Theorem ordtrestNEW 29967

Description: The subspace topology of an order topology is in general finer than the topology generated by the restricted order, but we do have inclusion in one direction. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordtNEW.b	|- B = ( Base ` K )
ordtNEW.l	|- .<_ = ( ( le ` K ) i^i ( B X. B ) )

Assertion

Ref	Expression
ordtrestNEW	|- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) C_ ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) )

Proof of Theorem ordtrestNEW

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtNEW.l	. . . . 5 |- .<_ = ( ( le ` K ) i^i ( B X. B ) )
2		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( le ` K ) e. _V
3	2	inex1 4799	. . . . 5 |- ( ( le ` K ) i^i ( B X. B ) ) e. _V
4	1, 3	eqeltri 2697	. . . 4 |- .<_ e. _V
5	4	inex1 4799	. . 3 |- ( .<_ i^i ( A X. A ) ) e. _V
6		eqid 2622	. . . 4 |- dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = dom ( .<_ i^i ( A X. A ) )
7		eqid 2622	. . . 4 |- ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } ) = ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } )
8		eqid 2622	. . . 4 |- ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } ) = ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } )
9	6, 7, 8	ordtval 20993	. . 3 |- ( ( .<_ i^i ( A X. A ) ) e. _V -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) = ( topGen ` ( fi ` ( { dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) } u. ( ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } ) u. ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } ) ) ) ) ) )
10	5, 9	mp1i 13	. 2 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) = ( topGen ` ( fi ` ( { dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) } u. ( ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } ) u. ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } ) ) ) ) ) )
11		ordttop 21004	. . . . . 6 |- ( .<_ e. _V -> (ordTop ` .<_ ) e. Top )
12	4, 11	ax-mp 5	. . . . 5 |- (ordTop ` .<_ ) e. Top
13		ordtNEW.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` K )
14		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( Base ` K ) e. _V
15	13, 14	eqeltri 2697	. . . . . 6 |- B e. _V
16	15	ssex 4802	. . . . 5 |- ( A C_ B -> A e. _V )
17		resttop 20964	. . . . 5 |- ( ( (ordTop ` .<_ ) e. Top /\ A e. _V ) -> ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) e. Top )
18	12, 16, 17	sylancr 695	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) e. Top )
19	18	adantl 482	. . 3 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) e. Top )
20	13	ressprs 29655	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> ( K ↾s A ) e. Preset )
21		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` ( K ↾s A ) ) = ( Base ` ( K ↾s A ) )
22		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( ( le ` ( K ↾s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) ) = ( ( le ` ( K ↾s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) )
23	21, 22	prsdm 29960	. . . . . . . . 9 |- ( ( K ↾s A ) e. Preset -> dom ( ( le ` ( K ↾s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) ) = ( Base ` ( K ↾s A ) ) )
24	20, 23	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> dom ( ( le ` ( K ↾s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) ) = ( Base ` ( K ↾s A ) ) )
25		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K ↾s A ) = ( K ↾s A )
26	25, 13	ressbas2 15931	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A C_ B -> A = ( Base ` ( K ↾s A ) ) )
27		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` ( K ↾s A ) ) e. _V
28	26, 27	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ B -> A e. _V )
29		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
30	25, 29	ressle 16059	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. _V -> ( le ` K ) = ( le ` ( K ↾s A ) ) )
31	28, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ B -> ( le ` K ) = ( le ` ( K ↾s A ) ) )
32	31	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> ( le ` K ) = ( le ` ( K ↾s A ) ) )
33	26	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> A = ( Base ` ( K ↾s A ) ) )
34	33	sqxpeqd 5141	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> ( A X. A ) = ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) )
35	32, 34	ineq12d 3815	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> ( ( le ` K ) i^i ( A X. A ) ) = ( ( le ` ( K ↾s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) ) )
36	35	dmeqd 5326	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> dom ( ( le ` K ) i^i ( A X. A ) ) = dom ( ( le ` ( K ↾s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) ) )
37	24, 36, 33	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> dom ( ( le ` K ) i^i ( A X. A ) ) = A )
38	13, 1	prsss 29962	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = ( ( le ` K ) i^i ( A X. A ) ) )
39	38	dmeqd 5326	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = dom ( ( le ` K ) i^i ( A X. A ) ) )
40	13, 1	prsdm 29960	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. Preset -> dom .<_ = B )
41	40	sseq2d 3633	. . . . . . . . 9 |- ( K e. Preset -> ( A C_ dom .<_ <-> A C_ B ) )
42	41	biimpar 502	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> A C_ dom .<_ )
43		sseqin2 3817	. . . . . . . 8 |- ( A C_ dom .<_ <-> ( dom .<_ i^i A ) = A )
44	42, 43	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> ( dom .<_ i^i A ) = A )
45	37, 39, 44	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = ( dom .<_ i^i A ) )
46	4, 11	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> (ordTop ` .<_ ) e. Top )
47	16	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> A e. _V )
48		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- dom .<_ = dom .<_
49	48	ordttopon 20997	. . . . . . . . 9 |- ( .<_ e. _V -> (ordTop ` .<_ ) e. (TopOn ` dom .<_ ) )
50	4, 49	mp1i 13	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> (ordTop ` .<_ ) e. (TopOn ` dom .<_ ) )
51		toponmax 20730	. . . . . . . 8 |- ( (ordTop ` .<_ ) e. (TopOn ` dom .<_ ) -> dom .<_ e. (ordTop ` .<_ ) )
52	50, 51	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> dom .<_ e. (ordTop ` .<_ ) )
53		elrestr 16089	. . . . . . 7 |- ( ( (ordTop ` .<_ ) e. Top /\ A e. _V /\ dom .<_ e. (ordTop ` .<_ ) ) -> ( dom .<_ i^i A ) e. ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) )
54	46, 47, 52, 53	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> ( dom .<_ i^i A ) e. ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) )
55	45, 54	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) e. ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) )
56	55	snssd 4340	. . . 4 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> { dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) } C_ ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) )
57		rabeq 3192	. . . . . . . . 9 |- ( dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = ( dom .<_ i^i A ) -> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } = { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } )
58	45, 57	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } = { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } )
59	45, 58	mpteq12dv 4733	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } ) = ( x e. ( dom .<_ i^i A ) |-> { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } ) )
60	59	rneqd 5353	. . . . . 6 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } ) = ran ( x e. ( dom .<_ i^i A ) |-> { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } ) )
61		inrab2 3900	. . . . . . . . . 10 |- ( { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } i^i A ) = { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. y .<_ x }
62		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( dom .<_ i^i A ) C_ A
63		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) /\ y e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> y e. ( dom .<_ i^i A ) )
64	62, 63	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) /\ y e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> y e. A )
65		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> x e. ( dom .<_ i^i A ) )
66	62, 65	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> x e. A )
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) /\ y e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> x e. A )
68		brinxp 5181	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. A /\ x e. A ) -> ( y .<_ x <-> y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x ) )
69	64, 67, 68	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) /\ y e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> ( y .<_ x <-> y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x ) )
70	69	notbid 308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) /\ y e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> ( -. y .<_ x <-> -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x ) )
71	70	rabbidva 3188	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. y .<_ x } = { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } )
72	61, 71	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> ( { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } i^i A ) = { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } )
73	4, 11	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> (ordTop ` .<_ ) e. Top )
74	47	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> A e. _V )
75		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> K e. Preset )
76		inss1 3833	. . . . . . . . . . . 12 |- ( dom .<_ i^i A ) C_ dom .<_
77	76	sseli 3599	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( dom .<_ i^i A ) -> x e. dom .<_ )
78	48	ordtopn1 20998	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( .<_ e. _V /\ x e. dom .<_ ) -> { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } e. (ordTop ` .<_ ) )
79	4, 78	mpan 706	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. dom .<_ -> { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } e. (ordTop ` .<_ ) )
80	79	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. Preset /\ x e. dom .<_ ) -> { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } e. (ordTop ` .<_ ) )
81	75, 77, 80	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } e. (ordTop ` .<_ ) )
82		elrestr 16089	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (ordTop ` .<_ ) e. Top /\ A e. _V /\ { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } e. (ordTop ` .<_ ) ) -> ( { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } i^i A ) e. ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) )
83	73, 74, 81, 82	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> ( { y e. dom .<_ | -. y .<_ x } i^i A ) e. ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) )
84	72, 83	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } e. ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) )
85		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( dom .<_ i^i A ) |-> { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } ) = ( x e. ( dom .<_ i^i A ) |-> { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } )
86	84, 85	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> ( x e. ( dom .<_ i^i A ) |-> { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } ) : ( dom .<_ i^i A ) --> ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) )
87		frn 6053	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( dom .<_ i^i A ) |-> { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } ) : ( dom .<_ i^i A ) --> ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) -> ran ( x e. ( dom .<_ i^i A ) |-> { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } ) C_ ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) )
88	86, 87	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> ran ( x e. ( dom .<_ i^i A ) |-> { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } ) C_ ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) )
89	60, 88	eqsstrd 3639	. . . . 5 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } ) C_ ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) )
90		rabeq 3192	. . . . . . . . 9 |- ( dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = ( dom .<_ i^i A ) -> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } = { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } )
91	45, 90	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } = { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } )
92	45, 91	mpteq12dv 4733	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } ) = ( x e. ( dom .<_ i^i A ) |-> { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } ) )
93	92	rneqd 5353	. . . . . 6 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } ) = ran ( x e. ( dom .<_ i^i A ) |-> { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } ) )
94		inrab2 3900	. . . . . . . . . 10 |- ( { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } i^i A ) = { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. x .<_ y }
95		brinxp 5181	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x .<_ y <-> x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y ) )
96	67, 64, 95	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) /\ y e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> ( x .<_ y <-> x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y ) )
97	96	notbid 308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) /\ y e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> ( -. x .<_ y <-> -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y ) )
98	97	rabbidva 3188	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. x .<_ y } = { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } )
99	94, 98	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> ( { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } i^i A ) = { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } )
100	48	ordtopn2 20999	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( .<_ e. _V /\ x e. dom .<_ ) -> { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } e. (ordTop ` .<_ ) )
101	4, 100	mpan 706	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. dom .<_ -> { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } e. (ordTop ` .<_ ) )
102	101	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. Preset /\ x e. dom .<_ ) -> { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } e. (ordTop ` .<_ ) )
103	75, 77, 102	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } e. (ordTop ` .<_ ) )
104		elrestr 16089	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (ordTop ` .<_ ) e. Top /\ A e. _V /\ { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } e. (ordTop ` .<_ ) ) -> ( { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } i^i A ) e. ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) )
105	73, 74, 103, 104	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> ( { y e. dom .<_ | -. x .<_ y } i^i A ) e. ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) )
106	99, 105	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) /\ x e. ( dom .<_ i^i A ) ) -> { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } e. ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) )
107		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( dom .<_ i^i A ) |-> { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } ) = ( x e. ( dom .<_ i^i A ) |-> { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } )
108	106, 107	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> ( x e. ( dom .<_ i^i A ) |-> { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } ) : ( dom .<_ i^i A ) --> ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) )
109		frn 6053	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( dom .<_ i^i A ) |-> { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } ) : ( dom .<_ i^i A ) --> ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) -> ran ( x e. ( dom .<_ i^i A ) |-> { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } ) C_ ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) )
110	108, 109	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> ran ( x e. ( dom .<_ i^i A ) |-> { y e. ( dom .<_ i^i A ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } ) C_ ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) )
111	93, 110	eqsstrd 3639	. . . . 5 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } ) C_ ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) )
112	89, 111	unssd 3789	. . . 4 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> ( ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } ) u. ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } ) ) C_ ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) )
113	56, 112	unssd 3789	. . 3 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> ( { dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) } u. ( ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } ) u. ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } ) ) ) C_ ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) )
114		tgfiss 20795	. . 3 |- ( ( ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) e. Top /\ ( { dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) } u. ( ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } ) u. ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } ) ) ) C_ ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) ) -> ( topGen ` ( fi ` ( { dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) } u. ( ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } ) u. ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } ) ) ) ) ) C_ ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) )
115	19, 113, 114	syl2anc 693	. 2 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> ( topGen ` ( fi ` ( { dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) } u. ( ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. y ( .<_ i^i ( A X. A ) ) x } ) u. ran ( x e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) |-> { y e. dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) | -. x ( .<_ i^i ( A X. A ) ) y } ) ) ) ) ) C_ ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) )
116	10, 115	eqsstrd 3639	1 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) C_ ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ficfi 8316   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   lecple 15948   ↾_t crest 16081   topGenctg 16098  ordTopcordt 16159   Preset cpreset 16926   Topctop 20698  TopOnctopon 20715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-dec 11494  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-ple 15961  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-ordt 16161  df-preset 16928  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750

This theorem is referenced by:  ordtrest2NEW  29969