Theorem pmapjat1 35139

Description: The projective map of the join of a lattice element and an atom. (Contributed by NM, 28-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapjat.b	|- B = ( Base ` K )
pmapjat.j	|- .\/ = ( join ` K )
pmapjat.a	|- A = ( Atoms ` K )
pmapjat.m	|- M = ( pmap ` K )
pmapjat.p	|- .+ = ( +P ` K )

Assertion

Ref	Expression
pmapjat1	|- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) -> ( M ` ( X .\/ Q ) ) = ( ( M ` X ) .+ ( M ` Q ) ) )

Proof of Theorem pmapjat1

Dummy variables q p r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1061	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) -> K e. HL )
2		pmapjat.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` K )
3		pmapjat.a	. . . . . . . 8 |- A = ( Atoms ` K )
4	2, 3	atbase 34576	. . . . . . 7 |- ( Q e. A -> Q e. B )
5	4	3ad2ant3 1084	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) -> Q e. B )
6		pmapjat.m	. . . . . . 7 |- M = ( pmap ` K )
7	2, 3, 6	pmapssat 35045	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ Q e. B ) -> ( M ` Q ) C_ A )
8	1, 5, 7	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) -> ( M ` Q ) C_ A )
9		pmapjat.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +P ` K )
10	3, 9	padd02 35098	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ ( M ` Q ) C_ A ) -> ( (/) .+ ( M ` Q ) ) = ( M ` Q ) )
11	1, 8, 10	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) -> ( (/) .+ ( M ` Q ) ) = ( M ` Q ) )
12	11	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) /\ X = ( 0. ` K ) ) -> ( (/) .+ ( M ` Q ) ) = ( M ` Q ) )
13		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( X = ( 0. ` K ) -> ( M ` X ) = ( M ` ( 0. ` K ) ) )
14		hlatl 34647	. . . . . . 7 |- ( K e. HL -> K e. AtLat )
15	14	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) -> K e. AtLat )
16		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 0. ` K ) = ( 0. ` K )
17	16, 6	pmap0 35051	. . . . . 6 |- ( K e. AtLat -> ( M ` ( 0. ` K ) ) = (/) )
18	15, 17	syl 17	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) -> ( M ` ( 0. ` K ) ) = (/) )
19	13, 18	sylan9eqr 2678	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) /\ X = ( 0. ` K ) ) -> ( M ` X ) = (/) )
20	19	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) /\ X = ( 0. ` K ) ) -> ( ( M ` X ) .+ ( M ` Q ) ) = ( (/) .+ ( M ` Q ) ) )
21		oveq1 6657	. . . . 5 |- ( X = ( 0. ` K ) -> ( X .\/ Q ) = ( ( 0. ` K ) .\/ Q ) )
22		hlol 34648	. . . . . . 7 |- ( K e. HL -> K e. OL )
23	22	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) -> K e. OL )
24		pmapjat.j	. . . . . . 7 |- .\/ = ( join ` K )
25	2, 24, 16	olj02 34513	. . . . . 6 |- ( ( K e. OL /\ Q e. B ) -> ( ( 0. ` K ) .\/ Q ) = Q )
26	23, 5, 25	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) -> ( ( 0. ` K ) .\/ Q ) = Q )
27	21, 26	sylan9eqr 2678	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) /\ X = ( 0. ` K ) ) -> ( X .\/ Q ) = Q )
28	27	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) /\ X = ( 0. ` K ) ) -> ( M ` ( X .\/ Q ) ) = ( M ` Q ) )
29	12, 20, 28	3eqtr4rd 2667	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) /\ X = ( 0. ` K ) ) -> ( M ` ( X .\/ Q ) ) = ( ( M ` X ) .+ ( M ` Q ) ) )
30		simpll1 1100	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) /\ X =/= ( 0. ` K ) ) /\ p e. A ) -> K e. HL )
31	30	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) /\ X =/= ( 0. ` K ) ) /\ p e. A ) /\ p ( le ` K ) ( X .\/ Q ) ) -> K e. HL )
32		simpll2 1101	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) /\ X =/= ( 0. ` K ) ) /\ p e. A ) -> X e. B )
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) /\ X =/= ( 0. ` K ) ) /\ p e. A ) /\ p ( le ` K ) ( X .\/ Q ) ) -> X e. B )
34		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) /\ X =/= ( 0. ` K ) ) /\ p e. A ) /\ p ( le ` K ) ( X .\/ Q ) ) -> p e. A )
35		simpll3 1102	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) /\ X =/= ( 0. ` K ) ) /\ p e. A ) -> Q e. A )
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) /\ X =/= ( 0. ` K ) ) /\ p e. A ) /\ p ( le ` K ) ( X .\/ Q ) ) -> Q e. A )
37	33, 34, 36	3jca 1242	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) /\ X =/= ( 0. ` K ) ) /\ p e. A ) /\ p ( le ` K ) ( X .\/ Q ) ) -> ( X e. B /\ p e. A /\ Q e. A ) )
38		simpllr 799	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) /\ X =/= ( 0. ` K ) ) /\ p e. A ) /\ p ( le ` K ) ( X .\/ Q ) ) -> X =/= ( 0. ` K ) )
39		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) /\ X =/= ( 0. ` K ) ) /\ p e. A ) /\ p ( le ` K ) ( X .\/ Q ) ) -> p ( le ` K ) ( X .\/ Q ) )
40		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
41	2, 40, 24, 16, 3	cvrat42 34730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ p e. A /\ Q e. A ) ) -> ( ( X =/= ( 0. ` K ) /\ p ( le ` K ) ( X .\/ Q ) ) -> E. q e. A ( q ( le ` K ) X /\ p ( le ` K ) ( q .\/ Q ) ) ) )
42	41	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ p e. A /\ Q e. A ) ) /\ ( X =/= ( 0. ` K ) /\ p ( le ` K ) ( X .\/ Q ) ) ) -> E. q e. A ( q ( le ` K ) X /\ p ( le ` K ) ( q .\/ Q ) ) )
43	31, 37, 38, 39, 42	syl22anc 1327	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) /\ X =/= ( 0. ` K ) ) /\ p e. A ) /\ p ( le ` K ) ( X .\/ Q ) ) -> E. q e. A ( q ( le ` K ) X /\ p ( le ` K ) ( q .\/ Q ) ) )
44	43	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) /\ X =/= ( 0. ` K ) ) /\ p e. A ) -> ( p ( le ` K ) ( X .\/ Q ) -> E. q e. A ( q ( le ` K ) X /\ p ( le ` K ) ( q .\/ Q ) ) ) )
45	2, 40, 3, 6	elpmap 35044	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ X e. B ) -> ( q e. ( M ` X ) <-> ( q e. A /\ q ( le ` K ) X ) ) )
46	45	3adant3 1081	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) -> ( q e. ( M ` X ) <-> ( q e. A /\ q ( le ` K ) X ) ) )
47		df-rex 2918	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. r e. ( M ` Q ) p ( le ` K ) ( q .\/ r ) <-> E. r ( r e. ( M ` Q ) /\ p ( le ` K ) ( q .\/ r ) ) )
48	3, 6	elpmapat 35050	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. HL /\ Q e. A ) -> ( r e. ( M ` Q ) <-> r = Q ) )
49	48	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) -> ( r e. ( M ` Q ) <-> r = Q ) )
50	49	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) -> ( ( r e. ( M ` Q ) /\ p ( le ` K ) ( q .\/ r ) ) <-> ( r = Q /\ p ( le ` K ) ( q .\/ r ) ) ) )
51	50	exbidv 1850	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) -> ( E. r ( r e. ( M ` Q ) /\ p ( le ` K ) ( q .\/ r ) ) <-> E. r ( r = Q /\ p ( le ` K ) ( q .\/ r ) ) ) )
52	47, 51	syl5rbb 273	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) -> ( E. r ( r = Q /\ p ( le ` K ) ( q .\/ r ) ) <-> E. r e. ( M ` Q ) p ( le ` K ) ( q .\/ r ) ) )
53		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( r = Q -> ( q .\/ r ) = ( q .\/ Q ) )
54	53	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r = Q -> ( p ( le ` K ) ( q .\/ r ) <-> p ( le ` K ) ( q .\/ Q ) ) )
55	54	ceqsexgv 3335	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Q e. A -> ( E. r ( r = Q /\ p ( le ` K ) ( q .\/ r ) ) <-> p ( le ` K ) ( q .\/ Q ) ) )
56	55	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) -> ( E. r ( r = Q /\ p ( le ` K ) ( q .\/ r ) ) <-> p ( le ` K ) ( q .\/ Q ) ) )
57	52, 56	bitr3d 270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) -> ( E. r e. ( M ` Q ) p ( le ` K ) ( q .\/ r ) <-> p ( le ` K ) ( q .\/ Q ) ) )
58	46, 57	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) -> ( ( q e. ( M ` X ) /\ E. r e. ( M ` Q ) p ( le ` K ) ( q .\/ r ) ) <-> ( ( q e. A /\ q ( le ` K ) X ) /\ p ( le ` K ) ( q .\/ Q ) ) ) )
59		anass 681	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( q e. A /\ q ( le ` K ) X ) /\ p ( le ` K ) ( q .\/ Q ) ) <-> ( q e. A /\ ( q ( le ` K ) X /\ p ( le ` K ) ( q .\/ Q ) ) ) )
60	58, 59	syl6bb 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) -> ( ( q e. ( M ` X ) /\ E. r e. ( M ` Q ) p ( le ` K ) ( q .\/ r ) ) <-> ( q e. A /\ ( q ( le ` K ) X /\ p ( le ` K ) ( q .\/ Q ) ) ) ) )
61	60	rexbidv2 3048	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) -> ( E. q e. ( M ` X ) E. r e. ( M ` Q ) p ( le ` K ) ( q .\/ r ) <-> E. q e. A ( q ( le ` K ) X /\ p ( le ` K ) ( q .\/ Q ) ) ) )
62	61	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) /\ X =/= ( 0. ` K ) ) /\ p e. A ) -> ( E. q e. ( M ` X ) E. r e. ( M ` Q ) p ( le ` K ) ( q .\/ r ) <-> E. q e. A ( q ( le ` K ) X /\ p ( le ` K ) ( q .\/ Q ) ) ) )
63	44, 62	sylibrd 249	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) /\ X =/= ( 0. ` K ) ) /\ p e. A ) -> ( p ( le ` K ) ( X .\/ Q ) -> E. q e. ( M ` X ) E. r e. ( M ` Q ) p ( le ` K ) ( q .\/ r ) ) )
64	63	imdistanda 729	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) /\ X =/= ( 0. ` K ) ) -> ( ( p e. A /\ p ( le ` K ) ( X .\/ Q ) ) -> ( p e. A /\ E. q e. ( M ` X ) E. r e. ( M ` Q ) p ( le ` K ) ( q .\/ r ) ) ) )
65		hllat 34650	. . . . . . . . 9 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
66	65	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) -> K e. Lat )
67		simp2 1062	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) -> X e. B )
68	2, 24	latjcl 17051	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Q e. B ) -> ( X .\/ Q ) e. B )
69	66, 67, 5, 68	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) -> ( X .\/ Q ) e. B )
70	2, 40, 3, 6	elpmap 35044	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ ( X .\/ Q ) e. B ) -> ( p e. ( M ` ( X .\/ Q ) ) <-> ( p e. A /\ p ( le ` K ) ( X .\/ Q ) ) ) )
71	1, 69, 70	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) -> ( p e. ( M ` ( X .\/ Q ) ) <-> ( p e. A /\ p ( le ` K ) ( X .\/ Q ) ) ) )
72	71	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) /\ X =/= ( 0. ` K ) ) -> ( p e. ( M ` ( X .\/ Q ) ) <-> ( p e. A /\ p ( le ` K ) ( X .\/ Q ) ) ) )
73	2, 3, 6	pmapssat 35045	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ X e. B ) -> ( M ` X ) C_ A )
74	73	3adant3 1081	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) -> ( M ` X ) C_ A )
75	66, 74, 8	3jca 1242	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) -> ( K e. Lat /\ ( M ` X ) C_ A /\ ( M ` Q ) C_ A ) )
76	75	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) /\ X =/= ( 0. ` K ) ) -> ( K e. Lat /\ ( M ` X ) C_ A /\ ( M ` Q ) C_ A ) )
77	2, 16, 6	pmapeq0 35052	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ X e. B ) -> ( ( M ` X ) = (/) <-> X = ( 0. ` K ) ) )
78	77	3adant3 1081	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) -> ( ( M ` X ) = (/) <-> X = ( 0. ` K ) ) )
79	78	necon3bid 2838	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) -> ( ( M ` X ) =/= (/) <-> X =/= ( 0. ` K ) ) )
80	79	biimpar 502	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) /\ X =/= ( 0. ` K ) ) -> ( M ` X ) =/= (/) )
81		simp3 1063	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) -> Q e. A )
82	16, 3	atn0 34595	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. AtLat /\ Q e. A ) -> Q =/= ( 0. ` K ) )
83	15, 81, 82	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) -> Q =/= ( 0. ` K ) )
84	2, 16, 6	pmapeq0 35052	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ Q e. B ) -> ( ( M ` Q ) = (/) <-> Q = ( 0. ` K ) ) )
85	1, 5, 84	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) -> ( ( M ` Q ) = (/) <-> Q = ( 0. ` K ) ) )
86	85	necon3bid 2838	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) -> ( ( M ` Q ) =/= (/) <-> Q =/= ( 0. ` K ) ) )
87	83, 86	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) -> ( M ` Q ) =/= (/) )
88	87	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) /\ X =/= ( 0. ` K ) ) -> ( M ` Q ) =/= (/) )
89	40, 24, 3, 9	elpaddn0 35086	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. Lat /\ ( M ` X ) C_ A /\ ( M ` Q ) C_ A ) /\ ( ( M ` X ) =/= (/) /\ ( M ` Q ) =/= (/) ) ) -> ( p e. ( ( M ` X ) .+ ( M ` Q ) ) <-> ( p e. A /\ E. q e. ( M ` X ) E. r e. ( M ` Q ) p ( le ` K ) ( q .\/ r ) ) ) )
90	76, 80, 88, 89	syl12anc 1324	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) /\ X =/= ( 0. ` K ) ) -> ( p e. ( ( M ` X ) .+ ( M ` Q ) ) <-> ( p e. A /\ E. q e. ( M ` X ) E. r e. ( M ` Q ) p ( le ` K ) ( q .\/ r ) ) ) )
91	64, 72, 90	3imtr4d 283	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) /\ X =/= ( 0. ` K ) ) -> ( p e. ( M ` ( X .\/ Q ) ) -> p e. ( ( M ` X ) .+ ( M ` Q ) ) ) )
92	91	ssrdv 3609	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) /\ X =/= ( 0. ` K ) ) -> ( M ` ( X .\/ Q ) ) C_ ( ( M ` X ) .+ ( M ` Q ) ) )
93	2, 24, 6, 9	pmapjoin 35138	. . . . 5 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Q e. B ) -> ( ( M ` X ) .+ ( M ` Q ) ) C_ ( M ` ( X .\/ Q ) ) )
94	66, 67, 5, 93	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) -> ( ( M ` X ) .+ ( M ` Q ) ) C_ ( M ` ( X .\/ Q ) ) )
95	94	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) /\ X =/= ( 0. ` K ) ) -> ( ( M ` X ) .+ ( M ` Q ) ) C_ ( M ` ( X .\/ Q ) ) )
96	92, 95	eqssd 3620	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) /\ X =/= ( 0. ` K ) ) -> ( M ` ( X .\/ Q ) ) = ( ( M ` X ) .+ ( M ` Q ) ) )
97	29, 96	pm2.61dane 2881	1 |- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Q e. A ) -> ( M ` ( X .\/ Q ) ) = ( ( M ` X ) .+ ( M ` Q ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   lecple 15948   joincjn 16944   0.cp0 17037   Latclat 17045   OLcol 34461   Atomscatm 34550   AtLatcal 34551   HLchlt 34637   pmapcpmap 34783   +Pcpadd 35081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-pmap 34790  df-padd 35082

This theorem is referenced by:  pmapjat2  35140  pmapjlln1  35141  atmod1i2  35145  paddatclN  35235