1, 3	grpass 17431	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ Z e. B /\ ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B ) ) -> ( ( Y .+ Z ) .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) = ( Y .+ ( Z .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) ) )
32	8, 13, 10, 18, 31	syl13anc 1328	. . . 4 |- ( ( ( G e. oGrp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( X .+ Z ) .< ( Y .+ Z ) ) -> ( ( Y .+ Z ) .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) = ( Y .+ ( Z .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) ) )
33	26	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ( G e. oGrp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( X .+ Z ) .< ( Y .+ Z ) ) -> ( Y .+ ( Z .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) ) = ( Y .+ ( 0g ` G ) ) )
34	1, 3, 24	grprid 17453	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( Y .+ ( 0g ` G ) ) = Y )
35	8, 13, 34	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( G e. oGrp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( X .+ Z ) .< ( Y .+ Z ) ) -> ( Y .+ ( 0g ` G ) ) = Y )
36	32, 33, 35	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ( ( G e. oGrp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( X .+ Z ) .< ( Y .+ Z ) ) -> ( ( Y .+ Z ) .+ ( ( invg ` G ) ` Z ) ) = Y )
37	21, 30, 36	3brtr3d 4684	. 2 |- ( ( ( G e. oGrp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( X .+ Z ) .< ( Y .+ Z ) ) -> X .< Y )
38	5, 37	impbida 877	1 |- ( ( G e. oGrp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .< Y <-> ( X .+ Z ) .< ( Y .+ Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   ltcplt 16941   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423  oGrpcogrp 29698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-0g 16102  df-plt 16958  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-omnd 29699  df-ogrp 29700

This theorem is referenced by:  ogrpinvlt  29724