Theorem grprid 17453

Description: The identity element of a group is a right identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	|- B = ( Base ` G )
grplid.p	|- .+ = ( +g ` G )
grplid.o	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grprid	|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ .0. ) = X )

Proof of Theorem grprid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 17429	. 2 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
2		grpbn0.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		grplid.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
4		grplid.o	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
5	2, 3, 4	mndrid 17312	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( X .+ .0. ) = X )
6	1, 5	sylan 488	1 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ .0. ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425

This theorem is referenced by:  grprcan  17455  grpinvid1  17470  grpinvid2  17471  grpidinv2  17474  grpasscan2  17479  grpidrcan  17480  grpsubid1  17500  grpsubadd  17503  grppncan  17506  mulgaddcom  17564  mulgdirlem  17572  mulgmodid  17581  nmzsubg  17635  0nsg  17639  cntzsubg  17769  cayleylem2  17833  odbezout  17975  lsmdisj2  18095  pj1lid  18114  frgpuplem  18185  abladdsub4  18219  odadd2  18252  gex2abl  18254  ringlz  18587  isabvd  18820  lmod0vrid  18894  lmodfopne  18901  islmhm2  19038  mplcoe1  19465  lsmcss  20036  mdetero  20416  mdetunilem6  20423  opnsubg  21911  tgpconncompeqg  21915  snclseqg  21919  clmvz  22911  deg1add  23863  ogrpaddltbi  29719  ogrpinvlt  29724  archiabllem2a  29748  archiabllem2c  29749  lflmul  34355  cdlemn4  36487  mapdh6cN  37027  hdmap1l6c  37102  hdmapinvlem3  37212  hdmapinvlem4  37213  hdmapglem7b  37220  rnglz  41884