Theorem ogrpaddltrd 29720

Description: In a right ordered group, strict ordering is compatible with group addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ogrpaddlt.0	|- B = ( Base ` G )
ogrpaddlt.1	|- .< = ( lt ` G )
ogrpaddlt.2	|- .+ = ( +g ` G )
ogrpaddltrd.1	|- ( ph -> G e. V )
ogrpaddltrd.2	|- ( ph -> (oppg ` G ) e. oGrp )
ogrpaddltrd.3	|- ( ph -> X e. B )
ogrpaddltrd.4	|- ( ph -> Y e. B )
ogrpaddltrd.5	|- ( ph -> Z e. B )
ogrpaddltrd.6	|- ( ph -> X .< Y )

Assertion

Ref	Expression
ogrpaddltrd	|- ( ph -> ( Z .+ X ) .< ( Z .+ Y ) )

Proof of Theorem ogrpaddltrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ogrpaddltrd.2	. . . 4 |- ( ph -> (oppg ` G ) e. oGrp )
2		ogrpaddltrd.3	. . . 4 |- ( ph -> X e. B )
3		ogrpaddltrd.4	. . . 4 |- ( ph -> Y e. B )
4		ogrpaddltrd.5	. . . 4 |- ( ph -> Z e. B )
5		ogrpaddltrd.6	. . . . 5 |- ( ph -> X .< Y )
6		ogrpaddltrd.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. V )
7		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- (oppg ` G ) = (oppg ` G )
8		ogrpaddlt.1	. . . . . . . 8 |- .< = ( lt ` G )
9	7, 8	oppglt 29654	. . . . . . 7 |- ( G e. V -> .< = ( lt ` (oppg ` G ) ) )
10	6, 9	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> .< = ( lt ` (oppg ` G ) ) )
11	10	breqd 4664	. . . . 5 |- ( ph -> ( X .< Y <-> X ( lt ` (oppg ` G ) ) Y ) )
12	5, 11	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> X ( lt ` (oppg ` G ) ) Y )
13		ogrpaddlt.0	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
14	7, 13	oppgbas 17781	. . . . 5 |- B = ( Base ` (oppg ` G ) )
15		eqid 2622	. . . . 5 |- ( lt ` (oppg ` G ) ) = ( lt ` (oppg ` G ) )
16		eqid 2622	. . . . 5 |- ( +g ` (oppg ` G ) ) = ( +g ` (oppg ` G ) )
17	14, 15, 16	ogrpaddlt 29718	. . . 4 |- ( ( (oppg ` G ) e. oGrp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ X ( lt ` (oppg ` G ) ) Y ) -> ( X ( +g ` (oppg ` G ) ) Z ) ( lt ` (oppg ` G ) ) ( Y ( +g ` (oppg ` G ) ) Z ) )
18	1, 2, 3, 4, 12, 17	syl131anc 1339	. . 3 |- ( ph -> ( X ( +g ` (oppg ` G ) ) Z ) ( lt ` (oppg ` G ) ) ( Y ( +g ` (oppg ` G ) ) Z ) )
19		ogrpaddlt.2	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
20	19, 7, 16	oppgplus 17779	. . 3 |- ( X ( +g ` (oppg ` G ) ) Z ) = ( Z .+ X )
21	19, 7, 16	oppgplus 17779	. . 3 |- ( Y ( +g ` (oppg ` G ) ) Z ) = ( Z .+ Y )
22	18, 20, 21	3brtr3g 4686	. 2 |- ( ph -> ( Z .+ X ) ( lt ` (oppg ` G ) ) ( Z .+ Y ) )
23	10	breqd 4664	. 2 |- ( ph -> ( ( Z .+ X ) .< ( Z .+ Y ) <-> ( Z .+ X ) ( lt ` (oppg ` G ) ) ( Z .+ Y ) ) )
24	22, 23	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( Z .+ X ) .< ( Z .+ Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   ltcplt 16941  opp_gcoppg 17775  oGrpcogrp 29698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-dec 11494  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-ple 15961  df-0g 16102  df-plt 16958  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-oppg 17776  df-omnd 29699  df-ogrp 29700

This theorem is referenced by:  ogrpaddltrbid  29721  archiabllem2a  29748  archiabllem2c  29749